专项培优章末复习课,考点一函数的概念与表示,1,定义域、对应关系和值域是函数的三个不可分割的要素，其中定义域和对应关系是最本质的要素，这两个确定了，值域也就确定了,2,通过对函数的概念与表示的考查，提升学生的逻辑推理、数学运算素养,例,1,(1),函数,f,(,x,),(2,x,1),0,的定义域为,(,),A,(,，,)B,C,D,(2),已知,a,，,b,为常数，且,a,0,，,f,(,x,),ax,2,bx,，,f,(2),0,，方程,f,(,x,),x,有两个相等的实数根,求函数,f,(,x,),的解析式；,当,x,1,，,2,时，求,f,(,x,),的值域,答案：,(1)D,(2),见解析,解析：,(1),由题意知,解得,x,1,且,x,，所以,f,(,x,),的定义域是,.,故选,D.,(2),由,f,(2),4,a,2,b,0,，得,2,a,b,0,，,(*),f,(,x,),x,，即,ax,2,bx,x,，,即,ax,2,(,b,1),x,0(,a,0),有两个相等的实数根,b,1,0,，,b,1.,将其代入,(*),得,a,，,f,(,x,),x,2,x,.,由,知,f,(,x,),(,x,1),2,，,显然,f,(,x,),在,1,，,2,上是减函数,当,x,1,时，,f,(,x,),max,，,当,x,2,时，,f,(,x,),min,0,，故,当,x,1,，,2,时，函数的值域是,.,跟踪训练,1,(1),函数,y,的定义域是,_,(,2),函数,f,(,x,),在,R,上为奇函数，当,x,0,时，,f,(,x,),1,，则,f,(,x,),的,解析,式,为,_,_,1,，,7,f,(,x,),解析：,(1),要使函数有意义，需,7,6,x,x,2,0,，,即,x,2,6,x,7,0,，解得,1,x,7,，,故所求函数的定义是,1,，,7.,(2),当,x,0,，,f,(,x,),1,，,f,(,x,),在,R,上为奇函数，,f,(,x,),f,(,x,),1,，,又,f,(0),0,，,f,(,x,),的解析式为,f,(,x,),.,考点二分段函数,1,分段函数在定义域的不同部分上有不同的表达式，主要考查与分段函数有关的求值、求参数、单调性、奇偶性等问题,2,通过对分段函数的考查，提升学生的数学运算素养,例,2,已知函数,f,(,x,),(1),求,f,(,x,),的定义域、值域；,(2),求,f,(,f,(1),；,(3),解不等式,f,(,x,1),.,解析：,(1),f,(,x,),的定义域为,(0,，,1),.,易知,f,(,x,),在,(0,，,1),上为增函数，,0,f,(,x,),，,f,(,x,),在,上为减函数，,0,等价于,或,或,解,得,x,0,，解,得,0,x,的解集为,.,跟踪训练,2,设,f,(,x,),若,f,(,a,),f,(,a,1),，则,f,(,),A,2 B,4,C,6 D,8,答案：,C,解析：,方法一：当,0,a,1,，,f,(,a,),，,f,(,a,1),2(,a,1,1),2,a,.,f,(,a,),f,(,a,1),，,2,a,，解得,a,.,f,f,(4),2,(4,1),6,；,当,a,1,时，,f,(,a,),2(,a,1),，,f,(,a,1),2(,a,1,1),2,a,.,由,f,(,a,),f,(,a,1),，得,2(,a,1),2,a,，无解,当,a,1,时，,a,1,2,，,f,(1),0,，,f,(2),2,，不符合题意,综上，,f,6.,方法二：由当,x,1,时，,f,(,x,),2(,x,1),是增函数，可知若,a,1,，则,f,(,a,),f,(,a,1),，,0,a,0,，,c,0,，,b,0.,令,f,(,x,),0,，得,x,，结合图象知,0,，,a,0.,(2),向如图所示的容器甲中注水，下面图象中可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系的是,(,),B,解析：,(2),由容器甲的形状可知：注入水的高度随着时间的增长越来越高，但增长的速度越来越慢，即图象开始时陡峭，后来趋于平缓，观察图象可知只有,B,符合，故选,B.,跟踪训练,3,(1),设,abc,0,，二次函数,f,(,x,),ax,2,bx,c,的图象可能是,(,),(,2),已知定义在,R,上的奇