《应用统计cha课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《应用统计cha课件（69页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、应用统计应用统计第六章：抽样与抽样分布第六章：抽样与抽样分布第第 6 章章 统计量及其抽样分布统计量及其抽样分布6.1 统计量统计量6.2 关于分布的几个概念关于分布的几个概念 6.3 由正态分布导出的几个重要分布由正态分布导出的几个重要分布 6.4 样本均值的分布与中心极限定理样本均值的分布与中心极限定理6.5 样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布6.6 两个样本平均值之差的分布两个样本平均值之差的分布6.7 关于样本方差的分布关于样本方差的分布 6.1 统计量统计量6.1.1 统计量的概念统计量的概念6.1.2 常用统计量常用统计量6.1.3 次序统计量次序统计量 6.1.4 充分统计量充
2、分统计量常用的总体参数常用的总体参数 总体参数总体参数总体平均值总体平均值总体方差总体方差总体标准差总体标准差总体比率总体比率统计量统计量(statistic)1.设设X1,X2,Xn是是从从总总体体X中中抽抽取取的的容容量量为为n的的一一个个样样本本，如如果果由由此此样样本本构构造造一一个个函函数数T(X1,X2,Xn)，不不依依赖赖于于任任何何未未知知参参数数，则称函数则称函数T(X1,X2,Xn)是一个统计量是一个统计量样样本本均均值值、样样本本比比例例、样样本本方方差差等等都都是是统统计量计量2.统计量是样本的一个函数统计量是样本的一个函数3.统计量是统计推断的基础统计量是统计推断的基
3、础常用统计量常用统计量样本统计量样本统计量样本平均值样本平均值样本方差样本方差样本标准差样本标准差样本比率样本比率常用统计量常用统计量样本统计量样本统计量样本变异系数样本变异系数样本样本k阶矩阶矩样本样本k阶中心矩阶中心矩常用统计量常用统计量样本统计量样本统计量样本偏度系数样本偏度系数样本峰度系数样本峰度系数次序统计量次序统计量1.一一组样本观测值组样本观测值X1,X2,Xn由小到大的排由小到大的排序序 X（1）X（2） X（i） X（n） 后，称后，称X（1），X（2），X（n）为次序统计为次序统计量量 2.中位数、分位数、四分位数等都是次序统中位数、分位数、四分位数等都是次序统计量计量充分
4、统计量充分统计量1.统计量加工过程中一点信息都不损失的统统计量加工过程中一点信息都不损失的统计量通常称为计量通常称为充分统计量充分统计量【例】【例】某电子元件厂欲了解其某产品的不合格率某电子元件厂欲了解其某产品的不合格率p，质，质检员抽检了检员抽检了100个电子元件，检查结果是，除前个电子元件，检查结果是，除前3个是不个是不合格品（记为合格品（记为X1=1, X2=1, X3=1 ）,其他都是合格品（记其他都是合格品（记为为Xi0，i4，5，,100）。当企业领导问及抽检结）。当企业领导问及抽检结果时，质检员给出如下两种回答：果时，质检员给出如下两种回答：（1）抽检的）抽检的100个元件中有个
5、元件中有3个不合格（记为个不合格（记为 ）（2）抽检的）抽检的100个元件中前个元件中前3个不合格（个不合格（ X1=1, X2=1, X3=1 ）6.2 关于分布的几个概念关于分布的几个概念6.2.1 抽样分布抽样分布6.2.2 渐进分布渐进分布6.2.3 随机模拟获得的近似分布随机模拟获得的近似分布 6.2.1三种不同性质的分布三种不同性质的分布总体分布总体分布样本分布样本分布抽样分布抽样分布总体分布总体分布(population distribution)1.1.总体中各元素的观察值所形成的分布总体中各元素的观察值所形成的分布 2.2.分布通常是未知的分布通常是未知的3.3.可以假定它服
