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1、6.3 几种常用的迭代法华长生制作1数值分析几种常用的迭代法 记记 ，A非奇异，且对角元非奇异，且对角元 ，可以把，可以把 A 分解为分解为 其中其中雅可比迭代法华长生制作2数值分析几种常用的迭代法方程组方程组Ax=b等价于等价于由此构造迭代公式：由此构造迭代公式：其中迭代距阵其中迭代距阵 和向量和向量 为为 称之为称之为Jacobi 迭代法迭代法（简称（简称 J 法）法），称，称 为雅可比迭代矩阵。为雅可比迭代矩阵。华长生制作3数值分析几种常用的迭代法雅可比法的分量形式为由前面的定理知雅可比迭代关于任意初始向量收敛的充要条件为 ，充分条件为 利用这些判别 J 法的收敛性，有时不太方便，对于大
2、型方程组，要求出迭代矩阵谱半径 是不容易的。下面给出一些容易验证收敛性的充分条件，先讨论对角占优矩阵的性质。 华长生制作4数值分析几种常用的迭代法定义定义 1 若若 满足满足则称则称 A 为为严格对角占优矩阵严格对角占优矩阵。若满足。若满足且其中至少有一个严格不等式成立，则称且其中至少有一个严格不等式成立，则称 A 为为弱对角占优矩阵弱对角占优矩阵。华长生制作5数值分析几种常用的迭代法定义定义2 设设 ，若，若A不能经过行置换与相应的列置换不能经过行置换与相应的列置换 化为化为其中其中 和和 均为方阵，则称均为方阵，则称 A 为为不可约的，不可约的，否则称否则称 A 为为可约的可约的。 定理定
3、理 若若A为严格对角占优矩阵，或不可约的弱对角占优矩阵，则解为严格对角占优矩阵，或不可约的弱对角占优矩阵，则解 方程组方程组 的的 J 法关于任意初始向量收敛。法关于任意初始向量收敛。 设设 ，这里只给出，这里只给出A为严格对角占优阵时的证明。为严格对角占优阵时的证明。 对对 J法，迭代矩阵法，迭代矩阵 ，易得，易得。由由A的严格对角占优性，得到的严格对角占优性，得到 ，所以，所以 J 法收敛。法收敛。 证证华长生制作6数值分析几种常用的迭代法与雅可比法相应的高斯-赛德尔迭代法 在在J 法中，计算法中，计算 时，分量时，分量 已经算出，所以可考虑已经算出，所以可考虑在在J法中的求和分成两部分，
4、从而得到与雅可比迭代法相应法中的求和分成两部分，从而得到与雅可比迭代法相应的高斯的高斯-赛德尔迭代法为赛德尔迭代法为这就是这就是Gauss-Seidel 迭代法迭代法，简称，简称 GS 法。法。华长生制作7数值分析几种常用的迭代法 将上式写成距阵形式将上式写成距阵形式整理为简单迭代的形式整理为简单迭代的形式其中迭代矩阵其中迭代矩阵 和向量和向量 为为 Jacobi 迭代法和迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法的分量形式供计算编程用，它们迭代法的分量形式供计算编程用，它们的矩阵形式供研究迭代序列是否收敛等理论分析用。的矩阵形式供研究迭代序列是否收敛等理论分析用。华长生制作8数值分析几种常用
5、的迭代法例用法和法分别求解方程组例用法和法分别求解方程组 。解解 用用 J 法计有法计有华长生制作9数值分析几种常用的迭代法用用 GS 法计算有法计算有 取取 ，J 法迭代法迭代4次的计算结果是次的计算结果是GS 法迭代法迭代4次的计算结果是次的计算结果是精确解为（精确解为（1，1，1），从计算结果看，本例用），从计算结果看，本例用 GS 法显然比用法显然比用 J 法收法收敛快，但并不是任何时候敛快，但并不是任何时候GS法都比法都比J法快，甚至有法快，甚至有J法收敛而法收敛而GS法不收法不收敛的例子。敛的例子。华长生制作10数值分析几种常用的迭代法显然，高斯-赛德尔法关于任意初始向量收敛的充要
6、条件是另外与雅可比法相仿有如下结论： 定理定理 若若A为严格对角占优矩阵，或不可约的弱对为严格对角占优矩阵，或不可约的弱对角占优矩阵，则解角占优矩阵，则解 方程组方程组Ax=b 的的G S 法关于任意初始法关于任意初始向量收敛。向量收敛。 华长生制作11数值分析几种常用的迭代法例.判别下列方程组用J法和G-S法求解是否收敛解:(1) 求Jacobi法的迭代矩阵华长生制作12数值分析几种常用的迭代法因此不能用范数判断所以即Jaobi迭代法收敛(2) 求Gauss-Seidel法的迭代矩阵华长生制作13数值分析几种常用的迭代法所以Gauss-Seidel迭代法发散华长生制作14数值分析几种常用的迭
7、代法无论是解线性方程组的Jacobi迭代法和GS迭代法都涉及到收敛速度问题如何加快迭代法的速度呢？如何改善迭代法的适用范围呢？逐次超松弛（SOR）迭代法华长生制作15数值分析几种常用的迭代法考虑解线性方程组的Gauss-Seidel迭代法-(1)华长生制作16数值分析几种常用的迭代法令因此-(2)华长生制作17数值分析几种常用的迭代法上式称为逐次超松弛法(SOR迭代法),逐次超松弛法(SOR迭代法)的矩阵形式为两边乘上D，整理为简单迭代法的形式为华长生制作18数值分析几种常用的迭代法令华长生制作19数值分析几种常用的迭代法SOR法化为G-S迭代法G-S法为SOR法的特例, SOR法为G-S法的
8、加速例1.用G-S法和SOR法求下列方程组的解,要求精度1e-6,取初值（0，0，0）华长生制作20数值分析几种常用的迭代法解:(1)G-S迭代法华长生制作21数值分析几种常用的迭代法gauss_seidel.mx,k=gauss_seidel(a,b,1,1,1,1e-6) 1 1 1 0.7500000 0.3750000 1.5000000 0.5625000 0.5312500 1.5416667 0.6510417 0.5963542 1.6145833 0.7018229 0.6582031 1.6727431. 0.9999933 0.9999923 1.9999926 0.99
9、99943 0.9999935 1.9999937 0.9999952 0.9999944 1.9999946 k = 71x=0.9999950.9999941.999995满足精度的解迭代次数为71次华长生制作22数值分析几种常用的迭代法(1)SOR迭代法 1 1 1 0.6375000 0.0121875 1.3199063 0.2004270 0.3717572 1.3122805 0.6550335 0.5340119 1.6922848 0.7058468 0.7733401 1.7771932. 0.9999990 0.9999976 1.9999991 0.9999984 0.9999993 1.9999989 0.9999998 0.9999994 1.9999998 0.9999996 0.9999998 1.9999997 k = 24x=1.0000001.0000002.000000满足精度的解迭代次数为24次sor.mSOR法的收敛速度比G-S法要快得多华长生制作23数值分析几种常用的迭代法SOR法都收敛吗？1.SOR迭代法收敛的充要条件是对于SOR迭代法(7),有如下结论另外,松弛因子的选取是很困难的,一般采用试算进行华长生制作24数值分析几种常用的迭代法
