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1、XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculation第第2章章Matlab矩阵及其运算矩阵及其运算2.1Matlab变量变量2.2Matlab数值矩阵数值矩阵2.3运算符运算符2.4基本数学函数基本数学函数2.5稀疏矩阵稀疏矩阵2.6矩阵分析矩阵分析2.8字符串字符串2.9结构数据结构数据2.10细胞矩阵细胞矩阵XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calc
2、ulation and Engineering Calculation2.1Matlab变量变量1.变量命名规则变量命名规则在在MATLAB6.5中，变量名是以字母开头，后接字母、数字或下中，变量名是以字母开头，后接字母、数字或下划线的字符序列，最多划线的字符序列，最多63个字符。在个字符。在MATLAB中，中，变量名区分字母的变量名区分字母的大小写。大小写。2变量赋值变量赋值变量变量=表达式表达式3预定义变量预定义变量i，j，pi，eps(最小精度最小精度)，realmin，realmax，inf，NaN（NotaNumber不是一个数）不是一个数）预定义变量有特定的含义，在使用时，应尽量避
3、免对这些变量重预定义变量有特定的含义，在使用时，应尽量避免对这些变量重新赋值。新赋值。XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculation内存变量的管理内存变量的管理1指令操作法指令操作法who：列出工作内存中的变量名列出工作内存中的变量名whos：列出工作内存中的变量细节列出工作内存中的变量细节clear：2.现场菜单操作法现场菜单操作法3.内存变量文件内存变量文件(.mat)(保存工作区中的变量保存工作区中的变量)save文件名文件名 变量
4、名表变量名表 -append-ascii把内存变量存入磁盘把内存变量存入磁盘load文件名文件名 变量名表变量名表 -ascii从磁盘中调入数据变量从磁盘中调入数据变量 helpsavehelploadXiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering CalculationMatlab数据类型数据类型uArray(matrix):MNPQuDefaultdatatype:double-precisionfloatnumberarray(forreal:8bytes
5、/element)(forcomplex:16bytes/element)uAllMATLABcomputationsaredoneindouble-precision.XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculation数值数据的输出格式数值数据的输出格式uMATLAB用十进制数表示一个常数，具体可采用日常记数法和科学记数法两种表示方法。在一般情况下，MATLAB内部每一个数值数据元素都是用双精度数来表示和存储的。u数据输出时用户可以用for
6、mat命令设置或改变数据输出格式。format命令的格式为：format格式符其中格式符决定数据的输出格式helpformatformatformatshort5位定点表示Formathex十六进制的表示formatlong15位定点表示Formatbank用元角分（美制）定点表示formatshorte5位浮点表示Formatcompact变量之间没有空行formatlonge15位浮点表示Formatloose变量之间有空行formatrat近似的有理数的表示XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Cal
7、culation and Engineering Calculation2.2MATLAB数值矩阵数值矩阵2.2.1矩阵的建立矩阵的建立1直接输入法直接输入法最简单的建立矩阵的方法是从键盘直接输入矩阵的元素。具体方最简单的建立矩阵的方法是从键盘直接输入矩阵的元素。具体方法如下：将矩阵的元素用方括号括起来，按矩阵行的顺序输入各元素，法如下：将矩阵的元素用方括号括起来，按矩阵行的顺序输入各元素，同一行的各元素之间用空格或逗号分隔，不同行的元素之间用分号分同一行的各元素之间用空格或逗号分隔，不同行的元素之间用分号分隔。隔。XiamenXiamen University UniversityMatla
8、bMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculation2利用利用M文件建立矩阵文件建立矩阵对于比较大且比较复杂的矩阵，可以为它专门建立一个对于比较大且比较复杂的矩阵，可以为它专门建立一个M文件。下文件。下面通过一个简单例子来说明如何利用面通过一个简单例子来说明如何利用M文件创建矩阵。文件创建矩阵。例例2-2利用利用M文件建立文件建立Mymat矩阵。矩阵。(1)启动有关编辑程序或启动有关编辑程序或MATLAB文本编辑器，文本编辑器，并输入待并输入待建矩阵：建矩阵：(2)把输入的内容以纯文本方式存盘把输入的内容以纯文本方式存盘
9、(设文件名为设文件名为mymatrix.m)。(3)在在MATLAB命令窗口中输入命令窗口中输入mymatrix，即运行该即运行该M文件，就会自动建立一个名文件，就会自动建立一个名为为MYMAT的矩阵，可供以后使用。的矩阵，可供以后使用。XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculation3利用冒号表达式建立一个向量利用冒号表达式建立一个向量冒号表达式可以产生一个行向量，一般格式是：冒号表达式可以产生一个行向量，一般格式是：e1:e2:e3其中
10、其中e1为初始值，为初始值，e2为步长，为步长，e3为终止值。为终止值。在在MATLAB中，还可以用中，还可以用linspace函数产生行向函数产生行向量。其调用格式为：量。其调用格式为：linspace(a,b)linspace是用来生成一个等差数列的是用来生成一个等差数列的lin是是linear的缩写的缩写linspace(a,b,n)其中其中a和和b是生成向量的第一个和最后一个元素，是生成向量的第一个和最后一个元素，n是元素总数。是元素总数。显然，显然，linspace(a,b,n)与与a:(b-a)/(n-1):b等价。等价。logspace(a,b)对数对数logspace(a,b,