6、从某种分布可以假定它服从某种分布 总体总体总体总体样本分布样本分布(sample distribution)1.1.一个样本中各观察值的分布一个样本中各观察值的分布 2.2.也称经验分布也称经验分布 3.3.当样本容量当样本容量n n逐渐增大时，样本分布逐渐逐渐增大时，样本分布逐渐接近总体的分布接近总体的分布 样样本本抽样分布抽样分布 (sampling distribution)1.样本统计量的概率分布，样本统计量的概率分布，是一种理论分布是一种理论分布在重复选取容量为在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可的样本时，由该统计量的所有可能取值形成的相对频数分布能取值形成的相对频数分布
7、2.样本统计量样本统计量是随机变量是随机变量样本均值样本均值, 样本比例，样本方差等样本比例，样本方差等3.结果来自结果来自容量相同容量相同的的所有所有可能样本可能样本4.提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据依据 抽样分布的形成过程抽样分布的形成过程 (sampling distribution)总体总体计算样本统计计算样本统计计算样本统计计算样本统计计算样本统计计算样本统计量量量量量量如：样本均值、如：样本均值、如：样本均值、比例、方差比例、方差比例、方差样样本本6
8、.2.2渐近分布渐近分布1.样本统计量的极限分布常称为样本统计量的极限分布常称为渐近分布渐近分布6.2.3随机模拟获得的近似分布随机模拟获得的近似分布1.利用计算机应用随机模拟方法获得统计量利用计算机应用随机模拟方法获得统计量的近似分布的近似分布6.3 由正态分布导出的几个重要分布由正态分布导出的几个重要分布6.3.1 2分布分布6.3.2 t 分布分布6.3.3 F 分布分布 2 分布分布1.由由阿阿贝贝(Abbe) 于于1863年年首首先先给给出出，后后来来由由海海尔尔墨墨特特(Hermert)和和卡卡皮皮尔尔逊逊(KPearson) 分分别别于于1875年年和和1900年推导出来年推导出
9、来2.设设 ，则，则3.令令 ，则，则 Y 服从自由度为服从自由度为1的的 2分布，即分布，即4.当总体当总体 ，从中抽取容量为，从中抽取容量为n的样本，则的样本，则 2分布分布( 2 distribution)1.分布的变量值始终为正分布的变量值始终为正 2.分分布布的的形形状状取取决决于于其其自自由由度度n的的大大小小，通通常常为为不不对对称称的的正正偏偏分分布布，但但随随着着自自由由度度的的增增大大逐逐渐渐趋趋于对称于对称 3.期期望望为为：E( 2)=n，方方差差为为：D( 2)=2n(n为为自自由度由度) 4.可可加加性性：若若U和和V为为两两个个独独立立的的 2分分布布随随机机变变
10、量量，U 2(n1)，V 2(n2),则则U+V这这一一随随机机变变量量服服从自由度为从自由度为n1+n2的的 2分布分布 2分布分布(性质和特点性质和特点)c c2分布分布(图示图示)不同容量样本的抽样分布不同容量样本的抽样分布不同容量样本的抽样分布不同容量样本的抽样分布 2 2 2 22 2n n=1=1n n=4=4n n=10=10n n=20=20t 分布分布t分布分布 t-分布分布是由是由W.S.Gosset(1876-1937)于于1908年在一篇署名为年在一篇署名为“student”的论文的论文中首次提出，因此又称为中首次提出，因此又称为“学生氏学生氏”分布分布。 设随机变量设
11、随机变量X N(0,1), Y ，且，且X和和Y相互独立，则随机变量相互独立，则随机变量 的分布称的分布称为为自由度自由度为为n的的t-分布，并记为分布，并记为T t(n)t分布分布t -分布分布 是一概率分布簇。是一概率分布簇。某一特定的某一特定的 t 分布依赖于参数分布依赖于参数n,称之为自称之为自由度。由度。随着自由度的增加，随着自由度的增加，t-分布与正态分布之间分布与正态分布之间的差距将会不断减小的差距将会不断减小(n30)。随着自由度的增加，随着自由度的增加，t-分布的离散程度也将分布的离散程度也将减小。减小。t-分布的均值为分布的均值为0，方差为，方差为t分布分布 x x xt
