第一章第一章 观测误差与传播律观测误差与传播律 第一节 观测误差 第二节 偶然误差的统计性质 第三节 衡量精度的指标 第四节 协方差阵、协因数阵和权阵 第五节 广义传播律 第六节 广义传播律在测量中的应用第七节 系统误差的传播 第一节第一节 观测误差观测误差 当对某量进行重复观测时，就会发现，这些观测值之间当对某量进行重复观测时，就会发现，这些观测值之间会存在一些差异例如，对现一段距离重复测量若干次，量会存在一些差异例如，对现一段距离重复测量若干次，量得的长度通常是互有新式异另一种情况是，如果已经知道得的长度通常是互有新式异另一种情况是，如果已经知道某几个量之间应该满足某一理论关系，但当对这几个量进行某几个量之间应该满足某一理论关系，但当对这几个量进行观测后，也会发现实际观测结果往往不能满足应有的理论关观测后，也会发现实际观测结果往往不能满足应有的理论关系例如，从几何上知道一平面三角形内角之和应等于系例如，从几何上知道一平面三角形内角之和应等于180°180°，但如果对这三个内角进行观测，则三内角观测值之和常常，但如果对这三个内角进行观测，则三内角观测值之和常常不等于不等于180°180°，而有差异。
而有差异 在同一量的各观测值之间，或在各观测值与其理论上的应在同一量的各观测值之间，或在各观测值与其理论上的应有值之间存在差异的现角，在测量工作中是普通存在的为有值之间存在差异的现角，在测量工作中是普通存在的为什么会产生这种差异呢？不难理解，这是由于观测值中包含什么会产生这种差异呢？不难理解，这是由于观测值中包含有观测误差的缘故有观测误差的缘故 观测误差的产生原因很多，概括起来有以下三方面：观测误差的产生原因很多，概括起来有以下三方面：返回目录 一一 测量仪器测量仪器 测量工作通常是利用测量仪器进行的由于每种仪器只测量工作通常是利用测量仪器进行的由于每种仪器只具有一定限度的精密度，因而使观测测值的精密度受到一定具有一定限度的精密度，因而使观测测值的精密度受到一定的限制，例如，在用只刻有厘米分划的普通水准尺进行水准的限制，例如，在用只刻有厘米分划的普通水准尺进行水准测验量时，就难以保证在估读厘米以下的尾数时完全正确无测验量时，就难以保证在估读厘米以下的尾数时完全正确无误；同时，仪器本身也有一定的误差，便如，水准仪的视准误；同时，仪器本身也有一定的误差，便如，水准仪的视准轴不平行于水准轴，水准尺的分划误差等等。
因此，使用这轴不平行于水准轴，水准尺的分划误差等等因此，使用这种水准仪和水准尺进行观测，就会和水准测量的结果产生误种水准仪和水准尺进行观测，就会和水准测量的结果产生误差同样，经纬仪、测距仪、差同样，经纬仪、测距仪、GPSGPS、、全站仪等仪器的误差也全站仪等仪器的误差也使测量结果产生误差使测量结果产生误差二二 观测者观测者 由于观测者的感觉器官的鉴别能力有一定的局限性，所由于观测者的感觉器官的鉴别能力有一定的局限性，所以在仪器的安置、照准、读数等方面都会产生误差同时，以在仪器的安置、照准、读数等方面都会产生误差同时，观测者的工作态度和技术水平，也是对观测成果质量有直接观测者的工作态度和技术水平，也是对观测成果质量有直接影响的重要因素影响的重要因素返回目录 三三 外界条件外界条件 观测时所处的处界条件，如温度、湿度、风力、大气折光观测时所处的处界条件，如温度、湿度、风力、大气折光 等因素都会对测量结果直接产生影响；同时，随着温度的高等因素都会对测量结果直接产生影响；同时，随着温度的高 低，湿度的大小，风力的强弱以及大气折光的不同，它们对低，湿度的大小，风力的强弱以及大气折光的不同，它们对 测量结果的影响也随之不同，因而在这样的客观环境下进行测量结果的影响也随之不同，因而在这样的客观环境下进行 观测，就必然使观测的结果产生误差。
观测，就必然使观测的结果产生误差 上述测量仪器、观测者、外界条件三方面的因素是引起误上述测量仪器、观测者、外界条件三方面的因素是引起误差的主要来源因此，我们把这三方面的因素综合起来称为差的主要来源因此，我们把这三方面的因素综合起来称为观测条件不难想象，观测条件的好、坏与观测成果的质量观测条件不难想象，观测条件的好、坏与观测成果的质量有着密切的联系当观测条件好一些，观测中所产生的误差有着密切的联系当观测条件好一些，观测中所产生的误差平均说来就可能相应地小一些，因而观测成果的质量就会高平均说来就可能相应地小一些，因而观测成果的质量就会高一些反之，观测条件差一些，观测成果的质量就会低一些反之，观测条件差一些，观测成果的质量就会低一些如果观测条件相同，观测成果的质量也就可以说是相同的如果观测条件相同，观测成果的质量也就可以说是相同的所以说，观测成果的质量高低也就客观地反映了观测条件的所以说，观测成果的质量高低也就客观地反映了观测条件的优劣但是，不管观测条件如何，在整个观测过程中，由于优劣但是，不管观测条件如何，在整个观测过程中，由于受到上述种种因素的影响，观测的结果就会产生这样或那样受到上述种种因素的影响，观测的结果就会产生这样或那样的误差。
从这一意义上来说，在测量中产生误差是不可避免的误差从这一意义上来说，在测量中产生误差是不可避免的当然在客观条件允许的限度内，测量工作者可以而且的当然在客观条件允许的限度内，测量工作者可以而且返回目录 必须确保观测成果具有较高的质量但是，不管观测条件如必须确保观测成果具有较高的质量但是，不管观测条件如何，在整个观测过程中，由于受到上述种种因素的影响，观何，在整个观测过程中，由于受到上述种种因素的影响，观测的结果就会产生这样或那样的误差从这一意义上来说，测的结果就会产生这样或那样的误差从这一意义上来说，在测量中产生误差是不可避免的当然在客观条件允许的限在测量中产生误差是不可避免的当然在客观条件允许的限度内，测量工作者可以而且必须确保观测成果具有较高的质度内，测量工作者可以而且必须确保观测成果具有较高的质量 根据观测误差的来源与对观测结果的影响性质、可将观根据观测误差的来源与对观测结果的影响性质、可将观测误差分为系统误差、偶然误差和粗差三种测误差分为系统误差、偶然误差和粗差三种 一一 系统误差系统误差 在相同的观测条件下一系列的观测，如果误差在大小、在相同的观测条件下一系列的观测，如果误差在大小、符号上表现出系统性，或者在观测过程中按一定的规律变化，符号上表现出系统性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或者为某一常数，那么，这种误差就称为系统误差。
或者为某一常数，那么，这种误差就称为系统误差 例如，用具有某一尺长误差的钢尺量距时，由尺长误差例如，用具有某一尺长误差的钢尺量距时，由尺长误差所引起的距离误差与所测距离的长度成正比地增加，距离愈所引起的距离误差与所测距离的长度成正比地增加，距离愈长，所积累的误差也愈大；经纬仪因校正或整置的不完善而长，所积累的误差也愈大；经纬仪因校正或整置的不完善而使所测角度产生误差；等等这些都是由于仪器不完善或工使所测角度产生误差；等等这些都是由于仪器不完善或工作前未经检验校正而产生的系统误差又如，用钢尺量距时作前未经检验校正而产生的系统误差又如，用钢尺量距时的温度与检定尺长时的温度不一致，而使所测的距离产生误的温度与检定尺长时的温度不一致，而使所测的距离产生误差；差；返回目录 测角时因大气折光的影响而产生的角度误差等等，这些都测角时因大气折光的影响而产生的角度误差等等，这些都是由于外界条件所引起的系统误差此外，如某些观测者是由于外界条件所引起的系统误差此外，如某些观测者在照准目标时，总是习惯于把望远镜十字丝对准目标中央在照准目标时，总是习惯于把望远镜十字丝对准目标中央的某一侧，也会使观测结果带有系统误差。
的某一侧，也会使观测结果带有系统误差二二 偶然误差偶然误差 在相同的观测条件下一系列的观测，如果误差在大小在相同的观测条件下一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个误差看，该列误差的和符号上都表现出偶然性，即从单个误差看，该列误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差一定的统计规律，这种误差称为偶然误差 例如，在用经纬仪测角时，测角误差是由照准误差、例如，在用经纬仪测角时，测角误差是由照准误差、读数误差、外界条件变化所引起的误差、仪器本身不完善读数误差、外界条件变化所引起的误差、仪器本身不完善而引起的误码差等综合的结果而其中每项误差又是由许而引起的误码差等综合的结果而其中每项误差又是由许多偶然（随机）因素所引起的小误差的代数和例如照准多偶然（随机）因素所引起的小误差的代数和例如照准误差可能是由于脚架或觇标的晃动或扭转、风力风向的变误差可能是由于脚架或觇标的晃动或扭转、风力风向的变化、目标的背景、大气折光和大气透明度等等偶然因素影化、目标的背景、大气折光和大气透明度等等偶然因素影响而产生的小误差的代数和。
响而产生的小误差的代数和返回目录 因此，测角误差实际上是许许多多微小误差项的总和，因此，测角误差实际上是许许多多微小误差项的总和，而每项微小误差又随着偶然因素影响的不断变化，其数值忽而每项微小误差又随着偶然因素影响的不断变化，其数值忽大忽小，其符号或正或负，这样，由它们所构成的总和，就大忽小，其符号或正或负，这样，由它们所构成的总和，就某个体而言，无论是数值的大小或符号的正负都是不能事先某个体而言，无论是数值的大小或符号的正负都是不能事先预知的，因此，把这种性质的误差称为偶然误差根据概率预知的，因此，把这种性质的误差称为偶然误差根据概率统计理论知，如果各个误差项对其总和的影响都是均匀地小，统计理论知，如果各个误差项对其总和的影响都是均匀地小，即其中没有一项比其它项的影响占绝对优势时，那么它们的即其中没有一项比其它项的影响占绝对优势时，那么它们的总和将是服从或近似地服从正态分布的随机变量因此，偶总和将是服从或近似地服从正态分布的随机变量因此，偶然误差就其总体而言，都具有一定统计规律，故有时又把偶然误差就其总体而言，都具有一定统计规律，故有时又把偶然误差称为随机误差然误差称为随机误差。
三三 粗差粗差 粗差是一种大量级的观测误差，它是测量上的失误粗差是一种大量级的观测误差，它是测量上的失误在测量成果中，是不允许粗差存在的粗差产生的原因较多，在测量成果中，是不允许粗差存在的粗差产生的原因较多，主要是作业员的疏忽大意、失职而引起的，如大数被读错、主要是作业员的疏忽大意、失职而引起的，如大数被读错、读数被记录员记错、照准了错误的目标、在航测象片上选错读数被记录员记错、照准了错误的目标、在航测象片上选错了控制点的影象等了控制点的影象等返回目录 在观测数据中应尽可能设法避免出现粗差行之有效在观测数据中应尽可能设法避免出现粗差行之有效 的发现粗差的方法有：进行必要的重复现测；通过多余观的发现粗差的方法有：进行必要的重复现测；通过多余观 测测, , 采用必要而又严格的检核、验算等方式均可发现粗差国采用必要而又严格的检核、验算等方式均可发现粗差国家的测绘机构制定的各类测量规范和细则，一般也能起到防止家的测绘机构制定的各类测量规范和细则，一般也能起到防止粗差出现和发现粗差的作用粗差出现和发现粗差的作用 含有粗差的观测值都不能采用。
因此，一但发现粗含有粗差的观测值都不能采用因此，一但发现粗差，该观测值必须舍弃或重测尽管我们十分小心谨慎，粗差差，该观测值必须舍弃或重测尽管我们十分小心谨慎，粗差有时仍然在所难免因此，如何在大量的观测数据中发现和剔有时仍然在所难免因此，如何在大量的观测数据中发现和剔除粗差，或在数据处理中削弱含粗差的观测值对平差计算成果除粗差，或在数据处理中削弱含粗差的观测值对平差计算成果的影响，乃是测绘界十分关注的课题之一的影响，乃是测绘界十分关注的课题之一 系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的 当观测值中有显著的系统误差时，偶然误差就居于次要地位，当观测值中有显著的系统误差时，偶然误差就居于次要地位，观测误差就呈现出系统的性质反之，则呈现出偶然的性质观测误差就呈现出系统的性质反之，则呈现出偶然的性质系统误差对于观测结果的影响一般具有累积的作用，它对成果系统误差对于观测结果的影响一般具有累积的作用，它对成果质量的影响也特别显著质量的影响也特别显著返回目录 在实际工作中，应该采用各种方法来消除系统误差，或在实际工作中，应该采用各种方法来消除系统误差，或者减小其对观测成果的影响，达到实际上可以忽略不计的程者减小其对观测成果的影响，达到实际上可以忽略不计的程度。
例如，在进行水准测量时，使前后视距相等，以消除由度例如，在进行水准测量时，使前后视距相等，以消除由于视准轴不平行于水准轴对观测高差所引起的系统误差；对于视准轴不平行于水准轴对观测高差所引起的系统误差；对量距用的钢尺预先进行检定，求出尺长误差的大小，对所量量距用的钢尺预先进行检定，求出尺长误差的大小，对所量的距离进行尺长改正，以消除由于尺长误差对量距所引起的的距离进行尺长改正，以消除由于尺长误差对量距所引起的系统误差等等，都是消除系统误差的方法系统误差等等，都是消除系统误差的方法 当观测值中已经排除了系统误差的影响，或者与偶当观测值中已经排除了系统误差的影响，或者与偶然误差相比已处于次要地位，则该观测值中主要是存在着偶然误差相比已处于次要地位，则该观测值中主要是存在着偶然误差这样的观测值，就称为带有偶然误差的观测值这然误差这样的观测值，就称为带有偶然误差的观测值这样的观测结果和偶然误差便都是一些随机变量，如何处理这样的观测结果和偶然误差便都是一些随机变量，如何处理这些随机变量，是测量平差这一学科所要研究的内容些随机变量，是测量平差这一学科所要研究的内容。
由于观测结果不可避免地存在着偶然误差的影响，由于观测结果不可避免地存在着偶然误差的影响，因此，在实际工作中，为了提高成果的质量，同时也为了检因此，在实际工作中，为了提高成果的质量，同时也为了检查和及时发现观测值中有无粗差存在，通常要使观测值的个查和及时发现观测值中有无粗差存在，通常要使观测值的个数多于未知量的个数，也就是要进行多余观测数多于未知量的个数，也就是要进行多余观测返回目录 例如，对一条导线边，丈量一次就可得出其长度，但实例如，对一条导线边，丈量一次就可得出其长度，但实际上总要丈量两次或两次以上；一个平面三角形，只需要观际上总要丈量两次或两次以上；一个平面三角形，只需要观测其中的两个内角，即可决定它的形状，但通常是观测三个测其中的两个内角，即可决定它的形状，但通常是观测三个内角 由于偶然误差的存在，通过多余观测必然会发现在由于偶然误差的存在，通过多余观测必然会发现在观测结果之间不相一致，或不符合应有关系而产生的不符值观测结果之间不相一致，或不符合应有关系而产生的不符值因此，必须对这些带有偶然误差的观测值进行处理，使得消因此，必须对这些带有偶然误差的观测值进行处理，使得消除不符值后的结果，可以认为是观测量的最可靠的结果。