11、n)XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculation4建立大矩阵建立大矩阵大矩阵可由方括号中的小矩阵或向量建立起来。大矩阵可由方括号中的小矩阵或向量建立起来。5使用使用repmat函数函数(Replicatematrix)铺放模块数组铺放模块数组repmat(A,MNP.)repmat(A,M,N,P,.)6.使用使用blkdiag函数函数(Blockdiagnolmatrix)块对角阵串接块对角阵串接|A0.0|Y=blkdiag(A,B
12、,.)produces|0B.0|00.|7使用使用meshgrid函数函数用于三维曲面的分格线坐标用于三维曲面的分格线坐标X,Y=meshgrid(x,y)e.g.IFx=123,y=0123,THENXY=meshgrid(x,y)的结果的结果X是是123;123;123;123重复四次，因为重复四次，因为y中有四个元素，同理中有四个元素，同理Y是输出三列是输出三列0123的结果。的结果。8.使用使用cat函数函数(concatenatesthearraysAandBalongthedimensionDIM)把若干数组串接成高维数组把若干数组串接成高维数组Y=cat(dim,A1,A2,)
13、按按dim联结所有输入的数组联结所有输入的数组C=cat(dim,A,B)按按dim来联结来联结A和和B两个数组两个数组a=cat(3,A,B)左括号后的左括号后的3表示构造出的矩阵维数；在新的矩阵中第表示构造出的矩阵维数；在新的矩阵中第1、2维就是维就是A和和B这两个矩阵的这两个矩阵的行数和列数，第行数和列数，第3维是维是A和和B这两个矩阵的矩阵个数，即为这两个矩阵的矩阵个数，即为2cat(2,A,B)相当于相当于A,B;cat(1,A,B)相当于相当于A;B.a=magic(3);b=pascal(3);c=cat(1,a,b)XiamenXiamen University Univers
14、ityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculation2.2.3特殊矩阵特殊矩阵1通用的特殊矩阵通用的特殊矩阵A=zeros(N)A=zeros(M,N,P,)A=zeros(MNP)A=zeros(size(A)ones所有元素都为所有元素都为1eye(identitymatrix)单位矩阵单位矩阵例例2-3分别建立分别建立33、32和与矩阵和与矩阵A同样大小的零矩阵。同样大小的零矩阵。XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineeri
15、ng Calculation and Engineering Calculationrand：Therandfunctiongeneratesarraysofrandomnumberswhoseelementsareuniformlydistributedintheinterval(0,1).输出输出0-1之间的随机数矩阵。之间的随机数矩阵。randn：产生均值为：产生均值为0，方差为，方差为1的标准正态分布随的标准正态分布随机矩阵。机矩阵。例例2-4建立随机矩阵：建立随机矩阵：(1)在区间在区间20,50内均匀分布的内均匀分布的5阶随机矩阵。阶随机矩阵。(2)均值为均值为0.6、方差为、方差
16、为0.1的的5阶正态分布随机矩阵。阶正态分布随机矩阵。命令如下：命令如下：x=20+(50-20)*rand(5)y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5)XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculationrandperm(n)isarandompermutation（序列、排列）oftheintegersfrom1ton.整数1-n的一个随机排列randperm(6)XiamenXiamen University University
17、MatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculation2用于专门学科的特殊矩阵用于专门学科的特殊矩阵(1)魔方矩阵魔方矩阵魔方矩阵有一个有趣的性质，其每行、每列及两条对角线上的元魔方矩阵有一个有趣的性质，其每行、每列及两条对角线上的元素和都相等。对于素和都相等。对于n阶魔方阵，其元素由阶魔方阵，其元素由1,2,3,n2共共n2个整数组成。个整数组成。MATLAB提供了求魔方矩阵的函数提供了求魔方矩阵的函数magic(n)其功能是生成一个其功能是生成一个n阶魔方阵。阶魔方阵。例例2-5将将101125等等25个数填
18、入一个个数填入一个5行行5列的表格中，使其每行每列及列的表格中，使其每行每列及对角线的和均为对角线的和均为565。A=magic(5)+100XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculation(2)范得蒙矩阵范得蒙矩阵范得蒙范得蒙(Vandermonde)矩阵最后一列全为矩阵最后一列全为1，倒数第二列为一个指定的，倒数第二列为一个指定的向量，其他各列是其后列与倒数第二列的点乘积。可以用一个指定向向量，其他各列是其后列与倒数第二列的点乘积。可以
19、用一个指定向量生成一个范得蒙矩阵。量生成一个范得蒙矩阵。在在MATLAB中，函数中，函数vander(V)生成以向量生成以向量V为基础向量的范得蒙矩阵。为基础向量的范得蒙矩阵。XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculation(3)希尔伯特矩阵希尔伯特矩阵hilb(N)istheNbyNmatrixwithelements1/(i+j-1),whichisafamousexampleofabadlyconditionedmatrix.希尔伯特
20、矩阵是一种数学变换矩阵，正定，且高度病态（即，任何一个元素发生一点变动，整个矩希尔伯特矩阵是一种数学变换矩阵，正定，且高度病态（即，任何一个元素发生一点变动，整个矩阵的值和逆矩阵都会发生巨大变化），病态程度和阶数相关。阵的值和逆矩阵都会发生巨大变化），病态程度和阶数相关。Matlab中生成希尔伯特矩阵的函数是hilb(n)；求希尔伯特矩阵的逆的函数是invhilb(n)，其功能是求n阶的希尔伯特矩阵的逆矩阵。例例2-6求求4阶希尔伯特矩阵阶希尔伯特矩阵formatrat%以有理形式输出以有理形式输出H=hilb(4)XiamenXiamen University UniversityMatla