12、t 分布与标准正态分布的比较分布与标准正态分布的比较t t 分布分布标准正态分布标准正态分布t t不同自由度的不同自由度的t t分布分布标准正态分布标准正态分布t t ( (dfdf = 13) = 13)t t ( (dfdf = 5) = 5)z zt分布表的使用分布表的使用 【例例】某银行向审计部门报告，其向企业发放的短期贷某银行向审计部门报告，其向企业发放的短期贷款中，未偿还的贷款额近似服从正态分布，平均值为款中，未偿还的贷款额近似服从正态分布，平均值为8.58.5万元，标准差未知。现审计人员为了验证这个报告万元，标准差未知。现审计人员为了验证这个报告结果，随机抽取了结果，随机抽取了2
13、525个项目进行检查，查得平均拖欠贷个项目进行检查，查得平均拖欠贷款额为款额为7.67.6万元，标准差为万元，标准差为1.61.6万元。审计人员所关心的万元。审计人员所关心的问题是，如果总体均值为问题是，如果总体均值为8.58.5万元，那么能抽到的样本万元，那么能抽到的样本其平均值不超过其平均值不超过7.67.6万元的概率有多大？万元的概率有多大？例题分析例题分析解解：由于总体标准差未知：由于总体标准差未知 ，所以采用，所以采用t分布分布其中，其中，n=25,自由度自由度n-1=24F 分布分布1.由由统统计计学学家家费费希希尔尔(R.A.Fisher) 提提出出的的，以以其其姓姓氏的第一个字
14、母来命名氏的第一个字母来命名2.设设若若U为为服服从从自自由由度度为为n1的的 2分分布布，即即U 2(n1)，V为为服服从从自自由由度度为为n2的的 2分分布布，即即V 2(n2),且且U和和V相互独立，则相互独立，则 称称F为服从自由度为服从自由度n1和和n2的的F分布，记为分布，记为F分布分布(F distribution)F分布分布(F distribution) 不同自由度的不同自由度的F分布分布F F F（1,10)1,10)(5,10)(5,10)(10,10)(10,10)6.4 样本均值的分布与中心极限定理样本均值的分布与中心极限定理一个总体参数推断时样本一个总体参数推断时样
15、本统计量的抽样分布统计量的抽样分布样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布1.在重复选取容量为在重复选取容量为n的样本时，由样本均的样本时，由样本均值的所有可能取值形成的相对频数分布值的所有可能取值形成的相对频数分布2.一种理论概率分布一种理论概率分布3.推断总体均值推断总体均值 的理论基础的理论基础样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布(例题分析例题分析)【例例例例】设设设设一一一一个个个个总总总总体体体体，含含含含有有有有4 4个个个个元元元元素素素素( (个个个个体体体体) ) ，即即即即总总总总体体体体单单单单位位位位数数数数N=N=4 4。4 4 个个个个个个个个体体体体分分分分别别别别为
16、为为为x x1 1=1=1，x x2 2=2=2，x x3 3=3=3，x x4 4=4=4 。总总总总体的均值、方差及分布如下体的均值、方差及分布如下体的均值、方差及分布如下体的均值、方差及分布如下总体分布总体分布总体分布总体分布1 14 42 23 30 0.1.1. .2 2.3.3均值和方差均值和方差均值和方差均值和方差样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布 (例题分析例题分析) 计计算算出出各各样样本本的的均均值值，如如下下表表。并并给给出出样样本本均均值的抽样分布值的抽样分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.0
17、1第二个观察值第二个观察值第一个第一个观察值观察值16个样本的均值（个样本的均值（x）x x样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布1.01.00 00.10.10.20.20.30.3P P ( ( x x ) )1.51.53.03.04.04.03.53.52.02.02.52.5样本均值的分布与总体分布的比较样本均值的分布与总体分布的比较 (例题分析例题分析) = 2.5 2 =1.25总体分布总体分布总体分布总体分布1 14 42 23 30 0.1.1.2.2.3.3抽样分布抽样分布抽样分布抽样分布P P ( ( x x ) )1.01.00 0.1