由除不符值后的结果，可以认为是观测量的最可靠的结果由于这些带有偶然误差的观测值是一些随机变量，因此，可以于这些带有偶然误差的观测值是一些随机变量，因此，可以根据概率统计的方法来求出观测量的最可靠结果，根据概率统计的方法来求出观测量的最可靠结果，这就是测这就是测量平差的一个主要任务量平差的一个主要任务 测量平差的另一项任务测量平差的另一项任务，，就是评定观测值及其函就是评定观测值及其函数的最可靠结果的精度，也就是考核测量结果的质量人们数的最可靠结果的精度，也就是考核测量结果的质量人们把这一数据处理的整个过程叫做把这一数据处理的整个过程叫做“测量平差测量平差”概括起来讲，概括起来讲，测量平差有两大任务：一是通过数据处理求待定量的最佳估测量平差有两大任务：一是通过数据处理求待定量的最佳估值；二是评估观测成果的质量值；二是评估观测成果的质量返回目录 第二节 偶然误差的统计性质 任何一个观测量，客观上总是存在着一个能代表其真正任何一个观测量，客观上总是存在着一个能代表其真正大小的数这一数值就称为该观测量的真值从概率和数理大小的数这一数值就称为该观测量的真值。
从概率和数理统计的观点看，当观测量仅含偶然误差时，其数学期望也就统计的观点看，当观测量仅含偶然误差时，其数学期望也就是它的真值是它的真值 设进行了设进行了n n次观测，其观测值为次观测，其观测值为L1L1、、L2L2、、……、、LnLn, ,假假定观测量的真值为定观测量的真值为 、、 、、… … ，由于各观测值都带有，由于各观测值都带有一定的误差，因此，每一观测值一定的误差，因此，每一观测值LiLi与其真值或与其真值或E E（（LiLi））之间之间必存在一差数，设为必存在一差数，设为 （（1-11-1）） 式中式中 称为真误差，有时简称为误差。
称为真误差，有时简称为误差返回目录 若记若记 则有则有 （（1-21-2））如果以被观测量的数学期望如果以被观测量的数学期望 表示其真值，则表示其真值，则 （（1-31-3）） 测量平差中所要处理的观测值是假定不包含系统测量平差中所要处理的观测值是假定不包含系统误差和粗差的，因此这里的误差和粗差的，因此这里的△△仅仅是指偶然误差。
人们从无仅仅是指偶然误差人们从无数的测量实践中发现，在相同的观测条件下，大量偶然误差数的测量实践中发现，在相同的观测条件下，大量偶然误差的分布表现出一定的统计规律性，那就是它服从正态分布的分布表现出一定的统计规律性，那就是它服从正态分布下面通过实例来说明这种规律性下面通过实例来说明这种规律性返回目录 在某测区，在相同的条件下，独立地观测了在某测区，在相同的条件下，独立地观测了358358个三角个三角形的全部内角，由于观测值带有误差，故三角观测值之和不形的全部内角，由于观测值带有误差，故三角观测值之和不等于其真值等于其真值180°180°，根据（，根据（1-11-1）式，各个三角形内角和的真）式，各个三角形内角和的真误差可由下式算出：误差可由下式算出： 式中（式中（L1+ L2+ L3L1+ L2+ L3））i i表示各三角形内角和的观测值表示各三角形内角和的观测值 现取误差区间的间隔现取误差区间的间隔d d△△为为0.220.22〃〃，将一组误差按其，将一组误差按其正负号与误差值的大小排列；统计误差出现在各区间内的个正负号与误差值的大小排列；统计误差出现在各区间内的个数，以及数，以及““误差出现在某个区间内误差出现在某个区间内””这一事件的频率（此处这一事件的频率（此处n n=358=358），），其结果列于表其结果列于表1-11-1中。
中返回目录 误差的 区间〃 △为负值 △为正值 备注 个数 频率 个数 频率 0.00~0.200.20~0.400.40~0.600.60~0.800.80~1.001.00~1.201.20~1.401.40~1.601.60以上 454033231713640 0.1260.1120.0920.0640.0470.0360.0170.0110 0.6300.5600.4600.3200.2350.1800.0850.0550 464133211613520 0.1280.1150.0920.0590.0450.0360.0140.0060 0.6400.5750.4600.2950.2250.1800.0700.0300 d△= 0.22〃等于区间左端值的误差算入该区间内和 1810.505 177 0.495 表表 1-1返回目录 从表从表1-11-1中可以看出，误差的分布情况具有以下性质：中可以看出，误差的分布情况具有以下性质：（（1 1）误差的绝对值有一定的限值；）误差的绝对值有一定的限值； （（2 2）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差；）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差； （（3 3）绝对值相等的正负误差的个数相近。
绝对值相等的正负误差的个数相近 为了便于以后对误差分布互相比较，下面对另一测区的为了便于以后对误差分布互相比较，下面对另一测区的421421个三角形内角和的一组真误差，按上述方法作了统计，其结个三角形内角和的一组真误差，按上述方法作了统计，其结果列于表果列于表1-21-2 表表1-21-2中所列的中所列的421421个真误差，尽管其观测条件不同个真误差，尽管其观测条件不同于表于表1-11-1中的真误差，但从表中可以看出；愈接近于零误差中的真误差，但从表中可以看出；愈接近于零误差的区间，其频率愈大；随着离开零误差愈来愈远，其频率亦的区间，其频率愈大；随着离开零误差愈来愈远，其频率亦逐渐递减；且出现在正负误差区间内的频率基本上相等因逐渐递减；且出现在正负误差区间内的频率基本上相等因而，表而，表1-21-2的误差分布情况与表的误差分布情况与表1-11-1内误差分布的情况具有相内误差分布的情况具有相同的性质同的性质返回目录 表表 1-2 误差的 区间〃 △为负值 △为正值 备注 个数 频率 个数 频率 0.00~0.200.20~0.400.40~0.600.60~0.800.80~1.001.00~1.201.20~1.401.40~1.601.60~1.801.80~2.002.00~2.202.20~2.402.40~2.602.60以上 403431252016149756210 0.0950.0810.0740.0590.0480.0380.0330.0210.0170.0120.0140.0050.0020 0.4750.4050.3700.2950.2400.1900.1650.1050.0850.0600.0700.0250.0100 3736292718171310874320 0.0880.0850.0690.0640.0430.0400.0310.0240.0190.0170.0090.0070.0050 0.4400.4250.3450.3200.2510.2000.1550.1200.0950.0850.0450.0350.0250 d△= 0.22〃等于区间左端值的误差算入该区间内和 2100.499 2110.501 返回目录 误差分布的情况，除了采用上述误差分布的情况，除了采用上述误差分布的形式表达外，还可以利误差分布的形式表达外，还可以利用图形来表达。
例如，以横坐标表用图形来表达例如，以横坐标表示误差的大小，纵坐标代表各区间示误差的大小，纵坐标代表各区间内误差出现的频率除以区间的间隔内误差出现的频率除以区间的间隔值，即值，即 （此处间隔值均取（此处间隔值均取d d△=0.22″)△=0.22″)分别根据表分别根据表1-11-1和图和图1-11-1可见，此可见，此时图中每一误差区间上的长方条面时图中每一误差区间上的长方条面积就代表误差出现在该区间内的频积就代表误差出现在该区间内的频率例如，图率例如，图1-11-1中画出斜线的长方中画出斜线的长方条面积，就是代表误差出现在条面积，就是代表误差出现在0.000.00〃〃~+0.20~+0.20〃〃区间内的频率区间内的频率0.1280.128这种图通常称为直方图，它形象地表种图通常称为直方图，它形象地表示了误差的分布情况示了误差的分布情况 返回目录 由此可知，在相同观测条件下所得到的一组独立观由此可知，在相同观测条件下所得到的一组独立观测验的误差，只要误差的总个测验的误差，只要误差的总个n n足够多，那么，误差出现在足够多，那么，误差出现在各区间内的频率就总是稳定在某一常数（理论频率）附近，各区间内的频率就总是稳定在某一常数（理论频率）附近，而且当观测个数愈多时，稳定的程度也就愈大。
例如，就而且当观测个数愈多时，稳定的程度也就愈大例如，就表表1-11-1的一组误差而言，在观测条件不变的情况下，如果再的一组误差而言，在观测条件不变的情况下，如果再继续观测更多的三角形，则可预知，随着观测的个数愈来继续观测更多的三角形，则可预知，随着观测的个数愈来愈多，误差出现愈多，误差出现 在各区间内的频率，其变动的幅度也就愈在各区间内的频率，其变动的幅度也就愈来愈小，当来愈小，当n n→∞→∞时，各频率也就趋于一个完全确定的数值，时，各频率也就趋于一个完全确定的数值，这就是误差出现在各区间的概率这就是说，在一定的观这就是误差出现在各区间的概率这就是说，在一定的观测条件下，对应着一种确定的误差分布测条件下，对应着一种确定的误差分布 在在n n→∞→∞的情况下，由于误差出现的频率已趋于完全的情况下，由于误差出现的频率已趋于完全稳定，如果此时把误差区间间隔无限缩小，则可想象到，稳定，如果此时把误差区间间隔无限缩小，则可想象到，图图 1-11-1及图及图1-21-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图图 1-31-3所示的两条光滑的曲线。
这种曲线也就是误差的概所示的两条光滑的曲线这种曲线也就是误差的概率分布曲线，或称为误差分布曲线由此可见，偶然误差率分布曲线，或称为误差分布曲线由此可见，偶然误差的频率分布，随着的频率分布，随着n n的逐渐增大，都是以正态分布为其极限的逐渐增大，都是以正态分布为其极限通常也称偶然误差的频率分布为其经验分布，而将正态分通常也称偶然误差的频率分布为其经验分布，而将正态分布称为它们的理论分布因此，在以后的理论研究中，都布称为它们的理论分布因此，在以后的理论研究中，都是以正态分开布作为描述偶然误差分布的数学模型，这不是以正态分开布作为描述偶然误差分布的数学模型，这不仅可以带来工作上的便利，而且基本上也是符合实际情况仅可以带来工作上的便利，而且基本上也是符合实际情况的的. . 返回目录 通过以上讲座我们还可以进一步用概率的术语来概括通过以上讲座我们还可以进一步用概率的术语来概括偶然误差的几个特性：偶然误差的几个特性：1 1．在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或者．在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或者说，超出一定限值的误差，其出现的概率为零；说，超出一定限值的误差，其出现的概率为零；2 2．绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；．绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；3 3．绝对值相等的正负误差出现的概率相同；．绝对值相等的正负误差出现的概率相同；4 4．根据（．根据（1-31-3）式可知，偶然误差的数学期望为零，即）式可知，偶然误差的数学期望为零，即 （（1-41-4）） 换句话说，偶然误差的理论平均值为零。
换句话说，偶然误差的理论平均值为零 对于一系列的观测而言，不论其观测条件是好是差，对于一系列的观测而言，不论其观测条件是好是差，也不论是对同一个量还是对不同量进行观测，只要这些观也不论是对同一个量还是对不同量进行观测，只要这些观测是在相同的条件下独立进行的，则所产生的一组偶然误测是在相同的条件下独立进行的，则所产生的一组偶然误差必然具有上述的四个特性差必然具有上述的四个特性返回目录 图图1-11-1和图和图1-21-2中各长方条的纵坐标为，其面积即为误差中各长方条的纵坐标为，其面积即为误差出现在该区内的频率如果将这个结果提到理论上来讨论，出现在该区内的频率如果将这个结果提到理论上来讨论，则以理论分布取代经验分布（则以理论分布取代经验分布（1-31-3），此时，图），此时，图1-11-1和图和图1-21-2中各长方条的纵坐标就是中各长方条的纵坐标就是△△的密度函数的密度函数f f（（△△），），而长方条而长方条的面积为的面积为f f（（△△））d d△,△,即代表误差出现在该区间内的概率，即代表误差出现在该区间内的概率， 即即 P P（（△△））= =f f(△)(△)d d△ (1-5)△ (1-5) 顾及（顾及（1-41-4）式，可写出）式，可写出△△的概率密度式为的概率密度式为 （（1-61-6）） 式中式中 为中误差。
当上式中的参数确定后，为中误差当上式中的参数确定后，即可画出它所对应误差分布曲线由于即可画出它所对应误差分布曲线由于E E（（△△））=0=0，，所以该所以该曲线是以横坐标为曲线是以横坐标为0 0处的纵轴为对称轴当处的纵轴为对称轴当 不同时，曲线不同时，曲线的位置不变，但分布曲线的开头将发生变化例如，图的位置不变，但分布曲线的开头将发生变化例如，图1-31-3中就是表示中就是表示 不相等时的两条曲线上述讲座可知，偶不相等时的两条曲线上述讲座可知，偶然误差然误差△△是服从是服从 N N（（0 0，， ））分布的随机变量分布的随机变量返回目录 第三节 衡量精度的指标 测量平差的主要任务之一，就是评定测量成果测量平差的主要任务之一，就是评定测量成果的精度如何正确理解的精度如何正确理解“精度精度”的含义以及怎样衡的含义以及怎样衡量精度的高低？这是本节所要讨论的主要内容量精度的高低？这是本节所要讨论的主要内容 一一 方差和中误差方差和中误差 二二 其它精度指标其它精度指标 三三 权与协因数权与协因数 四四 精度与准确度精度与准确度返回目录 为了阐述精度的含义，先分析上节中的两个实例。
图为了阐述精度的含义，先分析上节中的两个实例图1-11-1和图和图1-21-2分别是在不同的观测条件下所测得的两组误差的频率分别是在不同的观测条件下所测得的两组误差的频率分布图（直方图），图中每个长方条的面积就是误差出现时分布图（直方图），图中每个长方条的面积就是误差出现时于该区间内的频率频率的大小见表于该区间内的频率频率的大小见表1-11-1及表及表1-21-2中的数值中的数值 不难理解，如果将表不难理解，如果将表1-11-1中中0.000.00〃〃~-0.20~-0.20〃〃和和 0.000.00〃〃~+0.20~+0.20〃〃这两个区间的频率相加，即得这两个区间的频率相加，即得-0.20~+0.20-0.20~+0.20〃〃区间区间内的频率为内的频率为0.2540.254如果按此法进行累计，则知误差出现于如果按此法进行累计，则知误差出现于- -0.600.60〃〃~+0.60~+0.60〃〃区间内的频率为区间内的频率为0.6650.665这就是说，在表这就是说，在表1-11-1的这组误差中，出现于的这组误差中，出现于-0.60-0.60〃〃~+0.60~+0.60〃〃区间以内的误差占误区间以内的误差占误差总数的差总数的66.5%66.5%；而出现在这一区间以外的误差，即绝对值大；而出现在这一区间以外的误差，即绝对值大于于0.60.6〃〃误差，其频率为误差，其频率为1-0.665=0.335,1-0.665=0.335,即占误差总数的即占误差总数的33.5%33.5%。