21、bMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculation(4)托普利兹矩阵托普利兹矩阵托普利兹托普利兹(Toeplitz)矩阵除第一行第一列外，其他每个元素都与左上角的元矩阵除第一行第一列外，其他每个元素都与左上角的元素相同。素相同。toeplitz(x,y)x、y为向量，但两者不必等长。为向量，但两者不必等长。toeplitz(x)用向量用向量x生成一个对称的托普利兹矩阵生成一个对称的托普利兹矩阵hankel矩阵矩阵(6)帕斯卡矩阵帕斯卡矩阵我们知道，二次项我们知道，二次项(x+y)n展开后的系数随展开后的系数随n的增大组
22、成一个三角形表，称为杨的增大组成一个三角形表，称为杨辉三角形（如右上图）。由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯卡辉三角形（如右上图）。由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯卡(Pascal)矩矩阵。阵。pascal(n)XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering CalculationCompanionmatrix相伴矩阵、友阵A=compan(u)A=compan(u)returnsthecorrespondingcompanionmatrixwhosefirstr
23、owis-u(2:n)/u(1),whereuisavectorofpolynomialcoefficients.Theeigenvaluesofcompan(u)aretherootsofthepolynomial.Eg.Solvex3-7x+6=0XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculation复数和复数矩阵复数和复数矩阵u【例1.3.3-1】输入复数z2=1+2*iz3=2*exp(i*pi/6)z=z1*z2/z3【例1.3.3-2
24、】复数矩阵的生成及运算A=1,3;2,4-5,8;6,9*iB=1+5i,2+6i;3+8*i,4+9*iC=A*B【例1.3.3-3】求上例复数矩阵C的实部、虚部、模和相角。C_real=real(C)C_imag=imag(C)C_magnitude=abs(C)C_phase=angle(C)*180/pi%以度为单位计算相角XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculation2.2.3Sizeanddimensionsofmatrice
25、s1Sizeofamatrixarowvector（行向量）（行向量）MNPS=size(A)输出结果为：矩阵有多少个行向量，每个行向量有几个元素输出结果为：矩阵有多少个行向量，每个行向量有几个元素2.LengthofamatrixL=length(A)矩阵行或列的长度（两者取最大）矩阵行或列的长度（两者取最大）length(A)等价于等价于max(size(A)3Dimensionofamatrixascalar1Dims=ndims(A)判断矩阵的维数，在判断矩阵的维数，在Matlab中，行向量和列向量都当作中，行向量和列向量都当作2维来看待。维来看待。length(size(A)等价于等
26、价于ndims(A)4EmptymatrixA=XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculation2.2.2矩阵的拆分矩阵的拆分1矩阵元素的引用矩阵元素的引用下标下标(Subscript)A(3,2)=200序号序号(Index)Index与与Subscript的对应关系的对应关系对对mn矩阵矩阵A为例，为例，A(i,j)等价于等价于A(j-1)*m+i)IND=sub2ind(SIZ,I1,I2,.,In)I1,I2,I3,.,In=ind
27、2sub(SIZ,IND)XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculation2矩阵拆分矩阵拆分(1)利用冒号表达式获得子矩阵利用冒号表达式获得子矩阵A(:,j)A(i,:)A(i,j)A(i:i+m,:)A(:,k:k+m)A(i:i+m,k:k+n)A(i:end,k:k+n)A(:)对矩阵中的元素按索引号从小到大列出，顺序和方式为按列输出。对矩阵中的元素按索引号从小到大列出，顺序和方式为按列输出。如如A=012;345，那么那么A(:)为
28、为031425（输出方式是列）。（输出方式是列）。A(:,:,:,)(2)利用利用Index获得子矩阵获得子矩阵A(M)（M是一个整数矩阵）是一个整数矩阵）(3)利用利用逻辑矩阵逻辑矩阵获得子矩阵获得子矩阵A(M)（M是一个逻辑矩阵）是一个逻辑矩阵）XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculation(4)利用空矩阵删除矩阵的元素利用空矩阵删除矩阵的元素在在MATLAB中，定义中，定义为空矩阵。给变量为空矩阵。给变量X赋空矩阵的语句为赋空矩阵的
29、语句为X=。注意，注意，X=与与clearX不同，不同，clear是将是将X从工作空间中删除，而空矩阵则从工作空间中删除，而空矩阵则存在于工作空间中，只是维数为存在于工作空间中，只是维数为0。(5)矩阵维数和大小的变换矩阵维数和大小的变换在矩阵总元素保持不变的前提下，该函数按照在矩阵总元素保持不变的前提下，该函数按照Index的顺序将矩阵的顺序将矩阵A重新排成重新排成mn的二维矩阵。的二维矩阵。B=reshape(A,m,n)mXn要与要与A之前的大小一样之前的大小一样B=reshape(A,m,n,p,.)如，如，A=magic(4),则则B=reshape(A,4,2,2)为四行、两列的矩
30、阵块相为四行、两列的矩阵块相叠加。这里叠加。这里4*4=4*2*2B=reshape(A,mnp.)与上面的结果一样与上面的结果一样B=reshape(A,.,.)B=reshape(A,siz)XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculation2.3Matlab运算符和表达式运算符和表达式uArithmeticoperators；uRelationaloperators；uLogicaloperatorsXiamenXiamen Unive