18、.1.2.2.3.31.51.53.03.04.04.03.53.52.02.02.52.5x x样本来自正态分布样本来自正态分布【正态分布再生定理】：设【正态分布再生定理】：设 为一组为一组随机变量，若它们相互独立，而且都服从正态分布随机变量，若它们相互独立，而且都服从正态分布 ；则服从正态分布；则服从正态分布 。已知时，样本均值的抽样分布已知时，样本均值的抽样分布【正态分布再生定理正态分布再生定理】：如果容量为如果容量为n的随机样本抽自的随机样本抽自平均数为平均数为u方差为方差为 的正态分布总体，则样本平均的正态分布总体，则样本平均数数 也服从也服从正态正态分布，该分布的期望值为分布，该分
19、布的期望值为 ，方差为方差为 。 当当N远远大于远远大于n时，即时，即时，也可将不退还抽样看作退还抽样时，也可将不退还抽样看作退还抽样。其中其中已知时，样本均值的抽样分布已知时，样本均值的抽样分布样本来自非正态总体样本来自非正态总体【中心极限定理】设【中心极限定理】设 为一组随机变为一组随机变量，若它们相互量，若它们相互独立，而且具有相同分布；期望独立，而且具有相同分布；期望, ,方差方差 ；则服从；则服从正态正态分布分布 。 【注】对任意分布形态的平均数为对任意分布形态的平均数为u，方差为，方差为 的总体进行随机抽样，只要样本容量足够大的总体进行随机抽样，只要样本容量足够大（ n3030）则
20、样本平均数抽样分布逼近期望值）则样本平均数抽样分布逼近期望值 为为 ，方差为，方差为 的的正态正态分布分布样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布其中通常把通常把n3030作为作为“n很大很大”的标准。样本容量的标准。样本容量n3030称为称为大样本大样本，否则称为，否则称为小样本小样本。中心极限定理中心极限定理 x x 的的的的分分分分布布布布趋趋趋趋于于于于正正正正态态态态分分分分布布布布的过程的过程的过程的过程样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布（例题分析）（例题分析）（例题分析）（例题分析）【例】【例】某类钢制产品的重量，经过多次衡量，取得某类钢制产品的
21、重量，经过多次衡量，取得有差异的一系列数据，这些数据近似的服从正态有差异的一系列数据，这些数据近似的服从正态分布，设平均值为分布，设平均值为2800公斤，方差为公斤，方差为9000公斤。公斤。现假定从该总体中抽出容量为现假定从该总体中抽出容量为10的随机样本。问的随机样本。问这个样本的平均重量小于或等于这个样本的平均重量小于或等于2750公斤的概率公斤的概率为多大？为多大？样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布（例题分析）（例题分析）【解】【解】【解】【解】：样本来自于标准差已知的正态分布总体，：样本来自于标准差已知的正态分布总体，：样本来自于标准差已知的正态分布总体，：样本来自于标准差已知的正
22、态分布总体，故抽样分布为正态分布。其中故抽样分布为正态分布。其中故抽样分布为正态分布。其中故抽样分布为正态分布。其中样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布（例题分析）（例题分析）【例】【例】从海外从海外A地区、地区、B地区、和地区、和C地区到货了地区到货了3批大批大豆，分别为豆，分别为1000包、包、10000包和包和100000包，已知包，已知3批大豆中平均每包重量都为批大豆中平均每包重量都为100公斤公斤,标准差都是标准差都是4公斤。现从每批中都按公斤。现从每批中都按不重复不重复抽样抽取样本容量抽样抽取样本容量n=500包的样本，来测定这包的样本，来测定这3批大豆的每包平均重批大豆的每包平均