如果对表如果对表1-21-2的那组误差也如此累计，即知出现在的那组误差也如此累计，即知出现在- -0.600.60〃〃~+0.60~+0.60〃〃区间内的频率为区间内的频率为0.4920.492，而出现于这一区间以，而出现于这一区间以外的频率为外的频率为1-0.492=0.5081-0.492=0.508这就是说，出现于这就是说，出现于-0.60-0.60〃〃~+0.60~+0.60〃〃这一区间之内和区间之外的误差，各占误差总数的这一区间之内和区间之外的误差，各占误差总数的49.2%49.2%和和50.8%50.8% 上述数字说明了，表上述数字说明了，表1-11-1中的误差更集中于零附近，因此中的误差更集中于零附近，因此可以说这一组误差分布得为密集，或者说它的离散度小；相可以说这一组误差分布得为密集，或者说它的离散度小；相对而言，可以说表对而言，可以说表1-21-2中的误差分布得较为离散或者说它的离中的误差分布得较为离散或者说它的离散度大返回目录 返回本节 从直方图来看，误差分布较为密集的图从直方图来看，误差分布较为密集的图1-11-1，其图形在纵，其图形在纵轴附近的顶峰则较高，且由各长方条所构成的阶梯比较陡峭；轴附近的顶峰则较高，且由各长方条所构成的阶梯比较陡峭；而误差分布较为分散的图而误差分布较为分散的图1-21-2，在纵轴附近的顶峰则较低，，在纵轴附近的顶峰则较低，且其阶梯较为平缓。
这个性质同样反映在误差分布曲线（图且其阶梯较为平缓这个性质同样反映在误差分布曲线（图1-31-3）的形态上，即误差分布曲线（）的形态上，即误差分布曲线（I I））较高而陡峭，误差分较高而陡峭，误差分布曲线（布曲线（ⅡⅡ）则较而平缓在一定的观测条件下进行的一组）则较而平缓在一定的观测条件下进行的一组观测，它对应着一种确定的误差分布不难理解，如果分布观测，它对应着一种确定的误差分布不难理解，如果分布较为密集，即离散度较小时，则表示该组观测质量较好，也较为密集，即离散度较小时，则表示该组观测质量较好，也就是说，这一级观测精度较高；反之，如果分布较为离散，就是说，这一级观测精度较高；反之，如果分布较为离散，即离散较大时，则表示该组观测质量较差，也就是说，这一即离散较大时，则表示该组观测质量较差，也就是说，这一组观测精度较低组观测精度较低 因此，所谓精度，就是指误差分布的密集世界形势离因此，所谓精度，就是指误差分布的密集世界形势离散的程度，也就是指离散度的大小散的程度，也就是指离散度的大小假如两组观测成果的误假如两组观测成果的误差分布相同，便是两组观测成果的精度相同；反之，若误差差分布相同，便是两组观测成果的精度相同；反之，若误差分布不同，则精度也就不同。
分布不同，则精度也就不同 在相同的观测条件下所进行的一组观测，由于它们对应在相同的观测条件下所进行的一组观测，由于它们对应着同一种误差分布，因此，对于这一组中的每一个观测值，着同一种误差分布，因此，对于这一组中的每一个观测值，都称为是同精度观测值都称为是同精度观测值返回目录 返回本节 例如，表例如，表1-11-1中所列的中所列的358358个观测结果是在相同观测条件个观测结果是在相同观测条件下测得的，各个结果的真误差彼此并不相等，有的甚至相差下测得的，各个结果的真误差彼此并不相等，有的甚至相差很大（例如有的出现于很大（例如有的出现于0.000.00〃〃~-0.20~-0.20〃〃区间，有的出现于区间，有的出现于0.400.40〃〃~-1.60~-1.60〃〃区间），但是，由于它们所对应的误差分布区间），但是，由于它们所对应的误差分布相同，因此，这些结果彼此是同精度的相同，因此，这些结果彼此是同精度的 将上节表将上节表1-11-1及表及表1-21-2中数值相比较可知，表中数值相比较可知，表1-21-2中中的误差分布比表的误差分布比表1-11-1中的误差分布较为离散，因此，表中的误差分布较为离散，因此，表1-21-2中中的的421421个观测值，其精度均低于表个观测值，其精度均低于表1-11-1中的观测值。
中的观测值 为了衡量观测值的精度高低，当然可能按上节的方为了衡量观测值的精度高低，当然可能按上节的方法，把在一组相同条件下得到的误差，用组成误差分布表、法，把在一组相同条件下得到的误差，用组成误差分布表、绘制直方图或画出误差分布曲线的方法来比较但在实际工绘制直方图或画出误差分布曲线的方法来比较但在实际工作中，这样做比较麻烦，有是甚至很困难，而且人们还需要作中，这样做比较麻烦，有是甚至很困难，而且人们还需要对精度有一个数字概念这种具体的数字应该能够反映误差对精度有一个数字概念这种具体的数字应该能够反映误差分布的密集或离散的程度，即应能够反映其离散度的大小，分布的密集或离散的程度，即应能够反映其离散度的大小，因此称它为衡量精度的指标因此称它为衡量精度的指标 衡量精度的指标有很多种，下面介绍几种常用的精度指衡量精度的指标有很多种，下面介绍几种常用的精度指标返回目录 返回本节 一、方差和中误差一、方差和中误差由数理统计学知，随机变量由数理统计学知，随机变量X X的方差定义为的方差定义为 （（1-71-7））式中，式中，f f（（x x））X X概率分布密度函数。
概率分布密度函数X X的方差也可记为的方差也可记为D D（（X X））或或D xD x观测值观测值L L和观测值的真误差和观测值的真误差△△均为随机变量，因此，它们的均为随机变量，因此，它们的方差应是：方差应是： 顾及顾及 则则 （（1-81-8）） 可见，任一观测值的方差与观测值误差的方差恒等。
可见，任一观测值的方差与观测值误差的方差恒等误差误差△△的概率密度函数为的概率密度函数为 式中式中 是误差分布的方差是误差分布的方差返回目录 返回本节 由方差的定义知由方差的定义知 （（1-91-9）） 式中式中 就是中误差就是中误差 （（1-101-10）） 不同的不同的 将对应着不同形状的分布曲线，将对应着不同形状的分布曲线， 愈小，愈小，曲线愈为陡峭，曲线愈为陡峭， 愈大，则曲线愈为平缓。
正态分布曲线具愈大，则曲线愈为平缓正态分布曲线具有两个拐点，它们在横轴上的坐标为为变量有两个拐点，它们在横轴上的坐标为为变量X X的数学期望的数学期望对于偶然误差而言，由于其数学期望对于偶然误差而言，由于其数学期望E E（（△△））=0=0，，所以拐点所以拐点在横轴上的坐标应为在横轴上的坐标应为 （（1-1-1111）） 由此可见，由此可见， 的大小可以反映精度的高低故常的大小可以反映精度的高低故常用中误差作为衡量精度的指标用中误差作为衡量精度的指标 如果在相同的条件下得到了一组独立的观测误差，如果在相同的条件下得到了一组独立的观测误差，可由（可由（1-91-9）式，并根据定积分的定义可以写出）式，并根据定积分的定义可以写出 或或 返回目录 返回本节 即即 根据（根据（1-121-12）式的第一式或（）式的第一式或（1-91-9）式定义的方差，）式定义的方差，是真误差平方（是真误差平方（ ）的数学期望，也就是）的数学期望，也就是 的理论平均值。
的理论平均值在分布律为已知的情况下，它是一个确定的常数或者说，在分布律为已知的情况下，它是一个确定的常数或者说，（（1-121-12）式中的方差）式中的方差 和中误差和中误差 ，分别是，分别是 和和 的极限值，它们都是理论上的数值但是，实际上观测个数的极限值，它们都是理论上的数值但是，实际上观测个数n n总是有限的，由有限个观测值的真误差只能求得方差和中误总是有限的，由有限个观测值的真误差只能求得方差和中误差的估值方差差的估值方差 和中误差和中误差 的估值将用符号的估值将用符号 表示，即表示，即 （（1-131-13））返回目录 返回本节 当真值或理论值未知时，可用算术平均值作为真值的当真值或理论值未知时，可用算术平均值作为真值的估值，计算公式为估值，计算公式为 （（1-131-13））a a 在数理统计中，在数理统计中，XiXi称为子样值称为子样均值。
有称为子样值称为子样均值有了子样均值现计算子样方差，并以此作为观测值方差的估了子样均值现计算子样方差，并以此作为观测值方差的估值，其计算式为值，其计算式为 （（1-131-13））b b 上式分母采用上式分母采用0 0-1-1而不是而不是n n，，以此保证子样方差的无偏性以此保证子样方差的无偏性返回目录 返回本节 二、其它精度指标 1.1.偶然误差偶然误差 在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数学期望称为平均误差设以学期望称为平均误差设以θθ表示平均误差，则有表示平均误差，则有 ，， 同样，如果在相同条件下得到了一组独立的观测误同样，如果在相同条件下得到了一组独立的观测误差，差， 上式也可写为上式也可写为 （（1-141-14）） 即平均误差是一组独立的偶然误差绝对值的算术平即平均误差是一组独立的偶然误差绝对值的算术平均值之极限值。
均值之极限值 因为因为返回目录 返回本节 所以所以 （（1-151-15）） （（1-161-16）） 上式是平均误差上式是平均误差θθ与中误差与中误差σσ的理论关系式，由此的理论关系式，由此式可以看到，不同大小的式可以看到，不同大小的θθ，，对应着不同的对应着不同的σσ，，也就对应着也就对应着不同的误差分布曲线。
因此，也可以用平均误差不同的误差分布曲线因此，也可以用平均误差θθ作为衡量作为衡量精度的指标精度的指标 由于观测值的个数由于观测值的个数n n总是一个有限值，因此在实用总是一个有限值，因此在实用上也只能用上也只能用θθ的估值来衡量精度，并用的估值来衡量精度，并用 表示表示θθ的估值，的估值，但仍简称为平均误差则但仍简称为平均误差则 （（1-171-17））返回目录 返回本节 2 2．或然误差．或然误差 随机变量随机变量X X落入区间（落入区间（a a，，b b））内的概率为内的概率为对于偶然误差对于偶然误差△△来说，误差来说，误差△△落入区间落入区间（（a a, ,b b））的概率为的概率为 （（1-181-18）） 或然误差或然误差ρρ是这样定义的：误差出现在是这样定义的：误差出现在（（- -ρρ，，+ +ρρ））之间的概率等于之间的概率等于1/21/2，，即即 （（1-191-19）） 如图如图1-41-4所示，图中的误差分布曲线与横所示，图中的误差分布曲线与横轴所包围的面积为轴所包围的面积为1 1，则在曲线下，则在曲线下（（- -ρρ，，+ +ρρ））间的面积为间的面积为1/21/2。
返回目录 返回本节 将将△△的概率密度代入（的概率密度代入（1-191-19）式，并作变量代换，）式，并作变量代换，令令则得则得由概率积分表可查得，当概率为由概率积分表可查得，当概率为1/21/2时，积分限为时，积分限为0.6745,0.6745,即得即得 （（1-201-20）） 上式是或然误差上式是或然误差ρρ与中误差与中误差σσ的理论关系由此式的理论关系由此式也可以看到不同的也可以看到不同的ρρ也对应着不同的误差分布曲线，因此，也对应着不同的误差分布曲线，因此，或然误差或然误差ρρ也可以作为衡量精度的指标也可以作为衡量精度的指标 实用上，因为观测值个数实用上，因为观测值个数n n是有限值，因此也只能是有限值，因此也只能得到得到ρρ的估值的估值 ，但仍简称为或然误差。
它是这样求得的：，但仍简称为或然误差它是这样求得的：将在相同观测条件下得到的一组误差，按绝对值的大小排列，将在相同观测条件下得到的一组误差，按绝对值的大小排列，当当n n为奇数时，取位于中间的一个误差值作为为奇数时，取位于中间的一个误差值作为 ，，返回目录 返回本节 当当n n为偶数时，则取中间两个误差值的平均值作为为偶数时，则取中间两个误差值的平均值作为 在实用上，通常都是先求出中误差的估值，然后按（在实用上，通常都是先求出中误差的估值，然后按（1-201-20）式）式求出或然误差求出或然误差3 3．极限误差．极限误差 中误差不是代表个别误差的大小，而是代表误差分布的离中误差不是代表个别误差的大小，而是代表误差分布的离 散度的大小由中误差的定义式可知，它是代表一组同精度观散度的大小由中误差的定义式可知，它是代表一组同精度观测误差平方的平均值的平方根极限值，中误差愈小，即表示在测误差平方的平均值的平方根极限值，中误差愈小，即表示在该组观测中，绝对值较小的误差愈多按正态分布表查得，在该组观测中，绝对值较小的误差愈多。
按正态分布表查得，在大量同精度观测的一组误差中，误差落在（大量同精度观测的一组误差中，误差落在（- -σσ，，+ +σσ），）， （（-2-2σσ，，+3+3σσ））和（和（-3-3σσ，，+3+3σσ））的概率分别为的概率分别为 （（1-211-21）） 这就是说，绝对值大于中误差，其出现的概率为这就是说，绝对值大于中误差，其出现的概率为31.7%31.7%；而绝对值大于二倍中误差的偶然误差出现的概率为；而绝对值大于二倍中误差的偶然误差出现的概率为4.5%4.5%；特；特别是绝对值大于三倍中误差的偶然误差出现的概率公有别是绝对值大于三倍中误差的偶然误差出现的概率公有0.3%0.3%，，返回目录 返回本节 这已经是概率接近于零的小概率事件，或者说这是实际这已经是概率接近于零的小概率事件，或者说这是实际上的不可能事件。
因此，通常取三倍中误差作为偶然误差的上的不可能事件因此，通常取三倍中误差作为偶然误差的极限值极限值△△限，并称为极限误差即限，并称为极限误差即 △△限限=3σ =3σ （（1-1-2222）） 实践中，也有采用实践中，也有采用2σ2σ作为极限误差的实用上则作为极限误差的实用上则以中误差的估值以中误差的估值 代替代替 ，即以，即以 或或 作为极限作为极限误差同时，（误差同时，（1-211-21）式也反映了中误差与真误差间的概率）式也反映了中误差与真误差间的概率关系在测量工作中，如果某误差超过了极限误差，那就可关系在测量工作中，如果某误差超过了极限误差，那就可以认为它是错误，相应的观测值应舍去不用以认为它是错误，相应的观测值应舍去不用4 4．相对误差．相对误差 对于某些观测结果，有时单靠中误差还不能完全表达观对于某些观测结果，有时单靠中误差还不能完全表达观测结果的好坏例如，分别测量了测结果的好坏例如，分别测量了1000m1000m及及80m80m的两段距离观的两段距离观测值的中误差均为测值的中误差均为±2cm±2cm，，虽然两者的中误差相同，但就单位虽然两者的中误差相同，但就单位长度而言，两者精度并不相同。
显然前者的相对精度比后者长度而言，两者精度并不相同显然前者的相对精度比后者要高此时，须采用另一种办法来衡量精度，通常采用相对要高此时，须采用另一种办法来衡量精度，通常采用相对中误差，它是中误差与观测值之比如上述两段距离，前者中误差，它是中误差与观测值之比如上述两段距离，前者的相对误差为的相对误差为 ，而后者则为，而后者则为 返回目录 返回本节 相对中误差是个无名数，在测量中一般将分子化为相对中误差是个无名数，在测量中一般将分子化为1 1，即，即用用 表示对于真误差与极限误差，有时也用相对误差来表示对于真误差与极限误差，有时也用相对误差来表示例如，经纬仪导线测量时，规范中所规定的相对闭合表示例如，经纬仪导线测量时，规范中所规定的相对闭合差不能超过差不能超过 ，它就是相对极限误差；而在实测中所产，它就是相对极限误差；而在实测中所产生的相对闭合差，则是相对真误差生的相对闭合差，则是相对真误差与相对误差相对应，真与相对误差相对应，真误差、中误差、极限误差等均称为绝对误差误差、中误差、极限误差等均称为绝对误差。
