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1、3 线性相关性1复复习一、线性组合一、线性组合若存在一组数若存在一组数使得使得定定义则称则称为向量组为向量组的线性组合。的线性组合。或称或称可由向量组可由向量组线性表出。线性表出。2可由向量可由向量组线性表出。性表出。例例1 对向量组对向量组可由向量可由向量组线性表出。性表出。例例2 零向量是任何一组向量的线性组合零向量是任何一组向量的线性组合. .对向量组对向量组3例例3对对n维向量组维向量组有线性组合有线性组合称为称为n n维单位向量维单位向量例例4若若 ，也称向量，也称向量 与与 成比例成比例.例例54若能，写出它的一个线性组合若能，写出它的一个线性组合解解：设：设 ，即有，即有例例6判
2、断向量能否由向量组线性表出判断向量能否由向量组线性表出.5 设设 ，6即有方程组即有方程组对方程组的增广矩阵作初等行变换化为行阶梯阵对方程组的增广矩阵作初等行变换化为行阶梯阵7方程组有无穷多解，方程组有无穷多解， 得到一个解得到一个解 ，令令从而有从而有8它的解为它的解为 再化为最简行阶梯形矩阵再化为最简行阶梯形矩阵 线性表出的充要条件线性表出的充要条件是线性方程组是线性方程组有解有解； 向量组向量组 结论9向量向量能用能用线性表出的充要条件线性表出的充要条件向量向量不能用不能用向量组向量组 是线性方程组是线性方程组无解无解。定义定义1010如果向量如果向量组中的每个向量中的每个向量都可由向量
3、都可由向量组线性表出，性表出，那么称向量那么称向量组可由向量可由向量组线性表出性表出。10对向量向量组例例和向量和向量组可由向量可由向量组线性表出。性表出。有有向量向量组和向量和向量组对向量向量组和向量和向量组有有可由向量可由向量组线性表出。性表出。11向量向量组可由向量可由向量组线性表出。性表出。向量向量组能否由向量能否由向量组线性表出？性表出？向量向量组可由向量可由向量组线性表出。性表出。12如果两个向量组可以互相线性表示，则称它们为如果两个向量组可以互相线性表示，则称它们为等价等价. .对向量向量组例例和向量和向量组可由向量可由向量组线性表出。性表出。也可由向量也可由向量组线性表出。性表
4、出。所以所以与向量与向量组向量向量组有有等价等价易得易得向量组之间的等价关系具有：向量组之间的等价关系具有：1)反身性反身性2)对称性对称性 3)传递性传递性2、性质、性质每一个向量每一个向量组都与它自身等价都与它自身等价如果向量如果向量组与向量与向量组等价，等价，那么向量那么向量组与向量与向量组等价。等价。如果向量如果向量组与向量与向量组等价，等价， 向量向量组等价，等价，与向量与向量组那么向量那么向量组与向量与向量组等价。等价。13三、线性相关性三、线性相关性1、线性相关线性相关 定义定义1：如果向量组如果向量组 中有一向量中有一向量称为是称为是线性相关线性相关的的.可经其余向量线性表出，
5、则向量组可经其余向量线性表出，则向量组对向量向量组有有则该向量向量组线性相关。性相关。14例例下列向量组是否线性相关？下列向量组是否线性相关？15按照定按照定义1来来验证有有难度！度！对向量向量组有有则该向量向量组线性相关。性相关。整理得整理得零向量零向量为向量向量组的的线性性组合，合，且且线性性组合的系数不全合的系数不全为0。16定义定义1：如果向量组如果向量组 中有一向量中有一向量称为称为线性相关线性相关的的.可经其余向量线性表出，则向量组可经其余向量线性表出，则向量组定义定义1 1在在 时，时，定义定义1与与定义定义1 是等价的是等价的. . 17证证可改写为可改写为定义定义1定义定义1
6、显然不全为显然不全为018向量向量组中有一个向量能由其它向量中有一个向量能由其它向量线性表出性表出故存在不全为故存在不全为0的数的数使得使得设向量组设向量组是线性相关的是线性相关的根据定义根据定义1，得到定义得到定义1。证证则则定义定义1定义定义1存在不全为存在不全为0的数的数使得使得19则向量向量组中有一个向量能由其它向量中有一个向量能由其它向量线性表出性表出设向量组设向量组是线性相关的是线性相关的根据定义根据定义1，得到定义得到定义1。定义定义2：若向量组若向量组 不线性相关，则称不线性相关，则称若不存在若不存在P中不中不全为零的数全为零的数 ，使使向量组向量组 为为线性无关的线性无关的.