23、重量，要求分别标出样本平均重量短秤半公斤的概量，要求分别标出样本平均重量短秤半公斤的概率率。样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布（例题分析）（例题分析）解：解：从从A A地区大豆抽样的地区大豆抽样的从从B B地区大豆抽样的地区大豆抽样的样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布（例题分析）（例题分析）从从C C地区大豆抽样的地区大豆抽样的如果不作总体修正，则如果不作总体修正，则样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布（例题分析）（例题分析）A A地区地区B B地区地区C C地区地区抽样分布与总体分布的关系抽样分布与总体分布的关系总体分布总体分布总体分布总体分布正态分布正态分布非正态分布非正态分布大样本大
24、样本大样本大样本小样本小样本小样本小样本正态分布正态分布正态分布正态分布非正态分布非正态分布未知时，样本均值的抽样分布未知时，样本均值的抽样分布 总体是正态总体或非正态总总体是正态总体或非正态总体但样本量很大体但样本量很大 未知，总体是正态总体未知，总体是正态总体未知，总体非正态总体且样未知，总体非正态总体且样本量很大本量很大未知，总体非正态总体且样未知，总体非正态总体且样本量很小本量很小分布未知分布未知6.5 样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布比例比例(proportion)1.总体总体(或样本或样本)中具有某种属性的单位与全中具有某种属性的单位与全部单位总数之比部单位总数之比不同性别的人
25、与全部人数之比不同性别的人与全部人数之比合格品合格品(或不合格品或不合格品) 与全部产品总数之比与全部产品总数之比2.总体比例可表示为总体比例可表示为3.样本比例可表示为样本比例可表示为样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布1.样本比例的数学期望样本比例的数学期望2.样本比例的标准差样本比例的标准差重复抽样重复抽样不重复抽样不重复抽样样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布3. 当样本容量很大，即当样本容量很大，即 时，时，由中心极限定理有：由中心极限定理有：样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布（例题分析）（例题分析）【例例】假定我们已知办公室人员所填写的表格中有】假定我们已知办公室人员所填写的表格
26、中有5至少包括一处笔误。如果我们检查一个由至少包括一处笔误。如果我们检查一个由475份份表格组成的简单随机样本，其中至少含一处笔误表格组成的简单随机样本，其中至少含一处笔误的表格所占的比例在的表格所占的比例在3和和7.5%之间的概率有多之间的概率有多大？大？例题分析例题分析解解：由于：由于n较大较大较小，较小，n23.55.所以可用正态近所以可用正态近似处理，认为样本比率的抽样分布服从正态分布似处理，认为样本比率的抽样分布服从正态分布6.6 两个两个样本均值之差的抽样分布样本均值之差的抽样分布 样本统计量的抽样分布样本统计量的抽样分布 ( (两个总体参数推断时两个总体参数推断时两个总体参数推断
27、时两个总体参数推断时) )两个样本均值之差的抽样分布两个样本均值之差的抽样分布两个样本比例之差的抽样分布两个样本比例之差的抽样分布 两个样本方差比的抽样分布两个样本方差比的抽样分布两个样本均值之差的抽样分布两个样本均值之差的抽样分布1.两个两个独立独立总体都为正态分布，即总体都为正态分布，即 ， 2.两两个个样样本本均均值值之之差差 的的抽抽样样分分布布服服从从正正态态分分布，其分布的数学期望为两个总体均值之差布，其分布的数学期望为两个总体均值之差3.方差为各自的方差之和方差为各自的方差之和 两个样本均值之差的抽样分布两个样本均值之差的抽样分布 1 1s s s s 1 1总体总体1s s s