三、权与协因数三、权与协因数 方差是表征精度的一个绝对的数字指标为了比较各观测方差是表征精度的一个绝对的数字指标为了比较各观测值之间的相对精度，可以用方差间的比例关系来衡量这种值之间的相对精度，可以用方差间的比例关系来衡量这种表示各观测值方差之间比例关系的数字特征之权所以，权表示各观测值方差之间比例关系的数字特征之权所以，权是表征精度的相对的数字指标是表征精度的相对的数字指标 在测量实际工作中，平差计算之前精度的绝对指标（方在测量实际工作中，平差计算之前精度的绝对指标（方差）往往是不知道的，而精度的相对的数字指标（权）却可差）往往是不知道的，而精度的相对的数字指标（权）却可以根据事先给定的条件予以确定，然后根据平差的结果估算以根据事先给定的条件予以确定，然后根据平差的结果估算出表征精度的绝对的数字指标（方差）因此，权在平差计出表征精度的绝对的数字指标（方差）因此，权在平差计算中将起着很重要的作用算中将起着很重要的作用返回目录 返回本节 1 1．权的定义．权的定义 设有观测值设有观测值 ，它们的方差为，它们的方差为 如选定任一常数如选定任一常数 ，则定义，则定义 （（1-231-23）） 并称并称 为观测值的权。
为观测值的权 由权的定义式（由权的定义式（1-231-23）可以写出各观测值的权之间的比）可以写出各观测值的权之间的比例关系为例关系为 （（1-241-24）） 可见，对于一组观测值，其权之比等于相应方差的可见，对于一组观测值，其权之比等于相应方差的倒数之比，这就表明，方差（或中误差）愈小，其权愈大；倒数之比，这就表明，方差（或中误差）愈小，其权愈大；或者说，精度愈高，其权愈大因此，权可以作为比较观测或者说，精度愈高，其权愈大因此，权可以作为比较观测值之间的精度高低的一种指标值之间的精度高低的一种指标 就普遍情况而言，（就普遍情况而言，（1-231-23）式中的方差）式中的方差 ，可以，可以是同一个量的观测值的方差，也可以是不同量的观测值的方是同一个量的观测值的方差，也可以是不同量的观测值的方差。
就是说，用权来比较各观测值之间的精度高代，不限于差就是说，用权来比较各观测值之间的精度高代，不限于是对同一量的观测值，同样也适用于对不同量的观测值是对同一量的观测值，同样也适用于对不同量的观测值返回目录 返回本节 在式（在式（1-231-23）中，）中， 是可以任意定的常数，例如在如图是可以任意定的常数，例如在如图的水准网中，已知各条路线的距离为的水准网中，已知各条路线的距离为 S S1=1.5km1=1.5km S S2=2.5km2=2.5km S S3=2.0km3=2.0km S S4=4.0km4=4.0km S S5=3.0km5=3.0km 在该水准网中，如果我们并不知道每公里观测中误差在该水准网中，如果我们并不知道每公里观测中误差的具体数值，而只知道每公里观测高差的精度相同，例如，的具体数值，而只知道每公里观测高差的精度相同，例如，水准网中的所有水准路线都是按同一等级水准测量规定的技水准网中的所有水准路线都是按同一等级水准测量规定的技术要求进行观测的，那么，一般就可认为每公里观测高差的术要求进行观测的，那么，一般就可认为每公里观测高差的精度是相同的，此时若假定每公里观测高差差的中误差为，精度是相同的，此时若假定每公里观测高差差的中误差为，则根据协方差传播律可知，各线路观测高差的中误差为则根据协方差传播律可知，各线路观测高差的中误差为0 0 返回目录 返回本节 如令如令 ，则得，则得 可以看出，在上述事先给定的条件之下（即每公里可以看出，在上述事先给定的条件之下（即每公里观测高差的精度相同，各线路的距离不等），由于观测高差的精度相同，各线路的距离不等），由于 ，其中，其中 是一个定值，是一个定值，S Si i为第为第i i条线路的公里数，当条线路的公里数，当S Si i愈小，愈小，则愈小，而其对应的权则愈大，反之亦然。
所以，通过权的则愈小，而其对应的权则愈大，反之亦然所以，通过权的大小可以反映各观测高差的精度高低大小可以反映各观测高差的精度高低 若另选若另选 则得则得 这一组权虽然由于所取的值不同，其大小与前一组这一组权虽然由于所取的值不同，其大小与前一组不同，但它们同样能反映各观测高差间的精度高低不同，但它们同样能反映各观测高差间的精度高低 由以上例子可知，对于一组已知中误差的观测值而由以上例子可知，对于一组已知中误差的观测值而言：言：（（1 1）选定了一个）选定了一个 值，即有一组对应的权或者说有一组值，即有一组对应的权或者说有一组权，必有一个对应的权，必有一个对应的 值 返回目录 返回本节 （（2 2）一组观测值的权，其大小是随）一组观测值的权，其大小是随 的不同而异，但不论的不同而异，但不论 选用何值，权之间的比例关系始终不变。
如果设观测值选用何值，权之间的比例关系始终不变如果设观测值 对于选定的对于选定的 和和 的权分别为的权分别为 和和 则有则有 例如，前述的两组权之比为例如，前述的两组权之比为 （（3 3）为了使权能起到比较精度高低的作用，在同一问题中只能）为了使权能起到比较精度高低的作用，在同一问题中只能选定一个选定一个 值，不能同时选用几个不同的值，不能同时选用几个不同的 值，否则就值，否则就破坏了权之间的比例关系破坏了权之间的比例关系4 4）只要事先给定了一定的条件，例如，已知每公里观测高差）只要事先给定了一定的条件，例如，已知每公里观测高差的精度相同和各水准线路的公里数，则不一定要知道每公里的精度相同和各水准线路的公里数，则不一定要知道每公里观测高差精度的具体数值，就要以确定出权的数值观测高差精度的具体数值，就要以确定出权的数值 由以上讨论可知，方差用来反映观测值的绝对精度，而权由以上讨论可知，方差用来反映观测值的绝对精度，而权仅是用来比较各观测值相互之间精度高低的比例数。
因而，仅是用来比较各观测值相互之间精度高低的比例数因而，权的意义，不在于它们本身数值的大小，而重要的是它们之权的意义，不在于它们本身数值的大小，而重要的是它们之间所存在的比例关系间所存在的比例关系返回目录 返回本节 2 2．单位权中误差．单位权中误差 在上述的水准网的前一组权在上述的水准网的前一组权 中，因令中，因令 ，实，实际上就是以际上就是以h h5 5的精度作为标准，其它观测高差的精度都是和的精度作为标准，其它观测高差的精度都是和它进行比较因此，它进行比较因此，h h5 5的权的权p p5=15=1而其它的观测高差的权，则而其它的观测高差的权，则是以是以p p5 5作为单位而确定出来的同样，在后一组权作为单位而确定出来的同样，在后一组权 中，因中，因令令 故故 ，其它观测，高差的权，就是以，其它观测，高差的权，就是以 作为作为单位而确定出来的由此可见，凡是中误差等于单位而确定出来的由此可见，凡是中误差等于 的观测值，的观测值，其权必然等于其权必然等于1 1；或者说，权为；或者说，权为1 1的观测值的中误差必然等于的观测值的中误差必然等于 。
因此，通常称因此，通常称 为单位权中误差，而称为单位权中误差，而称 为单位权方差为单位权方差或方差因子，把权等于或方差因子，把权等于1 1的观测值，称为单位权观测值例如，的观测值，称为单位权观测值例如，在例中，前一组权中的在例中，前一组权中的p p5=1,5=1,此时令此时令 所以就是单所以就是单位权中误差，就是单位权观测值；而后一组权中的此时令位权中误差，就是单位权观测值；而后一组权中的此时令 ，所以，所以 就是单位权中误差，就是单位权中误差， 就是单位权观测值就是单位权观测值 因为因为 可以是任意选定的某一常数，故所选定的可以是任意选定的某一常数，故所选定的也可能不等于某一个具体观测值的中误差。
也可能不等于某一个具体观测值的中误差返回目录 返回本节 例如，对于上述水准网，若选定例如，对于上述水准网，若选定 ，则，则可求得一组权为可求得一组权为 这时，不再是这时，不再是5 5个观测值中某一个的中误差因而，个观测值中某一个的中误差因而，也就不出现数值为也就不出现数值为1 1的权所以为了实际的需要或计算上的方的权所以为了实际的需要或计算上的方便，可以选取某一假定的观测值作为单位权观测值，以这个便，可以选取某一假定的观测值作为单位权观测值，以这个假定观测值的中误差作为单位权中误差如这里选假定观测值的中误差作为单位权中误差如这里选 它是代表路线长度为它是代表路线长度为6 6公里的观测高差的中误差，因此，路线公里的观测高差的中误差，因此，路线长度为长度为6 6公里的观测高差就是单位权观测值，它的中误差就是公里的观测高差就是单位权观测值，它的中误差就是单位权中误差单位权中误差 在确定一组同类元素的观测值的权时，所选取的单在确定一组同类元素的观测值的权时，所选取的单位权中误差的单位，一般是与观测值中误差的单位相同的，位权中误差的单位，一般是与观测值中误差的单位相同的，由于权是单位权中误差平方与观测值中误差平方之比，所以，由于权是单位权中误差平方与观测值中误差平方之比，所以，权一般是一组无量纲的数值，也就是说，在这种情况下权是权一般是一组无量纲的数值，也就是说，在这种情况下权是没有单位的。
但如果需要确定权的观测值（或它们的函数）没有单位的但如果需要确定权的观测值（或它们的函数）包含有两种以上的琐类型元素时，情况就不同了例如，要包含有两种以上的琐类型元素时，情况就不同了例如，要确定其权的观测值（或它们的函数）包含有角度和长度，它确定其权的观测值（或它们的函数）包含有角度和长度，它们的中误差的单位分别为们的中误差的单位分别为““秒秒””和和““毫米毫米””返回目录 返回本节 若选取的单位权中误差的单位是秒，即与角度观测值之中误若选取的单位权中误差的单位是秒，即与角度观测值之中误差单位相同，那么，各个角度观测值的权是无量纲（或无单差单位相同，那么，各个角度观测值的权是无量纲（或无单位）的，而长度观测值的权的量纲则为位）的，而长度观测值的权的量纲则为““秒秒2/mm2”2/mm2”这种情这种情况在平差计算中是常常会遇到的况在平差计算中是常常会遇到的3 3．协因数．协因数 由权的定义知道，观测值的权与它的方差成反比设有观由权的定义知道，观测值的权与它的方差成反比设有观测值测值L Li i和和L Lj j，，它们的方差分别为它们的方差分别为 和和 ，我们令，我们令 （（1-251-25）） 或写为或写为 （（1-261-26）） 称称QiiQii和和QjjQjj分别为分别为LiLi和和LjLj的协因数或权倒数。
在式的协因数或权倒数在式（（1-251-25）和（）和（1-261-26）中，）中， 仍然是单位权中误差仍然是单位权中误差返回目录 返回本节 四、精度与准确度四、精度与准确度 所谓观测值的精度所谓观测值的精度，是指在一定观测条件下，一组观测是指在一定观测条件下，一组观测值密集与离散的程度，方差就是观测值的精度指标之一由值密集与离散的程度，方差就是观测值的精度指标之一由方差定义式（方差定义式（1-71-7）可知，精度实际上反映了该组观测值与其）可知，精度实际上反映了该组观测值与其理论平均值（即数学期望）接近或离散的程度当观测值的理论平均值（即数学期望）接近或离散的程度当观测值的个数个数n n充分大时，也可以说，精度是以观测值自身的平均值为充分大时，也可以说，精度是以观测值自身的平均值为标准的观测条件好，观测值越密集，则该组观测值的精度标准的观测条件好，观测值越密集，则该组观测值的精度愈高 所谓准确度所谓准确度，是指观测值的数学期望是指观测值的数学期望E E（（L L））与其真值接与其真值接近的程度由于观测值与其真值之间存在如下的关系近的程度。
由于观测值与其真值之间存在如下的关系 对上式求期望得对上式求期望得返回目录 返回本节 即即 （（1-271-27）） 可见，只有当观测值中不含系统误差和粗差，即只含可见，只有当观测值中不含系统误差和粗差，即只含偶然误差的情况下，偶然误差的情况下， 等于零，故有等于零，故有 （（1-281-28）） 反之，当观测组中含有系统误差或粗差或两者均有反之，当观测组中含有系统误差或粗差或两者均有的情况下，就不等于零，此时，观测值的数学期望将偏离其的情况下，就不等于零，此时，观测值的数学期望将偏离其真值。
真值返回目录 返回本节 第四节第四节 协方差阵、协因数阵和权阵协方差阵、协因数阵和权阵 第三节中，我们讨论了如何描述单个观测量的精度指标第三节中，我们讨论了如何描述单个观测量的精度指标并且着重讨论了观测值的方差但在测量数据处理实践中，并且着重讨论了观测值的方差但在测量数据处理实践中，通常碰到的是由通常碰到的是由n n个观测值所组成的个观测值所组成的n n维观测值向量为描述维观测值向量为描述 n n 维观测值向量维观测值向量L L的精度，必须引进协方差阵以及协因数阵与的精度，必须引进协方差阵以及协因数阵与权阵的概念权阵的概念一、协方差阵一、协方差阵 设有观测值设有观测值X X 和和Y Y，，则它们的协方差被定义为则它们的协方差被定义为 ，， （（1-291-29）） 式中式中 和和 分别为分别为X X和和Y Y的真的真误差，即误差，即 返回目录 故故(1-29)(1-29)式可写为式可写为 （（1-301-30）） 从（从（1-291-29）和（）和（1-301-30）两式可以看出，协方差是用）两式可以看出，协方差是用数学期望来定义的。
其中数学期望来定义的其中 是观测值的真误差，是观测值的真误差， 是观是观测值测值 的真误差，而协方差的真误差，而协方差 则是这两种真误差所有则是这两种真误差所有可能取值的乘积的理论平均值，即可能取值的乘积的理论平均值，即 （（1-311-31）） 因实用上因实用上n n总是有限值，所以也只能求得它的估计记为总是有限值，所以也只能求得它的估计记为 （（1-321-32）） 当当X X和和Y Y的协方差的协方差 时，表示这两个（或两时，表示这两个（或两组）观测值的误差之间互不影响，或者说，它们的误差是不组）观测值的误差之间互不影响，或者说，它们的误差是不相关的，并称这些观测值为不相关的观测值；如果相关的，并称这些观测值为不相关的观测值；如果 则表示它们的误差是相关的，称这些观测值为相关观测值。
则表示它们的误差是相关的，称这些观测值为相关观测值 返回目录 由于在测量上所涉及的观测值和观测误差都是服从正态由于在测量上所涉及的观测值和观测误差都是服从正态分布的随机变量，对于正态随机变量而言，分布的随机变量，对于正态随机变量而言，““不相关不相关””与与““独立独立””是等价的，所以把不相关观测值也称为独立观测值，是等价的，所以把不相关观测值也称为独立观测值，同样反相关观测值也称为不独立观测值同样反相关观测值也称为不独立观测值 独立观测值之间的协方差这一性质，可以这样来证独立观测值之间的协方差这一性质，可以这样来证明：明： 由于由于 与与 相互独立，所以顾及（相互独立，所以顾及（1-41-4）式得）式得 。