7、2、线性无关线性无关 即即则称向量组则称向量组 为为线性无关的线性无关的.20或者说，或者说，对于一个向量组对于一个向量组若若必有必有则称向量组则称向量组 为为线性无关的线性无关的.=0=0设设=0=021例例n维单位向量位向量组是否是否线性相关？性相关？线性无关性无关例例1判断下列向量组是否线性相关判断下列向量组是否线性相关.设设即即整理得整理得若该齐次方程组有非零解，若该齐次方程组有非零解，线性相关，线性相关，若该齐次方程组只有零解，若该齐次方程组只有零解，线性无关。线性无关。22设设有有若该齐次方程组有非零解，若该齐次方程组有非零解，线性相关，线性相关，若该齐次方程组只有零解，若该齐次方
8、程组只有零解，线性无关，线性无关，23将该齐次方程组的增广矩阵化为行阶梯形将该齐次方程组的增广矩阵化为行阶梯形设设24将该齐次方程组的增广矩阵化为行阶梯形将该齐次方程组的增广矩阵化为行阶梯形行阶梯形矩阵中，行阶梯形矩阵中， 非零行的行数为非零行的行数为3，列数减列数减1也是也是3，故方程组只有零解。故方程组只有零解。即必有即必有线性无关。线性无关。线性无关的充要条件是齐次线性方程组线性无关的充要条件是齐次线性方程组只有零解只有零解； 的充要条件是齐次线性方程组的充要条件是齐次线性方程组(2)有非零解有非零解.向量组向量组 （2）向量组向量组线性相关线性相关结论25例例3判断下列向量组是否线性相
9、关判断下列向量组是否线性相关.设设即即整理得整理得若该齐次方程组有非零解，若该齐次方程组有非零解，线性相关，线性相关，若该齐次方程组只有零解，若该齐次方程组只有零解，线性无关。线性无关。26设设若该齐次方程组有非零解，若该齐次方程组有非零解，线性相关，线性相关，若该齐次方程组只有零解，若该齐次方程组只有零解，线性无关，线性无关，27整理得整理得系数行列式系数行列式由由Cramer法则，法则，该方程组有非零解，该方程组有非零解，线性相关。线性相关。特别地，对于特别地，对于n个个n维向量维向量28线性无关的充要条件是齐次线性方程组线性无关的充要条件是齐次线性方程组只有零解只有零解 行列式行列式特别
10、地，对于特别地，对于n个个n维向量维向量29线性相关的充要条件是齐次线性方程组线性相关的充要条件是齐次线性方程组有非零解有非零解 行列式行列式特别地，对于特别地，对于n个个n维向量维向量行列式行列式行列式行列式线性无关线性无关.线性相关；线性相关；30例例4判断下列向量组是否线性相关判断下列向量组是否线性相关.31解：对于解：对于4个个4维向量，维向量， 其对应的行列式为其对应的行列式为故该向量组线性无关。故该向量组线性无关。对应的齐次方程组对应的齐次方程组只有零解。只有零解。1）单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量；）单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量；单独一个向量线性无关当且仅当它是
11、非零向量单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量.3、线性相关性的有关性质、线性相关性的有关性质 2）一个向量组中若有一向量为零向量，）一个向量组中若有一向量为零向量，则该向量组一定线性相关则该向量组一定线性相关.1） 对只有一个向量的向量只有一个向量的向量组什么情况下向量什么情况下向量组线性相关？性相关？什么情况下向量什么情况下向量组线性无关？性无关？32例例4 向量组向量组由于由于线性相关。线性相关。是线性相关还是线性无关？是线性相关还是线性无关？33另有向量组另有向量组向量组向量组线性相关。线性相关。向量组向量组3）一个向量组中若部分向量线性相关，）一个向量组中若部分向量线性相关，则整个
12、向则整个向量组也线性相关；量组也线性相关；34例例5 向量组向量组线性无关线性无关35向量组向量组另有向量组另有向量组向量组向量组是线性相关还是线性无关？是线性相关还是线性无关？若向量组若向量组线性相关，线性相关，也线性相关，也线性相关，则向量组则向量组由性质由性质3）矛盾！矛盾！线性无关线性无关故向量组故向量组都线性无关都线性无关.4）一个向量组若线性无关，则它的一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组任何一个部分组36例例137线性无关。线性无关。是线性相关还是线性无关？是线性相关还是线性无关？只有零解只有零解设设即即整理得整理得3839线性无关。线性无关。线性无关。线性无关。只有零解只
