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1、v定积分的概念定积分的概念v定积分的性质定积分的性质 中值定理中值定理v微积分根本公式微积分根本公式v定积分的换元积分定积分的换元积分v定积分的分部积分定积分的分部积分v广义积分与广义积分与 函数函数v定积分的运用定积分的运用第五章第五章 定积分定积分第一节 定积分概念定积分概念定定 积积 分分引例：曲引例：曲边梯形的面梯形的面积设 y=f(x)在区间a,b上非负、延续。求由 曲线y=f(x)与直线x=a,x=b(ag(x)与直线x=a,x=b(ab)所围图形的面积。aby=f(x)y=g(x)xx+ dx(i)取x为积分变量，那么(ii)相应于a,b上任一小区间x,x+dx的小窄条面积近似值
2、，即面积元素(iii)所求面积(i)求交点(ii)相应于0,1上任一小区间x,x+dx的小窄条面积的近似值，即面积元素(iii)所求面积解解yxo例求由抛物线所围例求由抛物线所围图形之面积。x x+dx(i)求交点(ii)相应于-2,4上任一小区间y,y+dy的小窄条面积的近似值，即面积元素(iii)所求面积解解yxo例求由抛物线与直线例求由抛物线与直线所围图形面积。所围图形面积。yy+dy方法方法1yxo(i)取x为积分变量，那么(ii)面积元素(iii)所求面积方法方法2比比较方法方法1 1和方法和方法2 2知：适中知：适中选择积分分变量可量可以以简化化计算算过程。程。(i)两切线交点为(
3、ii)面积元素(iii)所求面积解解yxo练习求由抛物线及其在点练习求由抛物线及其在点(0,-3)和和(3,0)处的切线所围图形面积。处的切线所围图形面积。那么点(0,-3)和(3,0)处的切线方程分别为y=4x-3 y=-2(x-3)(3/2,3)二、极坐标情形(ii)面积元素(iii)所求面积设由曲线 与射线，围成一图形,求该图形的面积。(i)取极角为积分变量，那么xo面积元素所求面积例求由阿基米得螺线上相应例求由阿基米得螺线上相应于的一段弧与极轴所围图形面。于的一段弧与极轴所围图形面。解解xo设曲线弧由参数方程给出，求由这曲线弧所围图形的面积。(i)取 t 为积分变量，那么(iii) 所
4、求面积(ii) 面积元素三、 参数方程情形椭圆参数方程为面积元素所求面积例求由椭圆所围图形面。例求由椭圆所围图形面。解解xyo-aa-bb练习练习1 .求由曲线求由曲线 所围图所围图形面积。形面积。 2.求由曲线求由曲线 及及 所围所围图形的公共部分的面积图形的公共部分的面积xyoaa-a-axS1S2答案答案 1.所求面积 2.所求面积所求面积S1S2Ax体积定积分几何运用之二旋旋转体：由一平面体：由一平面图形形绕该平面内一条直平面内一条直线旋旋转一周而成的立体，称一周而成的立体，称为旋旋转体。体。一、旋转体的体积定直线旋转轴旋转体体积的计算(i)取x为积分变量，那么(ii)相应于a,b上任
5、一小区间x.x+dx的小旋转 体体积近似值，即体积元素(iii)所求体积旋转轴为x轴： 曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体体积。yabxoxx+dx例求由例求由衔接坐接坐标原点原点O及及P(h,r)的直的直线及及x=h,x轴所所围三角形三角形绕x轴所成旋所成旋转体之体体之体积。(i)取x为积分变量，那么(ii)相应于a,b上任一小区间x,x+dx的小旋转 体体积近似值，即体积元素(iii)所求体积解解OP的方程的方程为yxoP(h,r)旋转体体积的计算(i)取y为积分变量，那么(ii)相应于c,d上任一小区间y,y+dy的小旋转 体体积近似值，即体积元素(iii)所求体积旋转轴为y轴： 曲边梯