31、rsity UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering CalculationArithmeticoperatorsA+BA-B+A-AA*B(矩阵相乘)A.*B(A、B对应的元素相乘，A、B需为同型矩阵)A/B（A*inv(B)）A./B(A中的元素除以B中对应的元素)AB（inv(A)*B）A.B(B中的元素除以A中对应的元素)ABA.BAA.XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and E
32、ngineering CalculationRelationaloperators运算法则为：(1)Scalartoscalar（标量to标量）(2)Matrixtomatrix(3)Scalartomatrix(4)MatrixtoscalarXiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering CalculationLogicaloperatorsuMATLABoffersthreetypesoflogicaloperatorandfunctions.Elemen
33、t-wise-operateoncorrespondingelementsoflogicalarrays.&|xorany(A)有非零元素则为真all(A)所有元素非零则为真NoteMATLABconvertsanyfinitenonzero,numericvaluesusedasinputstologicalexpressionstological1,ortrue.uBit-wise-operateoncorrespondingbitsofintegervaluesorarrays.bitand(a,b)bitor(a,b)bitcmp(a,n)C=bitcmp(A,n)returnsthe
34、bitwisecomplementofAasann-bitunsignedintegerbitxor(a,b)uShort-circuit-operateonscalar,logicalexpressions.&|e.g.x=(b=0)&(a/b18.5)XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculation(3)利用利用逻辑矩阵逻辑矩阵获得子矩阵获得子矩阵A(M)（M是一个逻辑矩阵）是一个逻辑矩阵）A(logicalexpression)e.g
35、.A(A3)按索引序号找出按索引序号找出A中满足值大于中满足值大于3的元素的元素Index=find(A)列出列出A的索引号的索引号i,j=find(A)i,j,v=find(A)Index=find(logicalexpression)找出满足表达式的元素的索引号找出满足表达式的元素的索引号i,j=find(logicalexpression)找出满足表达式的元素找出满足表达式的元素i,j,v=find(logicalexpression)找到满足条件的行数、列数及返回数字的值找到满足条件的行数、列数及返回数字的值A(find(A3)输出输出A中大于中大于3的元素的元素helpfindXia
36、menXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculation2.4基本数学函数基本数学函数(Elementarymathfunctions)MATLAB提供了许多数学函数，函数的自变量规定为矩阵变量，运算法则是将函数逐项作用于矩阵的元素上，因而运算的结果是一个与自变量同维数的矩阵。1.三角函数三角函数(Trigonometric)2.指数函数指数函数(Exponential)3.复数函数复数函数(Complex)4.圆整和求余函数圆整和求余函数(Roundi
37、ngandremainder)5.DiscreteMath6.特殊函数特殊函数(Specializedmathfunctions)7.CoordinateSystemConversion坐标系统转换坐标系统转换8.矢量函数矢量函数(Vectorfunctions)XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculation1.三角函数三角函数(Trigonometric)acos反余弦acosh反双曲余弦acot反余切acoth反双曲余切acsc反余割
38、acsch反双曲余割asec反正割asech反双曲正割asin反正弦asinh反双曲正弦atan反正切atanh反双曲正切atan2四象限反正切cos余弦cosh双曲余弦cot余切coth双曲余切csc余割csch双曲余割sec正割sech双曲正割sin正弦sinh双曲正弦tan正切tanh双曲正切XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculation2.指数函数指数函数(Exponential)uexp指数ulog自然对数ulog10常用对数u
39、log2以2为底的对数upow22的幂usqrt平方根XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculation3.复数函数复数函数(Complex)abs绝对值angle相角conj复数共轭（complexconjugate）imag复数虚部real复数实部XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calcul
40、ation4.圆整和求余函数(Roundingandremainder)ceil朝正无穷大方向取整fix朝零方向取整floor朝负无穷大方向取整round四舍五入取整sign符号函数mod(X,Y)模数求余rem(X,Y)求余数SolongasoperandsXandYareofthesamesign,thefunctionmod(X,Y)returnsthesameresultasdoesrem(X,Y).However,forpositiveXandY,mod(-X,Y)=rem(-X,Y)+YXiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab a
41、nd Engineering Calculation and Engineering Calculation5.DiscreteMath(e.g.,PrimeFactors)factor(n)PrimefactorsfactorialFactorialfunction进行因式或因子分解gcd(A,B）Greatestcommondivisorisprime(A)Trueforprimenumbers若是质数则为真lcm(A,B)Leastcommonmultiplenchoosek(n,k)AllcombinationsofNelementstakenKatatimeperms(v)Allpo