在测量工作中，直接观测得到的高差、距离、方向在测量工作中，直接观测得到的高差、距离、方向等，都是独立观测值，而经过数据处理才得到的观测量，如等，都是独立观测值，而经过数据处理才得到的观测量，如GPSGPS基线向量的三个分量就是不独立观测值，或称为相关观测基线向量的三个分量就是不独立观测值，或称为相关观测值，又如各种控制网根据直接观测值求得的各点的坐标也是值，又如各种控制网根据直接观测值求得的各点的坐标也是相关观测值相关观测值 假定有假定有n n个不同精度的相关观测值个不同精度的相关观测值 ，， 它们的数学期望和方差为它们的数学期望和方差为 ，它们两个之间的，它们两个之间的协方差为协方差为 ，用矩阵表示为，用矩阵表示为返回目录 （（1-331-33）） 式中式中 为观测值向量，或简称为观测值；为观测值向量，或简称为观测值； 为为X X的的 数学期望；而称数学期望；而称DxxDxx的方差协方差阵，简称为协的方差协方差阵，简称为协方差阵。
方差阵 如果有观测值如果有观测值 ，它们的数学期望分别为，它们的数学期望分别为 若记若记返回目录 则则Z Z的方差阵的方差阵D Dzzzz为为其中其中DXXDXX和和DYYDYY分别为分别为X X和和Y Y的协方差阵，而的协方差阵，而 （（1-341-34））且有且有 称称DXYDXY为观测值向量为观测值向量X X关于关于Y Y的互协方差阵当的互协方差阵当X X和和Y Y的维数的维数n n= =r r=1=1时（即时（即X X、、Y Y都是一个观测值），互协方差阵就是都是一个观测值），互协方差阵就是 X X关于关于Y Y的协方差。
的协方差若若DXYDXY=0=0，，则称则称X X与与Y Y是相互独立的观测向量是相互独立的观测向量返回目录 关于协方差关于协方差 的估算总是仍可依照方差的估算方法进的估算总是仍可依照方差的估算方法进行即当真值已知，用（行即当真值已知，用（1-321-32）式可估算协方差）式可估算协方差. .当真值当真值 未知时，则可采用下式值估算：未知时，则可采用下式值估算： （（1-351-35）） 式中，式中， 、、 分别为分别为x x、、y y的的子样均值子样均值二、协因数阵二、协因数阵 第三节中我们已经定义了一个观测值的协因数，即观测第三节中我们已经定义了一个观测值的协因数，即观测值的权倒数，其表达式为：值的权倒数，其表达式为： 有了协方差的概念后，即可定义两个随机变量之间的互协有了协方差的概念后，即可定义两个随机变量之间的互协因数，其表达式为：因数，其表达式为： （（1-361-36））返回目录 现将现将n n维随机向量维随机向量 的方差的定义（的方差的定义（1-331-33），同乘以一），同乘以一个纯量因子个纯量因子 ，并顾及以上两式，则得：，并顾及以上两式，则得： （（1-371-37）） 通常，将由协因数通常，将由协因数 和互协因数和互协因数 按照一定顺序按照一定顺序排列成的矩阵称为协因数阵，记作排列成的矩阵称为协因数阵，记作 ，即，即 （（1-381-38）） 返回目录 对照（对照（1-361-36）和（）和（1-251-25）两式可知，在协因数阵）两式可知，在协因数阵 中，中，主对角线元素实为随机变量主对角线元素实为随机变量 的协因数，即权倒数，的协因数，即权倒数， 而非主对角元素而非主对角元素 实为随机变量实为随机变量 关于关于随机变量随机变量 的互协因数，且有的互协因数，且有 。
由（由（1-361-36）式知，互协因数）式知，互协因数 与协方差与协方差 一样，一样，也也 是两个随机变量相关程度的标志当是两个随机变量相关程度的标志当 时，时， 则则 互不相关互不相关 由（由（1-371-37）式即得任一随机向量的协因数阵与协方差阵）式即得任一随机向量的协因数阵与协方差阵之间的关系式为之间的关系式为 （（1-391-39）） 上式表明：任一随机向量的协方差阵恒等于它的协因上式表明：任一随机向量的协方差阵恒等于它的协因数阵与单位权方差因子的乘积。
数阵与单位权方差因子的乘积返回目录 同样，如果有观测值同样，如果有观测值 ，， 若当若当 ，， 则则Z Z的协因数阵的协因数阵QzzQzz为为 （（1-401-40）） 式中，式中，QXXQXX、、QYYQYY分别为分别为X X，，Y Y向量的协因数阵，向量的协因数阵，QXYQXY中中的元素就是的元素就是XiXi关于关于YiYi的相关协因数，而的相关协因数，而Q Q XY XY称为互协因称为互协因QXXQXX和和QYYQYY互为转量。
当互为转量当QXYQXY=0=0，，则表示则表示X X、、Y Y这两个向量组互不相关这两个向量组互不相关换言之，欲证明两个向量组是互不相关的，只需证明这两量换言之，欲证明两个向量组是互不相关的，只需证明这两量间的互协因数阵为零即可间的互协因数阵为零即可返回目录 三、权阵三、权阵 由（由（1-251-25）式知，一个观测值）式知，一个观测值LiLi的权的权PiPi与其协因数与其协因数 QiiQii互为倒数，即有互为倒数，即有 （（1-1-4141））a a 或写为或写为 （（1-411-41））b b 将上述概念推广，即可定义将上述概念推广，即可定义n n维观测值向量维观测值向量 的权阵的权阵 为为 （（1-421-42））a a 即，观测值向量即，观测值向量X X的权阵是其协因数阵的权阵是其协因数阵 的逆阵。
或者的逆阵或者说，协因数阵和权阵互为逆矩阵因此，下式成立说，协因数阵和权阵互为逆矩阵因此，下式成立 （（1-421-42））b b 将上式代入（将上式代入（1-391-39）式，即得观测值向量）式，即得观测值向量X X的权阵与其协方的权阵与其协方差阵之间的关系式为差阵之间的关系式为 （（1-431-43））返回目录 由于由于DXXDXX是对称矩阵，因此，是对称矩阵，因此，PXXPXX也是对称矩阵也是对称矩阵 若记权阵为：若记权阵为： （（1-441-44）） 则有则有 。
设有独立观测值设有独立观测值 ，其方差为，其方差为 ，权为，权为PiPi，，单位权方差为单位权方差为 ，现组成，现组成向量和矩阵向量和矩阵返回目录 则由（则由（1-231-23）式知，）式知，L L的协因数阵为的协因数阵为 （（1-451-45）） 则有则有 （（1-461-46）） 可见，可见，PLLPLL是由独立观测值是由独立观测值LiLi的权的权pipi构成的对角阵，且构成的对角阵，且PLLPLL与权逆阵（协因数阵）与权逆阵（协因数阵）QLLQLL互为逆阵，通常称互为逆阵，通常称PLLPLL为为L L的权的权阵。
类似地，对相关的观测向量阵类似地，对相关的观测向量X X，，如令如令 （（1-471-47））返回目录 这时，这时，PXXPXX与与QXXQXX均不是对角矩阵，它们分别为均不是对角矩阵，它们分别为 （（1-481-48））由（由（1-471-47）知）知 （（1-491-49））进一步展开得：进一步展开得： （（1-501-50）） （（1-511-51）） 可见，当观测值向量中的观测值相关时，其权阵可见，当观测值向量中的观测值相关时，其权阵0 0中的主对角线元素中的主对角线元素PiiPii不是观测值不是观测值LiLi的权的权PiPi。
返回目录 第五节第五节 广义传播律广义传播律 在实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测在实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，即常常遇到的某些量是观测值的函数这类例子很多，例如，即常常遇到的某些量是观测值的函数这类例子很多，例如，在一个三角形中，观测了三内角在一个三角形中，观测了三内角L1L1、、L2L2、、L3L3，，其闭合差其闭合差ωω和和将闭合差平均分配之后所行的各角平差值将闭合差平均分配之后所行的各角平差值 为为 又如，在侧方交会中（如图又如，在侧方交会中（如图1-71-7），已知），已知A A、、B B两点的两点的坐标坐标xAxA、、yAyA和和xBxB、、yByB，，它们之间的距离为它们之间的距离为S0S0和坐标方位角为和坐标方位角为a a0,0,由交会观测角由交会观测角L L1 1、、L L2 2通过以下公式求交会点的坐标：通过以下公式求交会点的坐标：返回目录 现在提出这样一个问题：观测值的函数的中误差值的中现在提出这样一个问题：观测值的函数的中误差值的中误差之间，存在着怎样的关系？观测值函数的协因数与观测误差之间，存在着怎样的关系？观测值函数的协因数与观测值的协因素之间，存大着怎样的关系？本节将导出这些关系值的协因素之间，存大着怎样的关系？本节将导出这些关系式，我们把这些关系式称为广义传播律。
式，我们把这些关系式称为广义传播律一、协方差传播律一、协方差传播律1 1．观测值线性函数的协方差阵．观测值线性函数的协方差阵 设有观测值设有观测值 ，其数学期望，其数学期望 ，协方差阵为，协方差阵为返回目录 即即 （（1-521-52）） 其中其中 为为XiXi 的方差，的方差， 为为XiXi与与XjXj的协方差，又设有的协方差，又设有X X的的线性函数为线性函数为 （（1-531-53）） 式中式中 （（1-1-5353）式的纯量形式为）式的纯量形式为 （（1-541-54））返回目录 现在来求现在来求Z Z的方差的方差DZZDZZ。
对（对（1-531-53）取数学期望，得）取数学期望，得 （（1-551-55））根据方差的定义可知，根据方差的定义可知，Z Z的方差为的方差为 将（将（1-531-53）和（）和（1-551-55）代入上式，得）代入上式，得所以所以 (1-56)(1-56)将上式展开成纯量形式，得将上式展开成纯量形式，得 （（1-571-57））返回目录 当向量中的各分量当向量中的各分量 两两两两独立时，它们之间的协方差独立时，它们之间的协方差 。
此时上式为此时上式为 （（1-581-58）） 通常将（通常将（1-561-56）、（）、（1-571-57）和（）和（1-581-58）诸式称为）诸式称为协方差传播律其中（协方差传播律其中（1-581-58）式是（）式是（1-571-57）式的特例式的特例2 2．多个观测值线性函数的协方差阵．多个观测值线性函数的协方差阵 设有观测值设有观测值 ，它的数学期望，它的数学期望 与协方差阵与协方差阵 ，， 如（如（1-521-52）式，若有）式，若有x x的的m m个线性函数个线性函数 （（1-591-59））返回目录 下面来求函数下面来求函数Z1Z1、、Z2Z2、、……ZmZm、、的方差和它们之间的协方差。
的方差和它们之间的协方差若令若令则（则（1-591-59）式可写为）式可写为 （（1-601-60））也就是要求也就是要求Z Z的协方差阵的协方差阵DZZDZZ因为因为Z Z 的数学期望为的数学期望为 （（1-611-61））所以，所以，Z Z的协方差阵为的协方差阵为 （（1-621-62））返回目录 可以看到，上式与（可以看到，上式与（1-561-56）式在形式上完全相同，且两）式在形式上完全相同，且两式的推导过程也相同。
所不同的是（式的推导过程也相同所不同的是（1-561-56）式中的）式中的DZZDZZ是一个是一个观测值函数的方差，而（观测值函数的方差，而（1-621-62）式的）式的DZZDZZ是是m m个观测值函数的个观测值函数的协方差阵，因而（协方差阵，因而（1-561-56）式只是（）式只是（1-621-62）式的一种特殊情况式的一种特殊情况 设另外还有设另外还有X X的的r r个线性函数个线性函数 (1-63)(1-63) 若记若记 则（则（1-631-63）式可写为）式可写为 （（1-641-64））返回目录 Y Y的数学期望为的数学期望为 （（1-651-65））由（由（1-621-62）式可知，）式可知，Y Y的协方差阵为的协方差阵为 （（1-661-66））下面再求下面再求Y Y关于关于Z Z的互协方差阵的互协方差阵 根据互协方差阵的定义可知根据互协方差阵的定义可知 （（1-671-67））将（将（1-601-60）、（）、（1-611-61）及（）及（1-641-64）、（）、（1-651-65）诸式代入上式得）诸式代入上式得所以所以 （（1-681-68））就是由就是由X X 的协方差阵求它的两组函数的协方差阵求它的两组函数Y Y和和Z Z的互协方差阵的公式的互协方差阵的公式返回目录 习惯上，将描述观测值习惯上，将描述观测值X X的协方差阵的协方差阵DXXDXX与观测值函数与观测值函数 Z Z的协方差阵的协方差阵DZZDZZ以及两组函数以及两组函数Y Y和和Z Z的互协方差阵之间关系的互协方差阵之间关系 的公式（的公式（1-561-56）、（）、（1-621-62）及（）及（1-681-68）式都称为协方差）式都称为协方差 传播律。
显然，这些公式都可以转变成实用公式传播律显然，这些公式都可以转变成实用公式 ，， 即分别取代上述公式中的即分别取代上述公式中的DZZDZZ、、DXXDXX和和DYZDYZ 因为因为 所以所以 （（1-691-69）） 如果如果Y=ZY=Z，，则（则（1-691-69）式就变为（）式就变为（1-661-66）式，所以）式，所以 （（1-661-66）式也可以看作（）式也可以看作（1-691-69）式的一种特例式的一种特例返回目录 二、协因数传播律二、协因数传播律 由于任何一向量的协方差阵总是等于单位权方差因子由于任何一向量的协方差阵总是等于单位权方差因子 与该向量的协因数阵的乘积，因此，可以很方便地由协方差与该向量的协因数阵的乘积，因此，可以很方便地由协方差传播律的公式得到协因数传播律的公式。
传播律的公式得到协因数传播律的公式 将（将（1-391-39）式代入（）式代入（1-621-62）式得）式得 （（1-701-70）） 将（将（1-391-39）式代入（）式代入（1-661-66）式，得）式，得 （（1-711-71）） 将（将（1-391-39）式代入（）式代入（1-691-69）式，得）式，得 （（1-721-72）） 协方差传播律和协因数传播律合称为广义传播律。
协方差传播律和协因数传播律合称为广义传播律 特殊情况，当特殊情况，当 互相独立，并且互相独立，并且只有一个函数，则（只有一个函数，则（1-701-70）式为）式为 （（1-731-73）） 上式又称为权倒数传播律，显然，权倒数传播律是上式又称为权倒数传播律，显然，权倒数传播律是协因数传播律的一个特例协因数传播律的一个特例返回目录 三、非线性函数广义传播律三、非线性函数广义传播律 设有观测值设有观测值 的非线性函数的非线性函数 （（1-741-74）） 已知已知X X的协方头阵为的协方头阵为DXXDXX，，需求需求Z Z的方差的方差 。