6、形绕y轴旋转一周而成的立体体积。yxocddy解解:取y为积分变量，那么相应于0,1上任一小区间y, y+dy的体积元素所求体积例求由曲线例求由曲线 和和 及及x轴轴所围图形绕所围图形绕y轴旋转所成旋转体的体积。轴旋转所成旋转体的体积。(1,1)yo1x解解:旋转轴为x轴体积元素：旋转轴为y轴例求由曲线例求由曲线 和直线所围图形和直线所围图形分别绕分别绕x轴和轴和y轴旋转而成旋转体的体积。轴旋转而成旋转体的体积。所求体积:体积元素：2yox所求体积： 如图，在距坐标原点为x处取一底边长为dx的小曲边梯形ABCD,易知它绕y轴旋转所得的旋转体体积近似值，即体积元素例例4证明：由平面图形证明：由平
7、面图形 绕绕 y轴旋转而成的旋转体的体积为轴旋转而成的旋转体的体积为于是,所求体积为：这是一个底面积为 ，高为的圆柱体的体积A BC Dxyoab证明明解解:旋转轴为 x 轴旋转轴为 y 轴练习求由曲线练习求由曲线 和直线和直线 x=1 所围所围图形分别绕图形分别绕 x 轴和轴和 y 轴旋转而成旋转体的体积。轴旋转而成旋转体的体积。所求体积：所求体积：yox1或(1,1/e)(1,e)体积元素：体积定积分几何运用之二二、平行截面面积知的立体体积假设立体不是旋转体，但立体垂直于某定轴的各截面面积知，该立体体积亦可用定积分计算。. 过点x而垂直于x轴的平面截立体得截口面积为那么立体体积为2. 过点
8、y而垂直于y轴的平面截立体得截口面积为那么立体体积为yocdyB(y)在所围立体上，作平行于坐标面 yoz 的截面KLMN，由于NM=ML，所以KLMN为正方形，其面积为例例5求求 及及 两圆柱面所围两圆柱面所围立体的体积。立体的体积。所求体积:NLMKyozx解解:所求立体体积为例例6一平面经过半径为的圆柱体的底圆中心，一平面经过半径为的圆柱体的底圆中心，并与底面成交角如图。计算这平面截圆柱体并与底面成交角如图。计算这平面截圆柱体所得立体的体积。所得立体的体积。如图建立坐标系，那么底圆的方程为截面积为xyyxR-RO立体中过点 x 且垂直于 x 轴直角的截面为直角三角形，直角边长分别 y 为
9、及ytana，解解一、平面曲线弧长的概念定理：定理：假设 且 均缩为一点时xy定积分几何运用之三平 面 曲 线 的 弧 长定定义：设A、B为曲线弧上两端点，在AB上任取分点光滑曲线弧是可求长的。的极限存在，称此极限 为曲线弧的弧长；并称该曲 线弧是可求长的。. 直角坐标情形xx+dxdy定积分xyoaby=f(x)曲线弧由方程y=f(x) 给出，其中f(x)在a,b上具有延续一阶导数，求该曲线(如图)的长度。(i) 取x为积分变量,那么(iii)所求弧长(ii)弧长元素弧微分二、光滑曲线弧长的计算设曲线弧由参数方程给出，其中、 在 上具有延续导数，求这曲线(i)取 t 为积分变量，那么(iii) 所求弧长(ii) 弧长元素 参数方程情形的长度。曲线弧由极坐标方程给出，其中在上具有延续导数，利用所求弧长极坐标情形有求该曲线弧长。解解从而弧长元素所求弧长例例1求由曲线求由曲线 相应于相应于 的一的一段弧如图的长度。段弧如图的长度。 令yox解解所求弧长例计算星形线例计算星形线 的全长。的全长。 aa-a-a弧长元素xyo解解所求弧长例计算心形线例计算心形线 的全长。的全长。 x弧长元素