42、ssiblepermutations所有可能的排列如A=perms(2:2:6),则返回2，4，6三个数所有的排列primes(n)Generatelistofprimenumbers产生质数列表rat,rats(A)Rationalfractionapproximation有理分式XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculation6.特殊函数(Specializedmathfunctions)SpecializedMathXiamenXia
43、men University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculation7.CoordinateSystemConversion(坐标系统转换)Cartesianpolarsphericalcart2pol直角坐标变为柱(或极)坐标cart2sph直角坐标变为球坐标pol2cart柱(或极)坐标变为直角坐标sph2cart球坐标变为直角坐标XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculati
44、on and Engineering Calculation8.矢量函数(Vectorfunctions)ucross向量叉积C=CROSS(A,B)returnsthecrossproductofthevectorsAandB.Thatis,C=AxB.AandBmustbe3elementvectors.dot向量内积XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculationspy函数画稀疏结构图画稀疏结构图XiamenXiamen Univer
45、sity UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculation2.4稀疏矩阵稀疏矩阵2.4.1矩阵存储方式矩阵存储方式(按列存储按列存储)MATLAB的矩阵有两种存储方式：的矩阵有两种存储方式：完全存储方式和稀疏存储方式完全存储方式和稀疏存储方式。1完全存储方式完全存储方式完全存储方式是将矩阵的全部元素按列存储。以前讲到的矩阵的完全存储方式是将矩阵的全部元素按列存储。以前讲到的矩阵的存储方式都是按这个方式存储的，此存储方式对稀疏矩阵也适用。存储方式都是按这个方式存储的，此存储方式对稀疏矩阵也
46、适用。2稀疏存储方式稀疏存储方式稀疏存储方式稀疏存储方式仅存储矩阵所有的非零元素的值及其位置，即行号仅存储矩阵所有的非零元素的值及其位置，即行号和列号。和列号。在在MATLAB中，稀疏存储方式也是按列存储的。中，稀疏存储方式也是按列存储的。注意，在讲稀疏矩阵时，有两个不同的概念，一是指矩阵的注意，在讲稀疏矩阵时，有两个不同的概念，一是指矩阵的0元元素较多，该矩阵是一个具有稀疏特征的矩阵，二是指采用稀疏方式存素较多，该矩阵是一个具有稀疏特征的矩阵，二是指采用稀疏方式存储的矩阵。储的矩阵。XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engi
47、neering Calculation and Engineering Calculation2.4.2稀疏存储方式的产生稀疏存储方式的产生1将完全存储方式转化为稀疏存储方式将完全存储方式转化为稀疏存储方式S=sparse(A)按列从小到大列出非零元素的下标和大小（如右图）按列从小到大列出非零元素的下标和大小（如右图）sparse函数还有其他一些调用格式：函数还有其他一些调用格式：S=sparse(m,n)：生成一个：生成一个mn的所有元素都是的所有元素都是0的稀疏矩阵。的稀疏矩阵。S=sparse(u,v,s)：u,v,S是是3个等长的向量。个等长的向量。S是要建立的稀疏矩阵的非是要建立的稀
48、疏矩阵的非0元素，元素，u(i)、v(i)分别是分别是S(i)的行和列下标，该函数建立一个的行和列下标，该函数建立一个max(u)行、行、max(v)列并列并以以S为稀疏元素的稀疏矩阵。为稀疏元素的稀疏矩阵。S=sparse(u,v,s)这里不要混淆这里不要混淆S和和s,u,v分别表示分别表示S(i)的行和列下标的行和列下标,s为该指定元素所对应的值为该指定元素所对应的值S=sparse(u,v,s,m,n)u,v,s同上同上,m,n为为S为为mXn的矩阵的矩阵A=full(S)：返回和稀疏存储矩阵：返回和稀疏存储矩阵A对应的完全存储方式矩阵。对应的完全存储方式矩阵。上面得到的是稀疏矩阵的非零
49、值，而该函数将把整个稀疏矩阵列出XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculation2产生稀疏存储矩阵产生稀疏存储矩阵只把要建立的稀疏矩阵的非只把要建立的稀疏矩阵的非0元素及其所在行和列的位置表示出来元素及其所在行和列的位置表示出来后由后由MATLAB自己产生其稀疏存储，这需要使用自己产生其稀疏存储，这需要使用spconvert函数。调函数。调用格式为：用格式为：S=spconvert(D)其中其中D为一个为一个m3或或m4的矩阵的矩阵为什们是
50、为什们是mX3或或mX4呢？因为呢？因为D为为mX3的矩阵时，前两个列值为要产生的稀疏矩阵的行标和列标，第三个列值为该的矩阵时，前两个列值为要产生的稀疏矩阵的行标和列标，第三个列值为该稀疏矩阵元素的值。共有稀疏矩阵元素的值。共有m个指定的稀疏矩阵的非零值。如图个指定的稀疏矩阵的非零值。如图D为为mX4的矩阵时，产生值为复数的稀疏矩阵，后面两个列值分别为复数的实部和虚部。的矩阵时，产生值为复数的稀疏矩阵，后面两个列值分别为复数的实部和虚部。例例:根据表示稀疏矩阵的矩阵根据表示稀疏矩阵的矩阵A，产生一个稀疏存储方式矩阵，产生一个稀疏存储方式矩阵B。命令如下：命令如下：A=2,2,1;3,1,-1;
51、4,3,3;5,3,8;6,6,12;B=spconvert(A)XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculation3单位矩阵的稀疏存储单位矩阵的稀疏存储单位矩阵只有对角线元素为单位矩阵只有对角线元素为1，其他元素都为，其他元素都为0，是一种具有稀疏特征的矩阵。函数，是一种具有稀疏特征的矩阵。函数eye产生一个产生一个完全存储方式的单位矩阵。完全存储方式的单位矩阵。MATLAB还有一个产还有一个产生稀疏存储方式的单位矩阵的函数，这就是生稀疏存
