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1、第6讲离散型随机变量概率统计第二章 随机变量及其分布在这一章我们将利用函数的观点对概率进行定量在这一章我们将利用函数的观点对概率进行定量的研究，并导出一些常用的概率模型的分布。的研究，并导出一些常用的概率模型的分布。我们有时需要高数中的积分作为工具。我们有时需要高数中的积分作为工具。首选引入随机变量，然后再引入分布函数首选引入随机变量，然后再引入分布函数, ,最最后再引入常见的分布。后再引入常见的分布。为了研究更复杂的随机现象，我们需要发展我们为了研究更复杂的随机现象，我们需要发展我们研究方法。研究方法。第一节 随机变量例例1 袋中有袋中有3只黑球，只黑球，2只白球，从中任意取出只白球，从中任
2、意取出3只球，观察只球，观察取出的取出的3只球中的黑球的个数只球中的黑球的个数 在随机试验中人们关心的很大一部分问题都与数值有关，在随机试验中人们关心的很大一部分问题都与数值有关，如如n个产品中的不合格品个数个产品中的不合格品个数 : 0，1，2，n ，试验结果，试验结果本身就是一个数值；有些试验结果虽然不是数值，但是我们关本身就是一个数值；有些试验结果虽然不是数值，但是我们关心的却是一个数值。心的却是一个数值。分析分析：我们将：我们将3只黑球分别记作只黑球分别记作B1，B2，B3号，号，2只白球分别只白球分别记作记作W1,W2号，则该试验的样本空间为号，则该试验的样本空间为(n=10) 我们
3、记我们记 X=“取出的黑球数取出的黑球数”， X 的取值情况可由下表给出：的取值情况可由下表给出：则则 X 的可能取值为的可能取值为1，2，3它随着样本点的不同而变化，因它随着样本点的不同而变化，因此此X是一个变量但是是一个变量但是X取什么值依赖于试验结果，试验结果具取什么值依赖于试验结果，试验结果具有一定的随机性，则有一定的随机性，则X的取值带有随机性，所以，我们称的取值带有随机性，所以，我们称 X 为为随机变量随机变量由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应着变由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应着变量量 X 的一个确定的取值（注意不一定是一一对应，随的一个确定的取值（注意不一
4、定是一一对应，随机变量取各值概率未必相同），这样变量机变量取各值概率未必相同），这样变量 X 是可以看是可以看做是样本空间做是样本空间上的函数：上的函数：我们定义了随机变量我们定义了随机变量X的好处是：的好处是：可以用随机变量的取值范可以用随机变量的取值范围来刻划随机事件围来刻划随机事件例如例如=“表示至少取出表示至少取出2个黑球这一事件个黑球这一事件”随机变量的定义随机变量的定义设设E是一个随机试验是一个随机试验,是样本空间称样本空间上的单值函数是样本空间称样本空间上的单值函数为一个定义在为一个定义在上的随机变量。上的随机变量。随机变量通常随机变量通常用大写英用大写英文字母或文字母或希腊字母
5、希腊字母表示。表示。注：随机变量的严格（数学）定义与概率空间中的事件域有关。 掷一颗骰子，令掷一颗骰子，令X为为出现的点数出现的点数 则则 X 就是一个随机变就是一个随机变量它的取值为量它的取值为1，2，3，4，5，6问问X=4“掷出的点数不超过掷出的点数不超过4”X为偶数为偶数“掷出的点数为偶数掷出的点数为偶数”则则x4与与X为偶数是什么事件？为偶数是什么事件？例例 2注意注意 X的取值是有限个！的取值是有限个！例例 3 一批产品有一批产品有 50 件，其中有件，其中有 8 件次品，件次品，42 件正品现从中件正品现从中取出取出 6 件，令件，令 X：取出取出 6 件产品中的次品数件产品中的
6、次品数 则则 X 就是一个随机变量它的取值为就是一个随机变量它的取值为 0，1，2，6则：则： X=0=“取出的产品全是正品取出的产品全是正品” X1=”取出的产品至少有一件次品取出的产品至少有一件次品”注意注意 X的取值是有限个！的取值是有限个！例例 4每天上午每天上午 8:009:00 在某路口观察，令：在某路口观察，令： Y“该时间间隔内通过的汽车数该时间间隔内通过的汽车数”， 则则（2）Y100=“通过的汽车数小于通过的汽车数小于100辆辆” （3）50Y3000表示该生物的寿命大于表示该生物的寿命大于 3000小时这一随机事件小时这一随机事件（1）Z=1500表示该生物的寿命不超过表
7、示该生物的寿命不超过1500小时这一随小时这一随机事件机事件注意注意 Z 的取值是的取值是不可数无穷不可数无穷个！个！例例 6掷一枚骰子，在例掷一枚骰子，在例2中，我们定义了随机变量中，我们定义了随机变量X表示表示出现的点数我们还可以定义其它的随机变量，例出现的点数我们还可以定义其它的随机变量，例如我们可以定义：如我们可以定义：这样一个样本空间中我们可以定义很多很多随机变量。这样一个样本空间中我们可以定义很多很多随机变量。在同一个样本空间上可以定义不同的随机变量在同一个样本空间上可以定义不同的随机变量注 意 点 (1)(1) 随机变量X()是样本点的函数， 其定义域为 ，其值域为R=(，) 若
8、 X 表示掷一颗骰子出现的点数， 则 X=1.5 是不可能事件. (2) 若 X 为随机变量，则 X = k 、 a X b 、 均为随机事件.即 a X b =；a X() b (3) 注意以下一些表达式： X = k= X kX k； a b = X b.(4) 同一样本空间可以定义不同的随机变量.若随机变量 X 可能取值的个数为有限个或可列个，则称 X 为离散型随机变量.连续型随机变量X 的可能取值充满某个区间a, b（或开区间或整个实轴），而它的定义需要用到积分形式。除此以外，还有别的类型随机变量.随机变量的分类第二节 离散型随机变量定义 如果随机变量的全部可能取的值只有有限个或可列个
