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1、二、函数二、函数(hnsh)(hnsh)连续性的概念连续性的概念对 y = f (x) ，左图：在点 曲线“连着”右图：在点 曲线“断开”。第1页/共22页第一页，共23页。定义(dngy)1在的某邻域(ln y)内有定义 , 设函数(hnsh)则称函数 在点 连续，否则称为间断。说明:1. 连续本质当自变量 x 的变化很小时, f (x) 的变 化也很小.2. 连续几何意义 曲线 yf (x) 在 点连在一起。如果第2页/共22页第二页，共23页。机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 由上述等价定义可知 , 在点连续的条件为:存在(2)存在定义(dngy)2（连续的等价定义
2、(dngy)）:如果 ，则称 在点 连续.连续 (3)与相等。 第3页/共22页第三页，共23页。例1. 讨论(toln)函数。连续：都存在且相等都存在且相等或：在x=0处的连续性解f (0)=a ,(1)当f (x)在x=0处连续(linx).(2)当f (x)在x=0处不连续(linx).第4页/共22页第四页，共23页。例2求a、b 的值, 使 在 x0 连续(linx)。连续：都存在且相等都存在且相等或：解依题意(t y)第5页/共22页第五页，共23页。 ，则称 在点 左连续机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 若 f ( x ) 在( a , b )内每一点(y din)
3、都连续 ,则称 f ( x )在该区间上连续(linx)，把( a , b )称为f ( x ) 的连续(linx)区间.连续，在 xb 处左连续，则称 f ( x )在闭区间定义3（左、右连续的定义）:如果 ，则称 在点 右连续显然：连续左连续且右连续定义4定义5若 f ( x ) 在( a , b )内连续 , 且f ( x )在 xa 处右 a , b 上连续。第6页/共22页第六页，共23页。例例3.证明证明(zhngmng)函数函数在内连续(linx). (不记)证: 即 ，所以(suy)在内连续。连续 第7页/共22页第七页，共23页。定理(dngl)2. 连续单调递增 函数的反函
4、数三、连续函数的运算三、连续函数的运算(ynsun)法则法则定理(dngl)1. 连续函数的有限次和 , 差 , 积 ,商(分母不为 0)仍是连续函数 .(递减).递增(递减)也连续单调机动 目录 上页 下页 返回 结束 在上连续 单调 递增,其反函数在上也连续单调递增.例如：在其定义域内连续例如,第8页/共22页第八页，共23页。机动 目录(ml) (ml) 上页 下页 返回 结束 定理3. 连续函数(hnsh)的复合函数(hnsh)是连续的。例如(lr),是由连续函数因此在上连续 .复合而成 ,第9页/共22页第九页，共23页。定理(dngl)4例4. 求一切初等函数(hnsh)在其定义区
5、间内都是连续的解原极限(jxin)=例5. 求解原式第10页/共22页第十页，共23页。机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 四、函数连续(linx)区间的求法1. 1. 对初等函数，连续区间(q jin)(q jin)就是定义区间(q jin).(q jin).2. 2. 对分段函数，分段点是否连续需单独讨论，但其它点处一定连续。例6. 求的连续区间.解：f(x)的连续区间为第11页/共22页第十一页，共23页。例例7.讨讨论论(toln)机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) (fnhu) 结束 的连续性 .1. 1. 对初等函数，连续区间就是定义区间2. 2. 对分段函数，分
6、段点是否连续需单独讨论解：第12页/共22页第十二页，共23页。例例7.讨讨论论(toln)机动(jdng) (jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 的连续性 .1. 1. 对初等函数，连续区间就是定义区间2. 2. 对分段函数，分段点是否连续需单独讨论 f(x)在x=0处不连续(linx)，从而f(x)在上连续.不存在第13页/共22页第十三页，共23页。例例8.讨论(toln)函数的连续性.1. 1. 对初等函数，连续区间就是定义区间2. 2. 对分段函数，分段点是否连续需单独讨论关键(gunjin)：先求出极限(jxin)。解：当时当时当时当时当时当时第14页/共22页第十四页，共2
7、3页。五、间断五、间断(jindun)(jindun)点及其分类点及其分类机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 设为f (x)的间断点 .第一类间断(jindun)点:、均存在 ,若称若称第二类间断点:、中至少一个不存在 ,称若其中有一个振荡 ,称若其中有一个为为可去间断点 .为跳跃间断点 .为无穷间断点 .为振荡间断点 。第15页/共22页第十五页，共23页。为第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有 一个不存在例9 判断下列间断(jindun)点的类型 间断(jindun)点 .可去第16页/共22页第十六页，共23页。(2)
8、 为其跳跃(tioyu)间断点 .第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有 一个不存在第17页/共22页第十七页，共23页。为其无穷(wqing)间断点 .为其振荡(zhndng)间断点 .机动 目录(ml) (ml) 上页 下页 返回 结束 第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有 一个不存在第18页/共22页第十八页，共23页。例例10确定确定(qudng)函数函数间断间断(jindun)点点的类型的类型.解: 间断(jindun)点为无穷间断点;故为跳跃间断点。左右极限至少一个不存
9、在第一类:左右极限都存在 第二类:第19页/共22页第十九页，共23页。习题习题(xt)，P501（1）（3）2（1）（3）4;56（2）（3）（5）第20页/共22页第二十页，共23页。显然(xinrn)是 f (x)的(2)第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有 一个不存在间断(jindun)点 .可去第21页/共22页第二十一页，共23页。感谢您的欣赏(xnshng)！第22页/共22页第二十二页，共23页。内容(nirng)总结二、函数(hnsh)连续性的概念。第1页/共22页。定义2（连续的等价定义）:。f (0)=a ,。f (x)在x=0处连续.。f (x)在x=0处不连续.。求a、b 的值, 使。定义3（左、右连续的定义）:。左连续且右连续。内连续. (不记)。1. 对初等函数(hnsh)，连续区间就是定义区间.。2. 对分段函数(hnsh)，分段点是否连续需单独讨论，。1. 对初等函数(hnsh)，连续区间就是定义区间。2. 对分段函数(hnsh)，分段点是否连续需单独讨论。第21页/共22页第二十三页，共23页。