为了计算非线性函数为了计算非线性函数0 0= = f f（（X X））的方差，必须先将非线的方差，必须先将非线性函数线性化具体方法是：性函数线性化具体方法是： 1 1．取．取X X 的近似值的近似值X X°°即即 2 2．在．在X X°°处按台劳级数展，并略去二次以上各项，则处按台劳级数展，并略去二次以上各项，则得得 （（1-761-76）） 式中，式中， （（1-771-77））返回目录 若令若令 (1-78)(1-78) 3 3．将（．将（1-761-76）改写为）改写为 dZdZ= =FdXFdX (1-79)(1-79) 4 4．．依据广义传播律（依据广义传播律（1-621-62）式和（）式和（1-701-70）式，）式， 并顾及（并顾及（1-781-78）式，）式， 即得即得 （（1-801-80）） 或或 （（1-811-81）） 由上式可知，非线性函数的广义传播律在形式上与由上式可知，非线性函数的广义传播律在形式上与线性函数的广义传播律是相同的。
其区别仅在于为线性函数线性函数的广义传播律是相同的其区别仅在于为线性函数时，系数矩阵时，系数矩阵F F是已知的；而为非线性函数时，系数矩阵是已知的；而为非线性函数时，系数矩阵F F要要通过线性化才能获得通过线性化才能获得返回目录 第六节第六节 广义传播律在测量中的应用广义传播律在测量中的应用一、测量中常用的定权方法一、测量中常用的定权方法1 1．水准路线的权．水准路线的权 经经N N个测站测定个测站测定A A、、B B两水准点间的高差，其中第两水准点间的高差，其中第i i站的观站的观测高差为测高差为hihi，则，则A A、、B B两水准点间的总高差两水准点间的总高差hABhAB为为 (1-98)(1-98) 设各测站观测高差是精度相同的独立观测值，其中误差均设各测站观测高差是精度相同的独立观测值，其中误差均为为 ，则可由协方差传播律（，则可由协方差传播律（1-621-62）式并顾及）式并顾及 ，， 求得求得hABhAB的方差的方差 为为 由此得中误差由此得中误差 （（1-991-99））返回目录 若水准路线敷设在平坦地区，前后两测站间的距离若水准路线敷设在平坦地区，前后两测站间的距离s s 大致相等，设大致相等，设A A、、B B间的距离为间的距离为S S，，则测站数则测站数N=S/sN=S/s，，代入代入 上式得上式得 （（1-1001-100）） 如果如果S=S=1 1kmkm，，s s以以kmkm为单位，则一公里的测站数为为单位，则一公里的测站数为 而一公里观测高差的中误差即为而一公里观测高差的中误差即为 （（1-1011-101）） 所以，距离为所以，距离为S S公里的公里的A A、、B B两点的观测高差的中误差为两点的观测高差的中误差为 （（1-1021-102））返回目录 （（1-991-99）和（）和（1-1001-100）两公式是水准测量中计算高差中误差）两公式是水准测量中计算高差中误差的基本公式。
由（的基本公式由（1-991-99）式可知，当各测站高差的观测精度）式可知，当各测站高差的观测精度相同时，水准测量高差的中误差与测站数的平方根成正比；相同时，水准测量高差的中误差与测站数的平方根成正比；由（由（1-1021-102）式知，当各测站的距离大致相等时，水准测量高）式知，当各测站的距离大致相等时，水准测量高差听中误差与距离的平方根成正比差听中误差与距离的平方根成正比 如果以如果以PABPAB代表代表hABhAB的权，并设单位权中误差为的权，并设单位权中误差为 （（1-1031-103）） 则根据权的定义式得则根据权的定义式得 （（ 1-1041-104）） 即水准路线的权与该路线上所设测站数成反比。
即水准路线的权与该路线上所设测站数成反比 如果设单位权中误差为如果设单位权中误差为 （（1-1051-105）） 则得则得 （（1-1061-106）） 即平坦地区水准路线的权与该路线的长度成反比即平坦地区水准路线的权与该路线的长度成反比返回目录 在水准测量中，究竟用水准路线的距离在水准测量中，究竟用水准路线的距离S S定权，还是用测定权，还是用测站数站数N N定权，这要视具体情况而定，一般说来，起伏不大的地定权，这要视具体情况而定，一般说来，起伏不大的地区，每公里的测站数大致相同，则可按水准路线的距离定权；区，每公里的测站数大致相同，则可按水准路线的距离定权；而在起伏较大的地区，每公里的测站数相差较大，则按测站而在起伏较大的地区，每公里的测站数相差较大，则按测站数定权。
数定权2 2．同精度观测值的算术平均值的权．同精度观测值的算术平均值的权 设对某量以同精度独立观测了设对某量以同精度独立观测了N N次，得观测值次，得观测值 它们的中误差均等于它们的中误差均等于 ，则，则N N个观测值的算术平均值个观测值的算术平均值x x为为 （（1-1071-107）） 由协方差传播律知，平均值由协方差传播律知，平均值x x的方差的方差 （（1-1081-108）） 式中误差为式中误差为 （（1-1091-109））返回目录 即即N N个同精度独立观测值的算术平均值中误差，等于各观个同精度独立观测值的算术平均值中误差，等于各观测值的中误差测值的中误差 除以除以 。
若有若有 ，它们分别是，它们分别是 次同精度次同精度 观测值的平均值，若每次观测的中误差均为观测值的平均值，若每次观测的中误差均为 ，则，则LiLi的的中误差为中误差为 （（1-1101-110）） 令令 （（1-1111-111）） 则由权定义可得则由权定义可得 的权的权 为为 （（1-1121-112）） 即由不同次数的同精度观测值的算得的算术平均值，其权即由不同次数的同精度观测值的算得的算术平均值，其权与观测次数成正比。
与观测次数成正比返回目录 二、利用观测值函数的真误差值求二、利用观测值函数的真误差值求 观测值方差观测值方差1 1．用不同精度的真误差计算权中误差的基本公式．用不同精度的真误差计算权中误差的基本公式 设有一组同精度独立观测值设有一组同精度独立观测值 ，它们的，它们的数学期望为数学期望为 ，真误差为，真误差为 , ,有有 （（1-1131-113）） 则如第三节所述，观测值则如第三节所述，观测值LiLi的中误差为的中误差为 （（1-1141-114）） 此时，的数学期望为，它们的中误差也等于。
由于此时，的数学期望为，它们的中误差也等于由于LiLi和都和都服从正态分布，所以可以将它们写为服从正态分布，所以可以将它们写为 （（1-1151-115））返回目录 当当n n为有限值时，（为有限值时，（1-1141-114）式变成为）式变成为 （（1-1161-116）） 上式就是第三节中的（上式就是第三节中的（1-121-12）式，它是根据一组同精度）式，它是根据一组同精度独立的真误差计算中误差的基本公式。
独立的真误差计算中误差的基本公式 现在设现在设 ，， 是一组不同精度的独立观测值，是一组不同精度的独立观测值，它们所对应的数学期望，中误差和权分别为它们所对应的数学期望，中误差和权分别为 对应的真误差对应的真误差 仍按（仍按（1-1131-113）式得到则有）式得到则有 （（1-1171-117）） 根据权的定义知根据权的定义知 （（1-1181-118））返回目录 式中式中 是单位权中误差。
可见，如果单位权中误差为已是单位权中误差可见，如果单位权中误差为已知，则不难求得各观测值的中误差知，则不难求得各观测值的中误差 现在提出问题：如现在提出问题：如何何 利用一组不同精度的真误差来求得单位权中误差利用一组不同精度的真误差来求得单位权中误差 ？？ 可以看到，为了求得单位权中误差可以看到，为了求得单位权中误差 ，应需要得，应需要得到一组精度相同且其权为到一组精度相同且其权为1 1的独立的零点误差有了这样一组的独立的零点误差有了这样一组真误差，便可由（真误差，便可由（1-1141-114）或（）或（1-1161-116）式来求得）式来求得 我们不妨假定不妨假定 是一组同精度，且权为是一组同精度，且权为 的独立的真误的独立的真误差，并设差，并设 与与 有关系有关系 （（1-1191-119）） 根据协方差传播律知根据协方差传播律知 可得可得 所以，所以， （（1-1201-120）） 这就是说，由（这就是说，由（1-1201-120）式得到的）式得到的 是一组同精度是一组同精度且权为且权为1 1的零点误差，由于的零点误差，由于 是独立的真误差，所以，是独立的真误差，所以， 也也是一组独立的真误差，即有是一组独立的真误差，即有 （（1-1211-121））返回目录 根据（根据（1-1141-114）式，就可得到）式，就可得到 （（1-1221-122）） 将（将（1-1201-120）式代入上式，则可写出）式代入上式，则可写出 （（1-1231-123）） 上式就是根据一组不同精度的真误差所定义的单位上式就是根据一组不同精度的真误差所定义的单位权中误差的理论值。
实用上，由于权中误差的理论值实用上，由于n n总是有限的，故只能求得总是有限的，故只能求得单位权中误差单位权中误差 的估值的估值 ，即，即 （（1-1241-124）） 上式就是根据一组不同精度的真误差计算单位权中误上式就是根据一组不同精度的真误差计算单位权中误差的基本公式当所有观测的权相等，且都等于差的基本公式当所有观测的权相等，且都等于1 1小（即小（即pipi=1=1））, ,（（1-1241-124））式就变成了（式就变成了（1-121-12）式的第二式可见）式的第二式可见（（1-121-12）式的第二式是（）式的第二式是（1-1241-124）式的一种特殊情况式的一种特殊情况返回目录 2 2．由三角形闭合差求测角中误差．由三角形闭合差求测角中误差 设三个三角网中，以同精度独立观测了各三角形之内角，设三个三角网中，以同精度独立观测了各三角形之内角，由各观测角值计算而得的三角形内角和的闭合分别为由各观测角值计算而得的三角形内角和的闭合分别为 它们是一组零点误差，根据（它们是一组零点误差，根据（1-1-1212）式可知，三角形内角和的中误差为）式可知，三角形内角和的中误差为 （（1-1251-125）） 其中其中 为三角形的个数为三角形的个数 由于内角和由于内角和 是一个三角形中三个观测角值是一个三角形中三个观测角值 和和 之和之和 即即 根据协方差传播律可得根据协方差传播律可得 式中式中 O O 为三角形三内角和的中误差，为三角形三内角和的中误差， 为各内角观测为各内角观测值的中误差。
因此测角中误差为值的中误差因此测角中误差为 （（1-1261-126））返回目录 当三角形个数当三角形个数n n为有限的情况下，考虑（为有限的情况下，考虑（1-1251-125）式求得测）式求得测角中误差角中误差 的估值的估值 为为 （（1-1271-127）） 上式称为菲列罗公式在三角形测量中经常用它来初步评定上式称为菲列罗公式在三角形测量中经常用它来初步评定测定的精度测定的精度3 3．由双观测值之差求中误差．由双观测值之差求中误差 在测量工作中，常常对一系列被观测量分别进行成对在测量工作中，常常对一系列被观测量分别进行成对的观测。
例如，在水准测量中对每段进行返观测；在导线测的观测例如，在水准测量中对每段进行返观测；在导线测量中第条一边测量两次等这种成对的观测，称为双观测，量中第条一边测量两次等这种成对的观测，称为双观测，对同一个量所进行的两次观测称为一个观测对对同一个量所进行的两次观测称为一个观测对 设对量设对量 各测两次，得独立观测各测两次，得独立观测值为值为 其中观测对其中观测对 和和 是对量是对量XiXi的两次观测的结果的两次观测的结果又假定不同的观测对的精度不同，而同一观测对的两个观测又假定不同的观测对的精度不同，而同一观测对的两个观测值的精度相同，值的精度相同， 返回目录 设已知各观测对的权分别为设已知各观测对的权分别为即即 和和 的权都为的权都为pipi 对于任何一个观测量而言，不论其真值对于任何一个观测量而言，不论其真值XiXi的大小如何，的大小如何，都应有都应有即真值与它本身的真值为零。
即真值与它本身的真值为零 现在已对每个量现在已对每个量XiXi进行两次观测，由于观测值带有误差，进行两次观测，由于观测值带有误差，因此，每个量的两观测值的差数一般是不等于零的，因此，每个量的两观测值的差数一般是不等于零的，设设 （（1-1281-128））式中式中didi是第是第i i个观测量个观测量XiXi的两次观测值的差数既然已知差数的的两次观测值的差数既然已知差数的零点值应为零，因此，零点值应为零，因此，didi也就是各差数的真误差即也就是各差数的真误差即 （（1-1291-129））按权倒数传播律可得按权倒数传播律可得didi的权倒数为的权倒数为 （（1-1301-130）） 即即返回目录 这样，这们就得到了这样，这们就得到了n n个差数的真误差个差数的真误差 和它们的权和它们的权 顾及顾及（（1-1291-129）和（）和（1-1301-130），由公式），由公式可得由双观测值之差求单位权中误差的公式为可得由双观测值之差求单位权中误差的公式为 （（1-1311-131））当当n n有限时，其估值为有限时，其估值为按权的定义，可求得各观测值按权的定义，可求得各观测值 和和 的中误差为的中误差为 （（1-1321-132））而第而第i i对观测值的平均值对观测值的平均值 的中误差为的中误差为返回目录 （（1-1331-133）） 如果所有的观测值如果所有的观测值 都是同精度的，可令它们的权都是同精度的，可令它们的权PiPi都等于都等于1 1，则同（，则同（1-1311-131）式）式得各观测测值的中误差为得各观测测值的中误差为 （（1-1341-134）） 而每对观测值的平均值而每对观测值的平均值XiXi的中误差为的中误差为 （（1-1351-135）） 其估值为其估值为 （（1-1361-136））返回目录 第七节第七节 系统误差的传播系统误差的传播 前几节所讲的问题，是以观测值只含有偶然误差为前提的前几节所讲的问题，是以观测值只含有偶然误差为前提的。
也就是说，要求在测量过程中设法消除系统误差，但由于也就是说，要求在测量过程中设法消除系统误差，但由于种种原因，观测成果中总是或多或少地存在残余的系统误差，种种原因，观测成果中总是或多或少地存在残余的系统误差，这些系统误差的数值和符号随着观测条件的变化而变化这些系统误差的数值和符号随着观测条件的变化而变化 由于系统误差产生的原因多种多样，它们的性质各不由于系统误差产生的原因多种多样，它们的性质各不相同，因而只能对不同的具体情况采用不同的处理方法，不相同，因而只能对不同的具体情况采用不同的处理方法，不可以得到些通用的处理方法所以，对于残余的系统误差对可以得到些通用的处理方法所以，对于残余的系统误差对成果的影响，也不可能有严密的计算方法这里仅讲估计系成果的影响，也不可能有严密的计算方法这里仅讲估计系统误差的概念和一种在某些情况下可以应用的近似估算方法统误差的概念和一种在某些情况下可以应用的近似估算方法 一、观测值的系统误差与综合误差的方差一、观测值的系统误差与综合误差的方差 设有观测值设有观测值 观测量的真值为观测量的真值为 ，则，则L L的综合误差的综合误差 可定义为可定义为 如果综合误差如果综合误差 中只包含偶然误差中只包含偶然误差 ，，返回目录 由偶然误差的特性可知其数学期望应为由偶然误差的特性可知其数学期望应为 ，如果，如果 中除包含偶然误差中除包含偶然误差 外，还包含系统误差外，还包含系统误差 ，，即即 （（1-1371-137）） 此时，由于系统误差此时，由于系统误差 不是随机变量，所以不是随机变量，所以 的数学的数学期望期望 为为 （（1-1381-138）） 又因为又因为 （（1-1391-139）） 所以，所以， 也就是观测值也就是观测值L L的数学期望对于观测量真值的偏差，的数学期望对于观测量真值的偏差，观测值观测值L L含的系统误差愈小，即含的系统误差愈小，即 愈小，则愈小，则L L的数学期望对的数学期望对于真值的偏差值愈小，或者说于真值的偏差值愈小，或者说L L愈准确。