28、 s 2 2 2 2总体总体2抽取简单随机样抽取简单随机样样本容量样本容量 n1计算计算x1抽取简单随机样抽取简单随机样样本容量样本容量 n2计算计算x2计算每一对样本计算每一对样本的的x1-x2所有可能样本所有可能样本的的x1-x2 1 1 - 2 2抽样分布抽样分布抽样分布抽样分布两个样本均值之差的抽样分布两个样本均值之差的抽样分布（例题分析）（例题分析）【例例】一个市场分析人员研究顾客在甲乙】一个市场分析人员研究顾客在甲乙2个不同类个不同类型的食品杂货店中所花费的时间，他在每个商店型的食品杂货店中所花费的时间，他在每个商店中各观察了一个由中各观察了一个由75人组成的样本，发现商店甲人组成
29、的样本，发现商店甲的顾客所花费的平均时间为的顾客所花费的平均时间为55分钟，商店乙的顾分钟，商店乙的顾客所花的平均时间为客所花的平均时间为49分钟。假定甲乙分钟。假定甲乙2个商店的个商店的顾客所花费平均时间的真值无差别，且标准差对顾客所花费平均时间的真值无差别，且标准差对每个总体来说都是每个总体来说都是15分钟，问观察到样本差大于分钟，问观察到样本差大于或等于或等于6分钟的概率有多大？分钟的概率有多大？两个样本均值之差的抽样分布两个样本均值之差的抽样分布（例题分析）（例题分析）解解：两样本是相互独立，都服从正态分布。或总体：两样本是相互独立，都服从正态分布。或总体不是正态总体，单位大样本。故均
30、值差的分布为正不是正态总体，单位大样本。故均值差的分布为正态分布，且均值为态分布，且均值为 ，方差为，方差为两个样本比例之差的抽样分布两个样本比例之差的抽样分布1.两个总体都服从二项分布两个总体都服从二项分布2.分分别别从从两两个个总总体体中中抽抽取取容容量量为为n1和和n2的的独独立立样样本本，当当两两个个样样本本都都为为大大样样本本时时，两两个个样样本本比比例例之之差差的的抽抽样分布可用正态分布来近似样分布可用正态分布来近似3.分布的数学期望为分布的数学期望为4.方差为各自的方差之和方差为各自的方差之和 两个样本比例之差的抽样分布两个样本比例之差的抽样分布（例题分析）（例题分析）【例】【例
31、】一项抽样调查表明甲城市的消费者中有一项抽样调查表明甲城市的消费者中有15的的人喝过商标为人喝过商标为“圣洁圣洁”牌的矿泉水，而乙城市的消费牌的矿泉水，而乙城市的消费者中只有者中只有8的人喝过该种矿泉水。如果这些数据是的人喝过该种矿泉水。如果这些数据是真实的，样本那么当我们分别从甲城市抽取真实的，样本那么当我们分别从甲城市抽取120人，人，乙城市抽取乙城市抽取140人组成两个独立随机时，样本比例差人组成两个独立随机时，样本比例差不低于不低于0.08的概率有多大？的概率有多大？两个样本比例之差的抽样分布两个样本比例之差的抽样分布（例题分析）（例题分析）6.7 关于关于样本方差的分布样本方差的分布
32、6.7.1 样本方差的分布样本方差的分布 6.7.2 两个样本方差比的分布两个样本方差比的分布样本方差的分布样本方差的分布1.在在重重复复选选取取容容量量为为n的的样样本本时时，由由样样本本方方差差的的所有可能取值形成的相对频数分布所有可能取值形成的相对频数分布2.对于来自正态总体的简单随机样本，则比值对于来自正态总体的简单随机样本，则比值 的的抽抽样样分分布布服服从从自自由由度度为为 (n -1) 的的 2分分布布，即即两个样本方差比的分布两个样本方差比的分布1.两两两两个个个个总总总总体体体体都都都都为为为为正正正正态态态态分分分分布布布布，即即即即X X1 1 N N( ( 1 1 , , 1 12 2) )，X X2 2 N N( ( 2 2 , , 2 22 2 ) )2.从两从两从两从两个总体中分别抽取容量为个总体中分别抽取容量为个总体中分别抽取容量为个总体中分别抽取容量为n n1 1和和和和n n2 2的独立样本的独立样本的独立样本的独立样本3.两两两两个个个个样样样样本本本本方方方方差差差差比比比比的的的的抽抽抽抽样样样样分分分分布布布布，服服服服从从从从分分分分子子子子自自自自由由由由度度度度为为为为( (n n1 1-1)-1)，分母自由度为分母自由度为分母自由度为分母自由度为( (n n2 2-1) -1) 的的的的F F分布，即分布，即分布，即分布，即