52、储方式的单位矩阵的函数，这就是speye。函数函数speye(m,n)返回一个返回一个mn的稀疏存储单位矩阵。的稀疏存储单位矩阵。speye(m,n)speye(n)XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculation2.4.3稀疏矩阵应用举例稀疏矩阵应用举例稀疏存储矩阵只是矩阵的存储方式不同，它的稀疏存储矩阵只是矩阵的存储方式不同，它的运算规则与普通矩阵是一样的。所以，在运算过运算规则与普通矩阵是一样的。所以，在运算过程中，稀疏存储矩阵可以直
53、接参与运算。程中，稀疏存储矩阵可以直接参与运算。当参与当参与运算的对象不全是稀疏存储矩阵时，所得结果一运算的对象不全是稀疏存储矩阵时，所得结果一般是完全存储形式。般是完全存储形式。XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculation2.6.1对角阵与三角阵对角阵与三角阵2.6.2矩阵的转置与旋转矩阵的转置与旋转2.6.3方阵的行列式方阵的行列式2.6.4矩阵的逆与伪逆矩阵的逆与伪逆2.6.5矩阵的秩与迹矩阵的秩与迹2.6.6向量和矩阵的范数向量
54、和矩阵的范数2.6.7矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量2.6.8矩阵函数矩阵函数2.6矩阵分析矩阵分析XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculation2.6.1对角阵与三角阵对角阵与三角阵1.对角矩阵对角矩阵(diagonalmatrix)只有对角线上有非只有对角线上有非0元素的矩阵元素的矩阵数量矩阵：对角线上的元素相等的对角矩阵数量矩阵：对角线上的元素相等的对角矩阵单位矩阵：对角线上的元素都为单位矩阵：对角线上的元素都为1的对
55、角矩阵的对角矩阵X=diag(v,k)第第k条对角线上的值为条对角线上的值为v向量的值，其余为向量的值，其余为0X=diag(v)缺省缺省(默认默认)为主对角线上的值为为主对角线上的值为v向量的值向量的值v=diag(X,k)输出第输出第k条对角线上的值条对角线上的值v=diag(X)输出输出主对角线上的值主对角线上的值XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculation例例2-10先建立先建立55矩阵矩阵A，然后将，然后将A的第一行元素乘的第
56、一行元素乘以以1，第二行乘以，第二行乘以2，第五行乘以，第五行乘以5。A=17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;.11,18,25,2,19;D=diag(1:5);D*A%用用D左乘左乘A，对，对A的每行乘以一个的每行乘以一个指定常数指定常数XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculation2三角阵三角阵(triangularmatrix)上三角阵：对角线以下的元素全为上三角阵
57、：对角线以下的元素全为0的一种矩阵的一种矩阵U=triu(X)主对角线以上的元素保留，以下的为主对角线以上的元素保留，以下的为0U=triu(X,k)第第k对角线以上的元素保留，以下的都为对角线以上的元素保留，以下的都为0下三角阵：对角线以上的元素全为下三角阵：对角线以上的元素全为0的一种矩阵的一种矩阵L=tril(X)主对角线以下的元素保留，以上的为主对角线以下的元素保留，以上的为0L=tril(X,k)第第k对角线以下的元素保留，以上的都为对角线以下的元素保留，以上的都为0XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineer
58、ing Calculation and Engineering Calculation2.6.2矩阵的转置、旋转和翻转矩阵的转置、旋转和翻转1矩阵的转置矩阵的转置B=AB=A.B=permute(A,order)见见helppermute,将将A按按order的顺序进行变换的顺序进行变换,如如1234变成变成42312矩阵的旋转矩阵的旋转B=rot90(A)将将A逆时针旋转逆时针旋转90B=rot90(A,k)将将A逆时针旋转逆时针旋转90的的k倍倍3矩阵的翻转矩阵的翻转B=fliplr(A)左右翻转左右翻转left-rightB=flipud(A)上下翻转上下翻转up-downB=flipd
59、im(A,dim)矩阵沿指定维翻转矩阵沿指定维翻转,如行维为如行维为1，列维为，列维为2XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculation2.6.3方阵的行列式方阵的行列式把一个方阵看作一个行列式，并对其按行列式的把一个方阵看作一个行列式，并对其按行列式的规则求值，这个值就称为矩阵所对应的行列式的规则求值，这个值就称为矩阵所对应的行列式的值。在值。在MATLAB中，求方阵中，求方阵A所对应的行列式的所对应的行列式的值的函数是值的函数是d=de
60、t(X)XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculation2.6.4矩阵的逆与伪逆矩阵的逆与伪逆1方阵的逆方阵的逆AB=BA=I(I为单位矩阵为单位矩阵)Y=inv(X)orY=X(-1)例例2-11用求逆矩阵的方法解线性方程组。用求逆矩阵的方法解线性方程组。Ax=b其解为：其解为：x=A-1b2矩阵的伪逆矩阵的伪逆如果矩阵如果矩阵A不是一个方阵不是一个方阵，或者，或者A是一个是一个非满秩的方阵非满秩的方阵时，矩阵时，矩阵A没有逆矩阵，但可以
61、找到一个与没有逆矩阵，但可以找到一个与A的转置矩阵的转置矩阵A同型的矩阵同型的矩阵B，使得：，使得：ABA=ABAB=B此时称此时称矩阵矩阵B为矩阵为矩阵A的伪逆的伪逆，也称为，也称为广义逆矩阵广义逆矩阵。B=pinv(A)XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculation2.6.5矩阵的秩与迹矩阵的秩与迹1矩阵的秩矩阵的秩矩阵线性无关的行数与列数称为矩阵的秩矩阵线性无关的行数与列数称为矩阵的秩k=rank(A)2矩阵的迹矩阵的迹矩阵的迹等于
62、矩阵的对角线元素之和，也等于矩矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和，也等于矩阵的特征值之和。阵的特征值之和。b=trace(A)b=sum(diag(A)XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculation2.6.6向量和矩阵的范数向量和矩阵的范数矩阵或向量的矩阵或向量的范数范数用来用来度量矩阵或向量在某种意度量矩阵或向量在某种意义下的长度义下的长度。范数有多种方法定义，其定义不同，。范数有多种方法定义，其定义不同，范数值也就不同。范数值也就不同。