因此，有时也称愈准确因此，有时也称 为为L L的准度 当观测值当观测值L L中即存在偶然误差中即存在偶然误差 ，又存在残余的系，又存在残余的系统误统误 差差 时，常常用观测值的综合误差方差时，常常用观测值的综合误差方差 来表征来表征观测值勤的可靠性因为观测值勤的可靠性因为 其中系统误差是非随机量，所以综合误差的方差其中系统误差是非随机量，所以综合误差的方差为为返回目录 又因又因 ，而，而 是由偶然误差产生的方差是由偶然误差产生的方差 ，故有，故有 （（1-1401-140）） 即观测值的综合误差方差即观测值的综合误差方差DLLDLL等于它的方差等于它的方差 与系统误差与系统误差的平方的平方 之和。
当系统误差之和当系统误差 为中误差为中误差 的五分之一，的五分之一，即当即当 时，则由（时，则由（1-1401-140）式得）式得 同样地，若同样地，若 时，则有时，则有 由此可见，在这种情况下，如果不考虑系统误差的由此可见，在这种情况下，如果不考虑系统误差的影响，对于前者，所求得影响，对于前者，所求得 将减小将减小2%2%，对于后者，将减小，对于后者，将减小5%5%因此，在实用上，如果系统误差部分是偶然误差部分因此，在实用上，如果系统误差部分是偶然误差部分 的三分之一或者更小时，则可将系统误差的影响忽略不计的三分之一或者更小时，则可将系统误差的影响忽略不计返回目录 二、系统误差的传播二、系统误差的传播 由于某此观测值残余的系统误差的影响，使观测值函数由于某此观测值残余的系统误差的影响，使观测值函数也产生系统误差，称之为系统误差的传播。
也产生系统误差，称之为系统误差的传播 设已知观测值的系统误差为设已知观测值的系统误差为 （（1-1411-141）） 式中式中 是是Li Li 所对应的观测量的真值和综合误差所对应的观测量的真值和综合误差又设有线性函数又设有线性函数 （（1-1421-142）） 由上式容易写出函数的综合综合误差与各个由上式容易写出函数的综合综合误差与各个LiLi的综合误差的综合误差之间的关系式为之间的关系式为 （（1-1431-143）） 根据数学期望的运算规律可知根据数学期望的运算规律可知返回目录 所以得所以得 （（1-1441-144））上式就线性函数系统误差的传播公式。
上式就线性函数系统误差的传播公式 若函数若函数Z Z是非线性形式，即是非线性形式，即 （（1-1451-145）） 也可以用它们的微分关系代替它们的误差之间的关系，即有也可以用它们的微分关系代替它们的误差之间的关系，即有 （（1-1461-146）） 令令 则仍有则仍有 于是，同样可能得到（于是，同样可能得到（1-1441-144）式的关系因此（）式的关系因此（1-1-144144）也就是一般函数的系统误差的传播公式。
也就是一般函数的系统误差的传播公式返回目录 三、系统误差与偶然误差的联合传播三、系统误差与偶然误差的联合传播 当观测值中同时含有偶然误差和残余的系统误差时，还当观测值中同时含有偶然误差和残余的系统误差时，还有必要考虑它们对观测值的函数的联合影响问题这里只讨有必要考虑它们对观测值的函数的联合影响问题这里只讨论独立观测值情况论独立观测值情况 设有函数设有函数 （（1-1471-147）） 其中其中L1L1和和L2L2是独立观测值，假定它们的综合误差为是独立观测值，假定它们的综合误差为 其中其中 和和 分别为分别为L1L1、、L2L2包含的包含的偶然误差和偶然误差和 系统差，并假设系统差，并假设L1L1、、L2L2由偶然误差产生的方差为由偶然误差产生的方差为 。
由（由（1-271-27）式可以写出的误差关系式可以写出的误差关系返回目录 将等式两边平方，得将等式两边平方，得 再取数学期望，则函数再取数学期望，则函数Z Z的综合误差方差为的综合误差方差为 再顾及再顾及 所以得所以得 （（1-1481-148）） 不难将上式的结果加以推广，对于线性函数不难将上式的结果加以推广，对于线性函数返回目录 它们的综合误差之间的关系为它们的综合误差之间的关系为 则则Z Z的综合误差方差为的综合误差方差为 （（1-1491-149）） 当当Z Z为非线性函数时，亦可用它们的微分关系代替误为非线性函数时，亦可用它们的微分关系代替误差关系。
此时，以上两式中的系数差关系此时，以上两式中的系数kiki即为偏导数即为偏导数 当上式中的当上式中的 时，时， （（1-1491-149）式可写成）式可写成 （（1-1501-150）） 此即一般文献中称为均方误差的计算式。
此即一般文献中称为均方误差的计算式返回目录 大学课件出品 版权归原作者所有 联系 ：910670854 如侵权，请告知，吾即删 更多精品文档请访问我的个人主页 附赠人生心语附赠人生心语 人生太短，聪明太晚 人生太短，聪明太晚(1)我们都老得太快 却聪明得太迟把钱省下来，等待退休后再去享受结果退休后，因为年纪大，身体差，行动不方便，哪里也去不成钱存下来等养老，结果孩子长大了，要出国留学，要创业做生意，要花钱娶老婆，自己的退休金都被拗走了 人生太短，聪明太晚(2)当自己有足够的能力善待自己时，就立刻去做，老年人有时候是无法做中年人或是青少年人可以做的事，年纪和健康就是一大因素小孩子从小就告诉他，养你到高中，大学以后就要自立更生，要留学，创业，娶老婆，自己想办法，自己要留多一点钱，不要为了小孩子而活我们都老得太快却聪明得太迟，我的学长去年丧妻这突如其来的事故，实在叫人难以接受，但是死亡的到来不总是如此学长说他太太最希望他能送鲜花给他，但是他觉得太浪费，总推说等到下次再买，结果却是在她死后，用鲜花布置她的灵堂。
这不是太蠢愚了吗？！等到......、等到.....，似乎我们所有的生命，都用在等待 人生太短，聪明太晚(3)「等到我大学毕业以后，我就会如何如何」我们对自己说「等到我买房子以后！」「等我最小的孩子结婚之后！」「等我把这笔生意谈成之后！」「等到我死了以后」人人都很愿意牺牲当下，去换取未知的等待；牺牲今生今世的辛苦钱，去购买后世的安逸在台湾只要往有山的道路上走一走，就随处都可看到「农舍」变「精舍」，山坡地变灵塔，无非也是为了等到死后，能图个保障，不必再受苦许多人认为必须等到某时或某事完成之后再采取行动明天我就开始运动，明天我就会对他好一点，下星期我们就找时间出去走走；退休后，我们就要好好享受一下 人生太短，聪明太晚(4)然而，生活总是一直变动，环境总是不可预知，现实生活中，各种突发状况总是层出不穷身为一个医生，我所见过的死人，比一般人要来得多这些人早上醒来时，原本预期过的是另一个平凡无奇的日子，没想到一个意料之外的事；交通意外、脑溢血、心脏病发作等等剎那间生命的巨轮倾覆离轨，突然闯进一片黑暗之中那么我们要如何面对生命呢？我们毋需等到生活完美无瑕，也毋需等到一切都平稳，想做什么，现在就可以开始做起。
一个人永远也无法预料未来，所以不要延缓想过的生活，不要吝于表达心中的话， 因为生命只在一瞬间 人生太短，聪明太晚(5)记住！给活人送一朵鲜花，强过给死人送贵重的花圈，每个人的生命都有尽头，许多人经常在生命即将结束时，才发现自己还有很多事没有做，有许多话来不及说，这实在是人生最大的遗憾别让自己徒留「为时已晚」的空余恨逝者不可追，来者犹未卜，最珍贵、最需要实时掌握的「当下」，往往在这两者蹉跎间，转眼错失 人生太短，聪明太晚(6)人生短暂飘忽，包得有一首小诗这样写：高天与原地，悠悠人生路；行行向何方，转眼即长暮正是道尽了人生如寄，转眼即逝的惶恐有许多事，在你还不懂得珍惜之前已成旧事；有许多人，在你还来不及用心之前 已成旧人 遗憾的事一再发生，但过后再追悔「早知道如何如何」是没有用的，「那时候」已经过去，你追念的人也已走过了你 人生太短，聪明太晚(7)一句瑞典格言说：「我们老得太快，却聪明得太迟」 不管你是否察觉，生命都一直在前进人生并未售来回票，失去的便永远不再得到将希望寄予「等到方便的时间才享受」 人生太短，聪明太晚(8)我们不知失去了多少可能的幸福不要再等待有一天你「可以松口气」，或是「麻烦都过去了」。
生命中大部分的美好事物都是短暂易逝的，享受它们、品尝它们， 善待你周围的每一个人，别把时间浪费在等待所有难题的「完满结局」上找回迷失的生命死亡也许是免费的 ─ 但是，却要付出生命的代价劝大家一句话：把握当下，莫等待 成功人生的十堂课 人生成功第1课 做一个终生学习的人，离开学校并不意味着学习就结束了 学习可以成为一种生活方式，帮助你发挥最大的潜能 我们从未停止学习，总会有新的，有趣的东西等待我们去发现 学习新的技能可能让人感到有一点恐惧，但每当我们在个人学习上停滞不前时，我们都需要去学习新的东西 积极地寻求支援和建议，突破停滞期 参加一些培训，进修，夜校－任何新的兴趣都将会有助于发展你的优势 多看，多听，让你的头脑保持活跃活到老，学到老 人生成功第2课 令自己感到沮丧的秘诀就是用空闲时间去烦恼自己是否快乐所以不要费事去想它！摩拳擦掌干起来吧你将热血沸腾，你会头脑清醒很快，在你身体中的这种高涨的积极人生观将把烦恼从你的头脑中赶出去 行动起来，忙碌起来这是世界上最便宜的一种药，也是最好的一种 人生成功第3课 在困境中寻找成功的希望 逆境是一所最好的学校。
每一次失败，每一次打击，每一次损失，都蕴育着成功的萌芽，都教会我在下一次有更出色的表现我再也不会逃避现实，也不会拒绝从以往的错误中获取经验，我不再因此而促成自己的失败因为我知道，宝玉不经磨砺就不能发光，没有，我也不能完善自我 现在我知道，灵魂倍受煎熬的时刻，也正是生命中最多选择与机会的时刻任何事情的成败取决于我在寻求帮助时是抬起头还是低下头无论何时，当我被可怕的失败击倒，在最初的阵痛过去之后，我都要想方设法将苦难变成好事伟大的机遇就在这一刻闪现－这苦涩的根必将迎来满园芬芳！ 我将一直在困境中寻找成功的希望 人生成功第4课 没有人可以使你感到自卑 我选择自我感觉良好，这样我能更加开放地学习如果人们给我负面的回应或是批评我做的事情，我不会认为他们所说的就表明我是一个“差劲的”人我坚信自尊由我掌控，这让我毫无戒心地去听取别人的反馈，想看看是否有我可以学习的东西 我们每天都有两种选择我们可以感到自己很棒，也可以感到自己很差劲难道有人会选择后者吗？ 人生成功第5课 紧紧抓住梦想 我们每个人都有梦想我们每个人都希望能发自内心地相信自已有一种特殊的天赋，相信自己能发挥重要的作用，相信自己能以一种特殊的方式感动他人，相信自己能够把世界变得更加美好。
在一生中，我们都曾经对自己渴望并追求的生活品质抱有憧憬然而，对我们大多数人来说，这些憧憬在日常生活的成规和挫败中已经变得如此渺茫，以到于我们甚至不再努力去实现它们对太多人来说，梦想已经远离，随之远离的还有塑造我们命运的意愿很多人已经推动了坚定的信念，而正是坚定的信念为胜利者创造了优势 我们所要做的就是重拴梦想，并实现梦想，让我们每个人都记住，并去运用深藏在自己身上的无限潜能 人生成功第6课 毅力无法替代 世界上没有任何东西可以替代毅力才干不可以，无所作为的能人十分普遍；天分不可以，碌碌无为的天才尽人皆知;教育不可以，受过良好教育的没落者更是随处可见只要有毅力和决心，就是无所不能的 毅力并不总是意味着永远坚持做同一件事它意味着无论你做任何事情，你都要立刻全心投入，竭尽全力；它意味着先做艰苦的工作，再去期待随之而来的满足和回报它意味着开心地工作，渴望更多的知识和进步它意味着多打几个，多夏装几里路，多除草，早起床，意味着总是寻求更好的方式去做你在做的事情毅力就是经历考验和过失的成功 人生成功第7课 驻足片刻闻花香 在现代生活的忙忙碌碌中，人们很少会停下来欣赏自然的美。
问问自己，你有多少次倾听过鸟儿的歌唱你最近一次抬头仰望闪耀的星空又是在什么时候？ 时光飞逝，人生苦短不要忘记驻足闻闻花香我们在急于谋生的过程中，往往忽视了我们生活的品质多少次，你听见人们为这为那说“我忙死了多可惜啊！有一天，当他们真的找到时间能够驻足片刻闻花香时，可能已经太迟了 人生成功第8课 加入到微笑者和赞美者的行列来 当你对别人，别人也会对你报以，你自然会感觉很棒即使他有对你报以，你也会感觉很棒，因为你认识到世界上最贫穷的人就是从不微笑的人，当你对那个人微笑，你立刻变得更加富有 赞美也是这个道理当你真诚地毛病抑或恭维一个人时，他将立刻受益，更喜欢自己当你让别人感觉更好时，你自己也会感觉更好 人生成功第9课 让自己快乐 调查表明，我们当中70%的人在生活中时间有临床性的抑郁现象 如今我们有这么多的机遇，为什么我们还这么不快乐呢？ 人们尝试各种东西：金钱，权利，事业，婚姻，离婚，酒精，摇滚甚至毒品，但我们大多数人只是想要得到一样东西－快乐 快乐是人的一种自然的身心状态；我们只要去相信快乐，让自己感受快乐 要宣称：我应当得到快乐 说出来，唱出来，喊出来 优先考虑快乐，让快乐成为你最重要的事情。
对你所拥有的一切抱以感激之情吧 人生成功第10课 我拥有无与伦比的想象力 现在我将通过这种神奇的力量得到我想要的 如果我害怕发表演讲，我就想象自己在公众场合无所畏惧，充满信心； 如果我在病魔的煎熬，我就想象我以前健康的样子； 如果我感到贫穷，我就想象我将要富有 现在我明白了： 人类惟一的限制就是想象力我之所以没有成功，原因就在于我不知道如何使用我的想象力现在，我精通这个技巧，我将从中受益最大的回报将是成功和愈加快乐 你会管理时间吗?如何让自己一天的时间不止24小时呢?这里有一些总结: 你会管理时间吗?（1）1.对目标、任务、会议等事件分别按优先级进行排序；2.从优先级最高的事物着手；3.和拖延做斗争，如果事情重要，从现在开始做；4.把大的、艰难的任务细分为小的、容易的部分；5.为自己创造一小时的宁静，哪怕这需要很强的意志力，或者有时不起作用； 你会管理时间吗?（2）6.找到一个隐蔽的地方，如图书馆或空闲的办公室；7.当你有重要的事情要处理时，学会对别人说“不”；8.学会委派别人做事；9.归纳相似的事情，把它们放在一起处理；10.减少例行事务：它们不值得花费过多时间。
缩短低价值的事件抛开没有价值的信件和文书工作委派别人完成、减少或推迟优先级很低的任务； 你会管理时间吗?（3）11.避免完美主义记住80/20定律；12.避免做出过多许诺对你在有限时间内能完成的工作持现实态度；13.不要把时间表排得满满的，为自己留下一定机动时间应付突发事件；14.设置时间限制例如，做某些决定时，不应超过3分钟；15.聚精会神地做手头的事情； 你会管理时间吗?（4）16.处理重要事情时，使用大块的时间；17.迅速处理困难的事情，等待和拖延不会使它们变容易；18.文书工作争取只处理一次；19.在行动以前，彻底地思索整件工作；20.第一次就做好 成功是一种习惯，习惯是需要培养的 成功是一种习惯，习惯是需要培养的（1） 1：找方法，不找借口 2：遇到挫折时，对自己说“太棒了” 3：不说消极的话，不落入消极的情绪，一旦出现立即正面处理 4：随时用零碎时间做零碎的事 5：写下来，不要太依靠脑袋记忆 6：随时记录灵感 7：守时 8：把重要的观念方法写下来，并随时提醒自己 9：走路时，比平时快30%，肢体语言要健康，有力，不懒惰，不萎靡 10：每天自我反省一次。