9、，则称这种随机变量为离散型随机变量。 一 离散型随机变量的概率分布对于离散型随机变量，一方面我们关心随机变量取哪些值，例如在一批产品中随机抽取10件，我们要关心的是能够取到几件正品，更重要的是我们关心随机变量取这些值对应的概率X 取各个可能值的概率，即事件 的概率为（1）称(1)式为离散型随机变量X的概率分布概率分布或分布律 .一般地，设离散型随机变量 X 所有可能取的值为概率分布也可以直观地用下面的表格来表示： 随机变量X的所有取值随机变量X的各个取值所对应的概率分布列的基本性质(非负性)(正则性)注 意 点 求离散随机变量的分布列应注意： (1) 确定随机变量的所有可能取值; (2) 计算
10、每个取值点的概率. 例 2 10件产品中有7件正品，每次从中任取一件，试在下列三种情况下分别直到取得正品为止.求所需抽取次数X 的分布律 ： (1) 每次取出的产品不再放回； (2) 每次取出的产品仍然放回； (3) 每次取出一件产品后总放回一件正品。解故所求概率分布为： 故所求概率分布为： 例3 某系统有两台机器相互独立地运转。设第一台与第二台机器发生故障的概率分别为0.1，0.2，以X表示系统中发生故障的机器数，求X 的分布律 解故所求概率分布为： 练习1 投两枚骰子，X表示最大点数，Y表示最小点数，分别写出X,Y的分布列。 由概率分布还可求出Xa，Xa， a Xb, aXb, aXb等事
11、件的概率上题：P(X 1）=？ 二 常见的离散型分布1.（01）分布 设随机变量 X 只可能取0与1两个值，它的概率分布是则称 X 服从（01）分布或两点分布。 （01）分布的概率分布也可写成 抛一枚硬币，观察出现正面H还是反面T，正面X0,反面X1T H对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素，即 ，我们总能在上定义一个服从（01）分布的随机变量。 来描述这个随机试验的结果。 检查产品的质量是否合格，对新生婴儿的性别进行登记，检验种子是否发芽以及前面多次讨论过的“抛硬币”试验都可以用（01）分布的随机变量来描述 。2.二项分布设试验 只有两个可能结果： 及 , 则称 为伯努利（Ber
12、noulli）试验。设 ，此时 ,将E 独立地重复地进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验。 若随机变量X的概率分布为例4 已知某类产品的次品率为0.2，现从一大批这类产品中随机地抽查20件，问恰好有k(k=0,1,2,20)件次品的概率是多少？ 解 以X记抽出的20件产品中次品的件数，那么X是一个随机变量，且X b(20,0.2)则所求的概率为 将计算结果列表如下： kk0123450.0120.0580.1370.2050.2180.175678910110.1090.0550.0220.0070.002 0.001作出上表的图形，如下图所示 设k=k0时P(X=k) 取最大值
13、，则k0满足由第一式有即同理 二项分布中，使概率P(X=k) 取最大值的k0称为二项分布的最可能值最可能值。 其中（n+1）p表示不超过（n+1）p的最大整数。所以练习1.口袋中有3只黑球，2只红球，放回式摸球，摸球3次，每次1只，这3次摸球摸到2只黑球的概率是多少？（如果是不放回，摸到2只黑球的概率是多少）2某人每次射击命中率都为0.6，射击20次，求（1）恰好4次没有击中的概率（2）最有可能击中多少次（3）已知此人前三次都没有击中，求第四次击中的概率。记为 X h(n, N, M).超几何分布对应于不放回抽样模型 ： N 件产品中有 M件次品 ， 从中抽取n个，次品的个数为X .3.超几何
14、分布练习：某班级共有练习：某班级共有30名男同学，名男同学，20名女同学，现任名女同学，现任找找5名同学，求（名同学，求（1）其中恰好有）其中恰好有1名女同学的概率。名女同学的概率。（2）已知这）已知这5名同学中有名同学中有1名女同学，求其余四人都名女同学，求其余四人都是男同学的概率是男同学的概率4.泊松分布例5 商店的历史销售记录表明，某种商品每月的销售量服从参数为l= 5的泊松分布。为了以95%以上的概率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该商品多少件？ 解由附录的泊松分布表知 只要在月底进货9件(假定上个月没有存货)，就可以95%的概率保证这种商品在下个月内不会脱销 。泊松定理泊松定理
15、 设随机变量Xn服从二项分布，其概率分布为其中pn为事件发生的概率它与试验次数n有关。 证明证明:记=npn，有对于任意固定的k,有泊松泊松定理表明，定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，泊松分布是二项分布的极限分布，当当n很大，很大，p很小时，很小时，二项分布就可近似地二项分布就可近似地看成是参数看成是参数 =np的的泊松分布泊松分布在在Bernoulli试验中，试验中，将试验进行到将试验进行到 A 首次出现为止，首次出现为止，X“所需实验次数所需实验次数”则则X服从几何分布即：服从几何分布即：5.几何分布例例 7对同一目标进行射击，设每次射击时的命中率对同一目标进行射击，设每次射击时的命中率为为0.64，射击进行到击中目标时为止，令：，射击进行到击中目标时为止，令： X：所需射击次数：所需射击次数 试求随机变量试求随机变量 X 的分布律，并求至少进行的分布律，并求至少进行2次射击次射击才能击中目标的概率才能击中目标的概率解解：X1,2，3， 这是一个几何分布。这是一个几何分布。 得得PX2的概率为：的概率为：