63、1向量的向量的3种常用范数及其计算函数种常用范数及其计算函数在在MATLAB中，求向量范数的函数为：中，求向量范数的函数为：norm(V,p):Returnssum(abs(V).p)(1/p)向量中每个元素的向量中每个元素的p次方求和，再进行开次方求和，再进行开p次方。默认为次方。默认为p=2norm(V)或或norm(V,2)：计算向量：计算向量V的的2范数范数norm(V,1)：计算向量：计算向量V的的1范数范数sum(abs(V)norm(V,inf)：计算向量：计算向量V的的范数范数max(abs(V)norm(V,-inf)：计算向量：计算向量V的的-范数范数min(abs(V)X
64、iamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculation2矩阵的范数及其计算函数矩阵的范数及其计算函数MATLAB提供了求提供了求3种矩阵范数的函数，其函数调用格式种矩阵范数的函数，其函数调用格式与求向量的范数的函数完全相同。与求向量的范数的函数完全相同。范数是描述矩阵大小的一个量，类似于向量的模。但是向量是一维的，矩阵范数是描述矩阵大小的一个量，类似于向量的模。但是向量是一维的，矩阵是多维的，所以很难说出实际的意义，不像模代表向量长度一样。是多维的
65、，所以很难说出实际的意义，不像模代表向量长度一样。2.4.7矩阵的条件数矩阵的条件数在在MATLAB中，计算矩阵中，计算矩阵A的的3种条件数的函数是：种条件数的函数是：(1)cond(A,1)计算计算A的的1范数下的条件数。范数下的条件数。(2)cond(A)或或cond(A,2)计算计算A的的2范数数下的条件数。范数数下的条件数。(3)cond(A,inf)计算计算A的的范数下的条件数。范数下的条件数。u用矩阵及其逆矩阵的范数的乘积表示矩阵的条件数，由于矩阵范数的定义不同，因而用矩阵及其逆矩阵的范数的乘积表示矩阵的条件数，由于矩阵范数的定义不同，因而其条件数也不同，但是由于矩阵范数的等价性，
66、故在不同范数下的条件数也是等价的。其条件数也不同，但是由于矩阵范数的等价性，故在不同范数下的条件数也是等价的。矩阵条件数的大小是衡量矩阵矩阵条件数的大小是衡量矩阵“坏坏”或或“好好”的标志。的标志。uTheconditionnumberofamatrixmeasuresthesensitivityofthesolutionofasystemoflinearequationstoerrorsinthedata.Itgivesanindicationoftheaccuracyoftheresultsfrommatrixinversionandthelinearequationsolution.Va
67、luesofcond(X)andcond(X,p)near1indicateawell-conditionedmatrix.XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculation条件数的作用及意义条件数的作用及意义u条件数事实上表示了矩阵计算对于误差的敏感性。对于线性方程组Ax=b，如果A的条件数大，b的微小改变就能引起解x较大的改变，数值稳定性差。如果A的条件数小，b有微小的改变，x的改变也很微小，数值稳定性好。它也可以表示b不变，而A有微小改
68、变时，x的变化情况。比如线性方程组12;3.9991xy=47.999的解是(x,y)=(2,1),而12;3.9991xy=4.0017.998的解是(x,y)=(-3.999,4.000)可见b很小的扰动就引起了x很大的变化，这就是A矩阵条件数大的表现。一个极端的例子，当A奇异时，条件数为无穷，这时即使不改变b，x也可以改变。奇异的本质原因在于矩阵有0特征值，x在对应特征向量的方向上运动不改变Ax的值。如果一个特征值比其它特征值在数量级上小很多，x在对应特征向量方向上很大的移动才能产生b微小的变化，这就解释了为什么这个矩阵为什么会有大的条件数，事实上，正规阵在二范数下的条件数就可以表示成a
69、bs(最大特征值/最小特征值)。XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculation2.6.7矩阵的特征值矩阵的特征值（eigenvalue）与特征向量与特征向量在在MATLAB中，计算矩阵中，计算矩阵A的特征值和特征向量的特征值和特征向量的函数是的函数是eig(A)，常用的调用格式有，常用的调用格式有3种：种：E=eig(A)：求矩阵：求矩阵A的全部特征值，构成向量的全部特征值，构成向量E。列出列出A的特征值的特征值V,D=eig(A)：求矩
70、阵：求矩阵A的全部特征值，构成对的全部特征值，构成对角阵角阵D，并求，并求A的特征向量构成的特征向量构成V的列向量。的列向量。D为以特征值为对角阵元素的对角阵，为以特征值为对角阵元素的对角阵，V为特征值所对应的特征向量。为特征值所对应的特征向量。V,D=eig(A,nobalance)：与第：与第2种格式类似，种格式类似，但第但第2种格式中先对种格式中先对A作相似变换后求矩阵作相似变换后求矩阵A的特的特征值和特征向量，而格式征值和特征向量，而格式3直接求矩阵直接求矩阵A的特征值的特征值和特征向量。和特征向量。（为什么（为什么2、3两种方式得到的特征向量值会不同？）两种方式得到的特征向量值会不同
71、？）XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculation例例2-12用求特征值的方法解方程。用求特征值的方法解方程。3x5-7x4+5x2+2x-18=0p=3,-7,0,5,2,-18;A=compan(p);%A的伴随矩阵的伴随矩阵x1=eig(A)%求求A的特征值的特征值x2=roots(p)%直接求多项式直接求多项式p的零点的零点x1和和x2得到的结果是一样的，但为什么求得到的结果是一样的，但为什么求A的特征值时要先求的特征值时要先求p
72、的伴随矩阵呢？的伴随矩阵呢？XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculation2.5.8矩阵函数矩阵函数sqrtm(A)矩阵平方根矩阵平方根logm(A)矩阵对数矩阵对数expm(A)矩阵指数矩阵指数funm(A,fun)矩阵函数矩阵函数XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculation2.
