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1、5.1 5.1 特征值与特征向量的概念与计算特征值与特征向量的概念与计算 5.1.1. 特征值与特征向量的定义特征值与特征向量的定义 5.1.2. 特征子空间特征子空间 5.1.3. 特征值与特征向量的计算特征值与特征向量的计算5.1.1 5.1.1 特征值与特征向量的定义特征值与特征向量的定义定义定义设设 A 是是 n 阶阶方阵方阵， 是是方阵方阵A的一个的一个特征值，特征值， 为方阵为方阵A的对应于特征值的对应于特征值 的一个的一个特征向量特征向量.若存在数若存在数 和和 n 维维非零非零列向量列向量 ，使得，使得成立，则称成立，则称例例 设设 A2 = A , 证明：证明：A 的特征值为
2、的特征值为 0 或或 1 .证证例例 5.1.2 5.1.2 特征子空间特征子空间5.1.3 5.1.3 特征值与特征向量的计算特征值与特征向量的计算特征向量是齐次线性方程组特征向量是齐次线性方程组 (I - A) X = 0 的解的解因此，因此，(I - A) X = 0 的解空间就是的解空间就是A 的的特征子空间特征子空间是是关于关于 的一个多项式，称为矩阵的一个多项式，称为矩阵A的的特征多项式特征多项式,称为矩阵称为矩阵A的的特征方程特征方程,定义定义特征方程特征方程记为记为 f ()，例例 特征值特征值的重数称为的重数称为的的代数重数代数重数；特征值特征值所对应的齐次线性方程组所对应的
3、齐次线性方程组(I - A) X = 0的基础解系所含解向量的个数称为的基础解系所含解向量的个数称为的的几何重数几何重数，即即特征值所对应线性无关特征向量的个数特征值所对应线性无关特征向量的个数.定义定义解解第一步：写出矩阵第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值的特征方程，求出特征值. .例例 求矩阵求矩阵的特征值和全部特征向量的特征值和全部特征向量.特征值为特征值为第二步：对每个特征值第二步：对每个特征值代入齐次线性方程组代入齐次线性方程组求求非零解非零解. .齐次线性方程组为齐次线性方程组为当当 时时，系数矩阵系数矩阵自由未知量自由未知量令令 得基础解系得基础解系常数常数) )是对应于是
4、对应于的的全部特征向量全部特征向量.齐次线性方程组为齐次线性方程组为常数常数)是对应于是对应于的的全部特征向量全部特征向量.得基础解系得基础解系解解例例系数矩阵系数矩阵重要结论：重要结论：1. 特征值的代数重数特征值的代数重数大于等于大于等于它的几何重数它的几何重数. (知道结论即可知道结论即可)2. 对角对角矩阵及矩阵及三角三角矩阵的特征值为其主对角元矩阵的特征值为其主对角元. 求求数量矩阵数量矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量.解解因此，因此，所有所有n维非零向量维非零向量都是此数量矩阵的都是此数量矩阵的特征向量，即特征向量可表示为特征向量，即特征向量可表示为例例例例 设矩阵设矩阵 A 可逆可逆, 且且 解解例例 设设 为矩阵为矩阵 的特征值的特征值, 求求 的特征值的特征值；若若 可逆，求可逆，求 的特征值的特征值.解解 例例 解解解解 例例 定理定理 设设n阶方阵阶方阵 的的n个特征值为个特征值为 则则称为矩阵称为矩阵A的的迹迹.（主对角元素之和）（主对角元素之和）注注 A可逆的条件可逆的条件.证明证明设设A为为3阶方阵阶方阵, A的特征值分别为的特征值分别为 -1、4、2, 求求例例 解解