函数,f,(,x,),在,x,0,时的图象如图所示，则,f,(,x,),0,的解为,_,_,D,(,，,4),解析：,(1)A,项，由图象开口向下知,a,0,，由对称轴位置知,0,，所以,b,0,，所以,c,0.,而由题图知,f,(0),c,0,，,A,错；,B,项，由题图知,a,0,，故,b,0.,又因为,abc,0,，所以,c,0,，,B,错；选项,C,，,D,中，开口向上，故,a,0,，,f,(0),c,0,知,b,0,，故,C,错，,D,正确故选,D.,(2),由于,f,(,x,),为,R,上的奇函数，图象关于原点对称，因此可作出函数在,(,，,0),上的图象如图所示由图可知,f,(,x,)0,的解集为,(,，,4),考点四函数的性质及应用,1,函数的单调性与奇偶性是函数最重要的性质，从命题形式看，求单调区间、单调性与奇偶性的判定，利用单调性求最值或参数的取值范围是命题的重点与热点,2,通过对函数性质的考查，提升学生的逻辑推理、数学运算素养,例,4,已知,f,(,x,),是定义在,1,，,1,上的奇函数，且,f,(1),1,，若,a,，,b,1,，,1,，,a,b,0,时，有,0,成立,(1),判断,f,(,x,),在,1,，,1,上的单调性，并证明,解析：,(1),f,(,x,),在,1,，,1,上单调递增证明如下：,任取,x,1,，,x,2,1,，,1,，且,x,1,0,，,又,x,1,x,2,0,，,f,(,x,1,),f,(,x,2,)0,，即,f,(,x,1,),f,(,x,2,),f,(,x,),在,1,，,1,上单调递增,(2),解不等式：,f,f,.,解析：,(2),f,(,x,),在,1,，,1,上单调递增，,解得,x,1.,故原不等式的解集为,.,(3),若,f,(,x,),m,2,2,am,1,对所有的,a,1,，,1,恒成立，求实数,m,的取值范围,解析：,(3),f,(1),1,，,f,(,x,),在,1,，,1,上单调递增，,在,1,，,1,上，,f,(,x,),1.,问题转化为,m,2,2,am,1,1,，,即,m,2,2,am,0,对,a,1,，,1,恒成立,设,g,(,a,),2,m,a,m,2,0.,若,m,0,，则,g,(,a,),0,0,，自然对,a,1,，,1,恒成立,若,m,0,，则,g,(,a,),为,a,的一次函数，若,g,(,a,),0,，对,a,1,，,1,恒成立，必须,g,(,1),0,，且,g,(1),0,，,即,解得,m,2,或,m,2.,故,m,的取值范围是,m,|,m,0,或,m,2,或,m,2,跟踪训练,4,已知函数,f,(,x,),ax,2,2(1,a,),x,b,(,a,，,b,R,),(1),若,a,0,，且函数,f,(,x,),在区间,(,，,3,上单调递增，求实数,a,的取值范围,解析：,(1),a,0,，且函数,f,(,x,),在,(,，,3,上单调递增，,解得,a,0,，,实数,a,的取值范围是,a,0.,(2),令,f,(,x,),xg,(,x,)(,x,0),，且,f,(,x,),为偶函数，试判断,g,(,x,),的单调性，并加以证明,解析：,(2),f,(,x,),为偶函数，,f,(,x,),f,(,x,),，,即,ax,2,2(1,a,),x,b,ax,2,2(1,a,),x,b,对任意,x,0,都成立，,a,1,，则,g,(,x,),x,(,x,0),设,x,1,，,x,2,为区间,A,上的任意两个数，且,x,1,x,2,，,则,g,(,x,1,),g,(,x,2,),x,1,x,2,(,x,1,x,2,),，,当,b,0,时，,g,(,x,),的单调递增区间为,(,，,0),和,(0,，,),当,b,0,时，,A,(,，,0),或,(0,，,),，,g,(,x,1,),g,(,x,2,)0,时，,A,(,，,),或,(,，,),，,g,(,x,1,),g,(,x,2,)0,，,g,(,x,),在区间,(,，,),和,(,，,),上单调递增；,同理,g,(,x,),在区间,(,，,0),和,(0,，,),上单调递减,综上可知，当,b,0,时，,g,(,x,),的单调递增区间为,(,，,0),和,(0,，,),；当,b,0,时，,g,(,x,),的单调递增区间为,(,，,),和,(,，,),，单调递减区间为,(,，,0),和,(0,，,),。