11：每天坚持一次运动 12：开会坐在前排 13：微笑 14：说话时，声音有力 15：说话之前，先考虑对方的感受 16：每天有意识或真诚地赞美别人3次 17:不要用训斥 指责的口吻跟别人说话. 18:每天做一件分外事. 19:节俭. 20:恪守诚信,说到做到. 成功是一种习惯，习惯是需要培养的（2）“好的习惯让人立于不败之地，坏的习惯则让人从成功的宝座上跌下来”拿破仑希尔认为，保罗·盖蒂的这句话很有道理有一段时期，盖蒂抽烟抽得很凶一天，他去法国度假的途中，在一个小旅馆投宿晚上下起了大雨，地面特别泥泞，开了好几个钟头的车之后，盖蒂实在是累极了吃过晚饭，他就回到自己的房间里，睡着了但是清晨时分盖蒂突然醒了过来，他很想抽支烟，于是他就打开了灯，很自然的伸手去摸他一般都会放在床头的烟，但是没有他下了床，到衣服的口袋里去找，也没有于是他又在行李袋里找，结果他又一次失望了他知道这个时候旅馆的酒吧和餐厅早就关门了他想，这个时候把不耐烦的门房叫过来，实在是不可能现在他唯一能得到香烟的方法就是穿好衣服，到火车站去，但是那还在6条街之外呢 成功是一种习惯，习惯是需要培养的（3）看来情形并不乐观，外面还下着雨。
他的汽车也停在离旅馆还有一段距离的车房里而且，在他住店的时候，别人也提醒过他了车房的门是午夜关，第二天早上6点才开门，现在能叫到出租车的机率也相当于零显然，要是他真的迫切地需要一支烟，那么他只能在雨里走到黑暗中抽烟的欲望不断地折磨着他于是，他下了床，脱下睡衣，穿好衣服，准备出去正在他伸手拿雨衣的时候，他突然笑了起来，笑自己傻他突然觉得，自己的行为多荒唐可笑盖蒂站在那里，心里不停地想着，一个所谓的知识分子，一个商人，一个认为自己有足够的智慧可以对别人下命令的人，居然在三更半夜要离开舒适的旅馆，冒着大雨走上好几条街去买香烟盖蒂也是生平第一次注意到，他现在早就养成了一个坏习惯，那就是为了一个不好的习惯，他可以放弃极大的舒适看来，这个习惯对他并没有什么好处，于是，他的头脑立刻就清醒了过来，很快他就做出了决定 成功是一种习惯，习惯是需要培养的（4）他已经决定好了，就走到桌子旁边把那个烟盒团起来扔出去，然后重新换上睡衣，回到舒服的床上心里怀着一种解脱，甚至是一种胜利的感觉，很满足地关上灯，合上了眼睛在窗外的雨声里，他进入了一个从来没有过的深沉的睡眠自从那个晚上之后，他再也没抽过一根烟，也再没有想过要抽烟。
盖蒂说，他并不是想用这件事来指责那些有抽烟习惯的人但是他经常回忆那天晚上的情形，他只是为了表示，按照他当时的情况，他差点被一种恶习俘虏经常做一件事就会形成习惯，而习惯的力量是难以抗拒的但是人类还有一种潜藏的缓冲能力，也不容小觑既然人有可能养成一种习惯，那肯定他也有能力改掉这种习惯还有些人说，奇怪的是，养成好习惯很难，但是一个坏习惯却在不知不觉中就已经形成了但是，事实并非如此，这还要看一个人的毅力不管怎么说，习惯终归是习惯，并没有合理的理论说坏习惯要比好习惯更容易养成 成功是一种习惯，习惯是需要培养的（5）动作敏捷或迟缓只是个时间的问题，一个人要么习惯了准时，要么他就会习惯迟到一个准时的人，总会体会到这种习惯给他带来的好处，无论是约会，会议，还是什么别的方面的承诺如果别人请你吃饭，你迟到了，那就会给主人和其他的客人造成不便你可能会因此而变得很不受欢迎，以后人家都不会再请你吃饭了拿破仑 希尔认为，对商人来说，准时是一项特别宝贵的资产俗话说得好，“时间就是金钱”，这句话永远是正确的，现在这个时代里，这个原则比以前更加重要现代企业的步调是一日千里，分秒必争主管和高级职员的每日安排都是满满的，因为他们可没有多余的时间可以浪费，就像生产线不能耽搁一样。
守信对生意人来说，是个难得的品德，最有希望成功的商人和公司，他们一定是准时接受定单，准时回复并交货，提供服务，准时付款，准时还债如果等时间已过去了，订货还没到，那顾客下次可能就不找你了 成功是一种习惯，习惯是需要培养的（6）节俭是另外一种可以养成的习惯，对天生节俭的人来说，这个习惯给他带来的成功的机会要比别人多而习惯了节俭的人，他只知道在乎时就要注意节减开支和成本 受用一生的教诲：职场10只魔戒 N条箴言 第１只魔戒第１只魔戒 第一条箴言：习惯仿佛像一根缆绳，我们每天给它缠上一股新索，要不了多久，它就会变得 牢不可破第二条箴言：人类所有优点都要变成习惯才有价值，即使"爱"这样一个永恒的主题，你也 必须通过不断的修炼，变成你的习惯，才真正会化为你的行动第三条箴言：很多好的观念、原则，我们"知道"是一回事，但知道了是否能"做到"是另 一码事这中间必须架起一座桥，这桥便是习惯第四条箴言：科学家研究发现，一个习惯的养成需要２１天的时间，这２１天是个平均数， 但习惯一旦养成就将终生受用第五条箴言：任何一个习惯的培养都不会是轻而易举的，因此一定要遵循循序渐进、由浅入 深、由近及远、由渐变到突变的原则。
第２只魔戒第２只魔戒 第一条箴言： 人生来是简单的，和文明打交道之后变得复杂了，陷入了某种复杂的旋涡中 无法自拔，这些羁绊使人忘记人性的最终追求是平静、简单、自由第二条箴言：不经过复杂的简单是一种苍白，我曾经很人为地把金钱放在一边它却不安分， 但今天当我驾驭了金钱，它就能很安分地呆在一边第三条箴言：要锻炼一个人的财商，让他具有富人心态，首先他确实要学会放弃，同时也要 学会克服，要学会走出很多障碍和阴影第四条箴言：财商教育的根本目的是让人们获得自由，增加收入、减少财务问题的初衷是减 少人们在金钱上的虚荣心和攀比风第五条箴言：财商教育要解决人类面对金钱的两大问题：恐惧与贪婪而为了生活稳定这个 假象，人们常常沦为金钱的奴隶第六条箴言：对于金钱，不是说你要成为它的主人，而是要做到与之和谐、平等，因为它反 映的是你自己，所以对它要多一分宽容 第３只魔戒第３只魔戒 第一条箴言：成功的实质就是获得自由度，就是当你想当的人，做你想做的事，去你想去的 地方，说你想说的话 第二条箴言：世上没有懒惰的人，只有没有目标的人世界上最贫穷的人就是没有目标的人 ，因为连"梦想"都没有，还会拥有什么？第三条箴言：只有明确而具体的目标才可衡量，而只有可衡量的目标才可能达到。
第四条箴言：付出就表示富有，索取就是贫穷，快行动起来，用行动表现你的"富有"第五条箴言：心态、目标、时间管理三者的集中点就是在行动上，三者的表现特征也是"行 动"它们共同形成"知行合一"的统一体 第４只魔戒第４只魔戒 第一条箴言：人的一生就是不断地闯入一个又一个圈子并不断争取承认的过程第二条箴言：在西方社会，特别是在北美，只有那些树立自我推销和成功意识的人，才有可 能赢得机会与成功第三条箴言：国际化人才不是一个地理意义上的概念，而是文化、心理层面的概念是否是 国际化人才取决于一个人的涵养、知识构成和思维模式第四条箴言：创业的失败率是非常高的，在美国，每年有几十万人开公司，每年也有几十万 家公司倒闭，所以创业只适合一部分人第五条箴言：我时常摸着跳动的心口，数着那一下一下的脉搏，计算着我的生命长河究竟能 卷起多少浪花我要让短暂的生命，爆发出火花第六条箴言：命运不是机遇，而是一种选择命运从来都不是一种可以等到的东西，而是一 件需要去完成的事情 第５只魔戒第５只魔戒 第一条箴言：不管你对成功如何定义，积极总是有价值的积极不一定成功，但消极肯定失败第二条箴言：成功学的最大的特征就是强调标准化和量化，把认为说不清楚、不可琢磨的东 西都变成可琢磨、可操作的东西。
第三条箴言：成功绝对有捷径，当然它的捷径绝对不是整个过程，这个捷径告诉我们的是必 须按照最有效的成功策略去做，否则你就会越忙越出错第四条箴言：人的改变会遵循一定的轨迹，即：结果决定于行为，行为决定于态度，态度决 定于信念，信念决定于自我期望第五条箴言：人对环境有四种反应：第一是离开环境；第二是改变环境；第三是适应环境； 第四是抱怨环境前三种反应都有可能从中找到新的生机，只是千万不要选择第四种反应第六条箴言：成功的秘诀第一个是坚持到底，永不放弃；第二个就是当你想放弃的时候，再 照着第一个秘诀去做：坚持到底，永不放弃 第６只魔戒第６只魔戒第一条箴言：人们总是感到自己是对的，别人和世界都是不对的；所以人们总想改变世界、 改变别人，很少想到改变自己其实，改变世界应该先从改变自己开始第二条箴言：不少老板都恨不得把员工改造成跟自己一样的人，其实最不像你的人、你最不 喜欢的人，或许正是你的团队最需要的人第三条箴言：性格本身并没有好坏之分，也没有谁对谁错乐观和悲观对这个世界都有贡献 ，前者发明了飞机，后者发明了降落伞第四条箴言：这是一个充斥着个性的时代，这是一个峥嵘着个性的社会，许多个性相差甚远 的人都在适于自己的路上找到了自己最好的归宿。
第五条箴言：个性是半个生命，丧失个性就是半个死亡 第７只魔戒第７只魔戒 第一条箴言：中国人的问题是更重视历史，但缺少前瞻性的思维其实我们更应该具有未来 决定现在这样一种思考第二条箴言：如果中国只变成一个世界工厂是不行的，我们的最大优势是人，但现在还只是 重视数量而没重视质量第三条箴言：社会认可是动态的，历史上有很多人就是生前不被社会认可的，像梵高的画， 像马克思的思想第四条箴言：个性化发展强调的是你自己的个性，是适合自己的途径，我切身的体会不是学 识上的成长，而是精神上的成长第五条箴言：科技发展的日新月异、信息的爆炸，使本领的地位比任何时代都高，本领恐慌 比任何时代都更可怕第六条箴言：在２１世纪，拥有创造性学习能力是最根本的应变之道 第８只魔戒第８只魔戒 第一条箴言：在生活中所极力追求的，应该是按自己内心深处确认的人类的永恒价值，而不 是流行的市场价值第二条箴言：人的智慧力、道德力和意志力，是重要的“人格三要素”这三种力量越强的 人，越容易达到自我实现的最高境界第三条箴言：高峰体验既是一种最佳状态，又是一种终极体验经历了这种高峰体验的人， 也就会产生这辈子没有白活的感觉第四条箴言：物质需要属于匮乏性需要，它的满足引起的感觉是短暂的、肤浅的；自我实现 需要是成长性需要，它的满足才会产生持久的、深刻的感觉。
第五条箴言：第一流的菜汤比第二流的绘画更具有创造性 第９只魔戒第９只魔戒 第一条箴言：任何职业生涯规划都不能对未来进行非常精确的预测，但人们可以进行环境分 析、个人条件分析，然后在此基础上确定自己的目标第二条箴言：评判职业成功与否没有统一的标准，这里有一个标准可做参考，即在实现目标 的过程中快乐一定要多于痛苦第三条箴言：人的自我实现就是人的创造性潜能的充分发挥，求知是自我实现的前提，求美 是自我实现的过程第四条箴言：职业生涯开发与管理讲求的是：只要开始，永远不晚；只要进步，总有空间 重要的不是目前所处的位置，而是迈出下一步的方向第五条箴言：当你还没有把一件工作做好的时候，就没有资格说不喜欢；只有把工作做好了 ，甚至超过了领导的期望，你才有资格谈离开的问题 第１０只魔戒第１０只魔戒 第一条箴言：职场革命引发了新的学习革命，所以我们需要对学习进行新的理解第二条箴言：我们通常把学习当做传统教育的一部分，而不是把它当做工作的一部分，其实 大多数人是一边工作一边学习的第三条箴言：有好文凭就有好工作的观念正在受到质疑，人事主管们对学历并不特别看重， 他们更看重的是有无经验、品质才能如何以及有没有创造性。
第四条箴言：当你为自己的成功担负起责任时，工作之于人就变成了一次历险我开始把生 命看做是自己经营的一项事业第五条箴言：教育应该提供的是一个市场，让每个人在里面找到相应的资源要有多种多样 的特点，而不能按一套模式进行第六条箴言：不少专家谈起理论头头是道，可在培养自己孩子的问题上却一塌糊涂对于培 养孩子来说，没有人掌握了完美的方法 办公室白领经典描述 1：自我：自我感觉感觉最牛的人最牛的人----财务财务部员工部员工 老子不求人，人人求老子！于是乎，这帮狗屎们天天拽得好像自己是救世主是其他员工的再生父母一样，牛！超级牛！100％牛！我活这么大了还真没看到过不牛的财务，这帮人其实在公司是同事们最不敢得罪、但更是最让人看不起，人际关系最差的一群人，当然，据我观察，也是离婚率最高的一类人 2：最有城府最有心计的人：最有城府最有心计的人----人力资源人力资源部员工部员工 每天的工作就是算计如何搞出用最小代价换取最大回报的提议来讨好老板，看谁不顺眼就想方设法算计如何在考核、薪酬奖金分配方面给他穿小鞋的鸟人 3：智商最高情商最差的人：智商最高情商最差的人----研发部员工研发部员工 技术过硬，为人木衲。
上台发言三分钟 搞不出一句话来，向领导汇报工作结结巴巴没个半小时理不出个头绪来企业中最好管理的一群伪知识分子，可以被任意剥削，基本上不会反抗，或者从来就没有过反抗的意识 4：最吊儿郎当和无耻的人：最吊儿郎当和无耻的人----销售销售部员工部员工 老板们财富的来源，老板们最想讨好的一群人，这群人其实也是最无耻公司内口碑最差却又人际关系最和谐的一群人天天吊儿郎当的来公司报个到，调戏一下前台，和狐朋狗友打打，10点不到就开始琢磨找借口出门拜见客户，其实下午就是在家睡大觉，晚上则开始一天最疯狂和最性福的生活不过虽然无耻，但因其八面玲珑，见人说人话，见鬼说鬼话，反而在公司中人缘最好 5：最表里不一内心最龌龊的人：最表里不一内心最龌龊的人----采购部员工采购部员工 天天在老板面前装孙子，天天在同事面前装老实，公司的任何办公室政治从不参与，老老实实，哈巴狗、老黄牛般不理尘世的卖力的工作着其实这帮人，最敏感、最贪、最不把公司利益当一回事，吃着碗里看着锅里的是再正常不过的事情，你以为他们真的老实，真的不贪？老板你把他工资减掉一半试试，看他还干不干？呵呵，工资啊，对他们来说，毛毛雨而已，虽然从此以后有了更多表面的牢骚。
6：最轻闲最没有上进心的人：最轻闲最没有上进心的人----前台前台 一部、一台打印机、一部、一台电 脑、一张桌子、一小叠钞票就是工作的全部每天75％的时间上网聊，15％的时间琢磨晚上的活动偷偷照镜子化妆、挤青春痘，5％的时间在工作，5％的时间在传播小道消息晚上到的厅转转，在那蹦的的女孩，除了15％是学生MM，10％是打工妹外，剩下的基本上都是这些文员了，即便现在不是，但以前肯定是 7：最没分量最窝囊的人：最没分量最窝囊的人----行行政部员工政部员工 天天累得跟猪爬树一样，琐事最多，功劳最小，批评最多，所以导致牢骚也最多，因心情郁闷所以传播小道消息也最热衷，因不被承认，被人看不起，所以这群人内心最畸形行政部经理表现最明显，行政助理和文员说白了就是他们蹂躏和发泄的极好对象 8：最计较最不安好心的人：最计较最不安好心的人----司机司机 如果你得罪他们了，从此你申请派车急着外出时，司机告诉你车正巧坏了要去修；从此你在车上发的丁点牢骚，不出半天就会被添油加醋的传到老板耳里…………这还不算什么，最让人受不了的是，掐公司的汽油倒卖，和车修所的串通吃回扣，闲的时候借口修车外出陪女老乡，呵呵，龌龊的事情不少呢。
9：最蚕古的员工：最蚕古的员工----客服部客服部员工员工 对客户要客客气气，对同事也得客客气气，有气只能哑巴吃黄连....说白了整个夹心饼干> 评价：2个字作孽. 10：最风光却内心最煎熬的人：最风光却内心最煎熬的人----当然是老板当然是老板 有一帮子难对付的员工，有变化莫测的外部市场，还有剪不断理还乱的内部协调和管理，或许还有个别养在外面的金丝雀。