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1、精 品 数 学 课 件北 师 大 版4.2二次函数的性质二次函数的性质1.yax2(a0)的图象二次函数yax2(a0)的图象可由yx2的图象各点的纵坐标变为原来的 倍得到，其中a决定了图象的 和在同一直角坐标系中的 .2.ya(xh)2k(a0)的图象一般地，二次函数ya(xh)2k(a0)，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的 平移，而且“h正 移，h负 移”；k决定了二次函数图象的 平移，而且“k正 移，k负 移”.a开口方向开口方向开口大小开口大小左右左右左左右右上下上下上上下下二次函数yax2bxc(a0)的性质函数函数二次函数二次函数yax2bxc(a，b，
2、c是常是常数，数，a0)图象象a0a0性性质(1)抛物抛物线开口向上，并向上无开口向上，并向上无限延伸限延伸(1)抛物抛物线开口向下，并向下开口向下，并向下无限延伸无限延伸(2)对称称轴是是 ，顶点坐点坐标是是(2)对称称轴是是 ，顶点坐点坐标是是(3)在区在区间 上是减函上是减函数，在区数，在区间 上是增上是增函数函数(3)在区在区间 上是增上是增函数，在区函数，在区间 上上是减函数是减函数(4)抛物抛物线有最低点，有最低点，当当 时，y有最小有最小值，ymin(4)抛物抛物线有最高点，有最高点，当当 时，y有最大有最大值，ymax二次函数在其对称轴的两侧单调性一定相反吗？【提示】yax2b
3、xc(a0)，在其对称轴两侧的单调性一定相反，可以借助于二次函数的图象进行说明.二次函数图象的对称性二次函数图象的对称性 已知函数f(x)2x23x1，(1)求这个函数图象的顶点坐标和对称轴；(2)求这个函数的最小值；(3)不直接计算函数值，试比较f(1)和f(1)的大小.【思路点拨】首先把f(x)配方得顶点式，从而得出(1)(2)的结果.要比较f(1)和f(1)的大小，只比较1和1与对称轴哪一个最近. 讨论二次函数的性质一定要结合二次函数的图象，为了方便，通常画草图，有时可以省去y轴，利用单调性比较两个数值的大小，关键是利用对称性将它们转化到同一单调区间上，这里体现了数形结合及化归等重要思想
4、方法.二次函数的值域（最值）二次函数的值域（最值） 求f(x)x22ax1在区间0,2上的最大值和最小值.【思路点拨】二次函数的对称轴xa变化，导致函数最值变化.当a0时，由图可知，f(x)minf(0)1，f(x)maxf(2)34a.当0a1时，由图可知，f(x)minf(a)1a2，f(x)maxf(2)34a.当1a2时，由图可知，f(x)minf(a)1a2，f(x)maxf(0)1.当a2时，由图可知，f(x)minf(2)34a，f(x)maxf(0)1.【解析】f(x)(xa)21a2，对称轴为xa. (1)求函数在某区间上的最值，一般应先判定函数在该区间的单调性.(2)求二次
5、函数的最值时，应判断它的开口方向、对称轴与区间的关系，若含有字母，要根据对称轴和区间的关系对字母进行讨论，解题时要注意数形结合. 2.已知二次函数f(x)x22x3，(1)当x2,0时，求f(x)的最值；(2)当x2,3)时，求f(x)的最值；(3)当xt，t1时，求f(x)的最小值g(t).【解析】f(x)x22x3(x1)22，其对称轴为x1，开口向上.(1)当x2,0时，f(x)在2,0上是单调递减的，故当x2时，f(x)有最大值f(2)11；当x0时，f(x)有最小值f(0)3.(2)当x2,3)时，f(x)在2,3)上是先减后增的，故当x1时，f(x)有最小值f(1)2，又|21|3
6、1|，f(x)的最大值为f(2)11.二次函数的单调性及应用二次函数的单调性及应用 (1)若f(x)x22ax在(，2)上是增函数，求实数a的取值范围.(2)已知函数f(x)x22ax的增区间为(，2)，求实数a的值.【思路点拨】解答本题应对(1)(2)两问中的题设条件进行分析，(1)中区间(，2)应为f(x)增区间的子区间；(2)中(，2)中的“2”是增减的分界点，即x2是对称轴.【解析】f(x)(xa)2a2，其函数图象开口向下，对称轴为xa.(1)f(x)的增区间为(，a，由题意(，a(，2)，a2.(2)由题意，f(x)的对称轴为xa2，即a2. 二次函数的对称轴是其单调区间的分界线，
7、解答此类问题的关键在于借助于函数的对称轴，通过集合间的关系来建立变量间的关系，得出参数的取值范围. 3.若f(x)x22ax，在区间0,1上是增函数，在区间2,3上是减函数，求实数a的取值范围.【解析】f(x)x22ax(xa)2a2，f(x)的单调增区间为(，a，单调减区间为a，).又f(x)在0,1上是增函数，在2,3上是减函数.0,1(，a且2,3a，)，1a2.a、b、c的代数的代数式式作用作用说明明a1.决定抛物决定抛物线的的开口方向与开开口方向与开口大小口大小2决定决定单调性性a0开口向上，开口向上，a越小，开口越小，开口越大越大在上在上递减，在上减，在上递增增a0开口向下，开口向
8、下，|a|越小，开口越小，开口越大越大在上在上递增，在上增，在上递减减b决定函数的奇决定函数的奇偶性偶性b0偶函数偶函数b0既不是奇函数也不是偶函既不是奇函数也不是偶函数数c决定抛物决定抛物线与与y轴交点的位置，交点的位置，交点坐交点坐标为(0，c)c0c0c0交点在交点在x轴上方上方抛物抛物线过原点原点交点在交点在x轴下方下方1.抛物线y2x2不具有的性质是 ()A.开口向下B.对称轴是y轴C.与y轴不相交 D.最高点是原点【答案】C2.已知函数f(x)x2mxn满足f(1)f(1)0，则f(0) ()A.1 B.0C.1 D.2【答案】C3.抛物线yx2(a2)x1的顶点在y轴上，则a.【答案】2