73、8字符串字符串(CharacterArraysorStrings)u在Matlab中，字符串是用单撇号括起来的字符序列。Matlab将字符串当作一个行向量，每个元素对应一个字符，其标识方法和数值向量相同。也可以建立多行字符串矩阵。u字符串是以ASCII码形式存储的。uabs和double函数都可以用来获取字符串矩阵所对应的ASCII码数值矩阵。相反，char函数可以把ASCII码矩阵转换为字符串矩阵。u字符串变量的建立S=string；S=String1,String2,String,以行向量表示以行向量表示S=String1;String2;String,以列向量表示以列向量表示S=strc
74、at(s1,s2,s3,.)把多个串连接成长串，以行向量表示把多个串连接成长串，以行向量表示S=strvcat(t1,t2,t3,.)创建字符串数组，以列向量表示创建字符串数组，以列向量表示XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering CalculationS=char(X)把符号对象转化为字符串数组（若X为数字，则S为相应的ASCII码值）X=double(S)把其他类型对象转换为双精度数值X=abs(S)取绝对值str=int2str(N)整型变成字符型整
75、型变成字符型str=num2str(A)str=mat2str(A)将数组转换为字符串将数组转换为字符串x=str2num(str)eval(expression)字符串宏指令字符串宏指令ascii=char(reshape(32:127,32,3)XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculation例例2-13建立一个字符串向量建立一个字符串向量ABc123d4e56Fg9，然后对该向量做如下，然后对该向量做如下处理：处理：(1)取第取第15
76、个字符组成的子字符串。个字符组成的子字符串。(2)将字符串倒过来重新排列。将字符串倒过来重新排列。(3)将字符串中的小写字母变成相应的大写字母，其余字符不变。将字符串中的小写字母变成相应的大写字母，其余字符不变。(4)统计字符串中小写字母的个数。统计字符串中小写字母的个数。命令如下：命令如下：ch=ABc123d4e56Fg9;subch=ch(1:5)%取子字符串取子字符串revch=ch(end:-1:1)%将字符串倒排将字符串倒排k=find(ch=a&ch=z);%找小写字母的位置找小写字母的位置ch(k)=ch(k)-(a-A);%将小写字母变成相应的大写字将小写字母变成相应的大写字
77、母母char(ch)length(k)%统计小写字母的个数统计小写字母的个数XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculation2.7结构数据结构数据1结构矩阵的建立与引用结构矩阵的建立与引用结构矩阵的元素可以是不同的数据类型，它能将一组具有不同属性结构矩阵的元素可以是不同的数据类型，它能将一组具有不同属性的数据纳入到一个统一的变量名下进行管理。建立一个结构矩阵可采的数据纳入到一个统一的变量名下进行管理。建立一个结构矩阵可采用给结构成员赋值的办
78、法。具体格式为：用给结构成员赋值的办法。具体格式为：结构矩阵名结构矩阵名.成员名成员名=表达式表达式其中表达式应理解为其中表达式应理解为矩阵表达式矩阵表达式。S.name=EdPlum;%SisastructurescalarS.score=83;S.grade=B+S(2).name=ToniMiller;%SisastructurearrayS(2).score=91;S(2).grade=A-;2.9结构数据结构数据(Structures)XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation
79、and Engineering Calculation2结构成员的修改结构成员的修改可以根据需要增加或删除结构的成员。例如可以根据需要增加或删除结构的成员。例如要给结构矩阵要给结构矩阵a增加一个增加一个成员成员x4，可给，可给a中任意一个元素增加成员中任意一个元素增加成员x4：a(1).x4=410075;但其他成员均为空矩阵，可以使用赋值语句给它赋确定的值。但其他成员均为空矩阵，可以使用赋值语句给它赋确定的值。要删除结构的成员，则可以使用要删除结构的成员，则可以使用rmfield函数来完成函数来完成。例如，删除成员。例如，删除成员x4：a=rmfield(a,x4);3关于结构的函数关于结构
80、的函数除了一般的结构数据的操作外，除了一般的结构数据的操作外，MATLAB还提供了部分函数来进行结还提供了部分函数来进行结构矩阵的操作。构矩阵的操作。XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering CalculationStructurearrayS(i,j)isa11structurearrayS(i,j).nameS(i,j).score.Eachfieldisaarraysuchas:numericalarraycharacterarraylogicala
81、rraystucturearraycellarrayXiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering Calculation引用结构数组中的元素和域引用结构数组中的元素和域引用结构数组中的元素同数值数组没有什么区别。域的引用：1.S(i,j).fieldname2.S.fieldname3.S.fieldname4.S.fieldname5.char(S.fieldname)XiamenXiamen University UniversityMatlabMatla
82、b and Engineering Calculation and Engineering Calculation1细胞数组的建立与引用细胞数组的建立与引用细胞数组的元素可以是任意类型的数据细胞数组的元素可以是任意类型的数据；建立细胞数组和一般矩阵相似，只是矩阵元素用大括号括建立细胞数组和一般矩阵相似，只是矩阵元素用大括号括起来。起来。c=cell(n)c=cell(m,n)orc=cell(mn)c=cell(m,n,p,.)orc=cell(mnp.)c=cell(size(A)可以用带有大括号下标的形式引用单元矩阵元素。可以用带有大括号下标的形式引用单元矩阵元素。ci,j2.9细胞数组细
83、胞数组(cellarray)XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering CalculationCellarrayCi,jisaarbitrary（任意）typearraynumericalarraycharacterarraylogicalarraystucturearraycellarrayXiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engin
84、eering Calculation细胞数组元素的引用和拆分细胞数组元素的引用和拆分1、Ci,jorCIndex2、C(i,j)XiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering CalculationOtherscelldisp(C)显示元胞数组内容显示元胞数组内容cellplot(C)图示元胞数组的内容图示元胞数组的内容C=num2cell(A)C=num2cell(A,dims)s=struct(field1,field2,.)s=struct(type,big,little,color,red,x,34)names=fieldnames(s)Pleaseseemoreforstruct2cellcell2structXiamenXiamen University UniversityMatlabMatlab and Engineering Calculation and Engineering CalculationThisistheendofthischapter！Skillscomefrompractices.