13、有零解也只有零解也只有零解5）若向量组）若向量组 线性无关，线性无关，也线性无关也线性无关 40线性无关，线性无关，将其每个向量增加一维后得到的向量组将其每个向量增加一维后得到的向量组 只有零解。只有零解。 向量组向量组 线性无关的充分必要条件是线性无关的充分必要条件是齐次线性齐次线性方程组方程组41只有零解只有零解； 向量组向量组 线性无关，线性无关，齐次线性齐次线性方程组方程组对应的齐对应的齐次线性方次线性方程组程组方程组方程组(2)(2)比方程组比方程组(1)(1)多一个方程多一个方程 ，(2)(2)的解一定是的解一定是(1)(1)的解，的解， 方程组方程组(2)(2)也只有零解。也只有
14、零解。42的的缩短组缩短组. .5）若向量组）若向量组 线性无关，则每个向量增加一维后得到的向量组线性无关，则每个向量增加一维后得到的向量组 也线性无关也线性无关 .向量组向量组 常称为向量组常称为向量组 的的延伸组延伸组；注注：称为称为而而 反之，若向量组反之，若向量组 线性相关，线性相关，43则每个向量减少一维后得到的向量组则每个向量减少一维后得到的向量组 也线性相关也线性相关.例例已知向量组已知向量组44该向量组是否线性相关？该向量组是否线性相关？设设即即整理得整理得45整理得整理得方程的个数小于未知数的个数，方程的个数小于未知数的个数，对齐次线性方程组，对齐次线性方程组，它有无它有无穷
15、多解。多解。所以向量组所以向量组线性相关。线性相关。三、齐次线性方程组的解三、齐次线性方程组的解定理定理1对齐次线性方程组对齐次线性方程组因为：因为：方程方程组化化为阶梯形后，梯形后，阶梯形方程梯形方程组中，中，故一定小于未知数的个数故一定小于未知数的个数n。46若方程的个数小于未知数的个数，若方程的个数小于未知数的个数，非零方程的个数不会超非零方程的个数不会超过原来方程的个数原来方程的个数s，即：如果即：如果，则它必有非零解。，则它必有非零解。则它必有无它必有无穷多解。多解。结论：结论：47对向量组对向量组若若维数数s向量个数向量个数n， 则向量组必定线性相关。则向量组必定线性相关。向量组线
16、性相关的基本性质定理向量组线性相关的基本性质定理 定理定理2设设 与与 为两个为两个i) 向量组向量组 可经可经 线性表出线性表出；则向量组则向量组 必线性相关必线性相关.ii)向量组，若向量组，若48例例已知向量组已知向量组49和单位和单位向量组向量组显然，显然，能由能由线性表出，线性表出，所以向量组所以向量组线性相关。线性相关。且且要证要证 线性相关线性相关，即证有不全为零的数即证有不全为零的数使使 证：证： 由由i)，有，有 i) 向量组向量组 可经可经 线性表出线性表出；50作线性组合作线性组合 5152要证要证 线性相关线性相关，即证有不全为零的数即证有不全为零的数使使 若能找到不全
17、为的若能找到不全为的 ，使使 则也有也有中，方程的个数中，方程的个数 s未知量的个数未知量的个数r，从而有不全为零的数从而有不全为零的数 ，使使所以所以方程组方程组有非零解有非零解. 所以所以 线性相关线性相关。齐次线性方程组齐次线性方程组 53推论推论2任意任意 n1个个n维向量必线性相关维向量必线性相关. . 推论推论3两个线性无关的等价向量组必含相同个数两个线性无关的等价向量组必含相同个数推论推论1 若向量组若向量组 可经向量组可经向量组 线性表出，且线性表出，且 线性无关线性无关，则则 的向量的向量.（任意（任意 个个n维向量必线性相关维向量必线性相关. .） 54由于由于 线性无关，
18、于是有线性无关，于是有 设设即即 例例3已知向量组已知向量组 线性无关，向量线性无关，向量证明：证明： 线性无关线性无关. .解之得解之得 所以所以 线性无关线性无关 .证：证：55一、线性组合一、线性组合若存在一组数若存在一组数使得使得定定义则称则称为向量组为向量组的线性组合。的线性组合。或称或称可由向量组可由向量组线性表出。线性表出。56小结小结线性表出的充要条件是线性方程组线性表出的充要条件是线性方程组有解有解； 向量组向量组 结论57向量向量能用能用线性表出的充要条件是线性方程组无解。线性表出的充要条件是线性方程组无解。向量向量不能用不能用向量组向量组 定义定义1010如果向量如果向量
19、组中的每个向量中的每个向量都可由向量都可由向量组线性表出，性表出，那么称向量那么称向量组可由向量可由向量组线性表出性表出。58如果两个向量组可以互相线性表示，则称它们为如果两个向量组可以互相线性表示，则称它们为等价等价. .向量组之间的等价关系具有：向量组之间的等价关系具有：1) 反身性反身性2) 对称性对称性 3) 传递性传递性2、性质、性质每一个向量每一个向量组都与它自身等价都与它自身等价如果向量如果向量组与向量与向量组等价，等价，那么向量那么向量组与向量与向量组等价。等价。如果向量如果向量组与向量与向量组等价，等价，向量向量组等价，等价，与向量与向量组那么向量那么向量组与向量与向量组等价
20、。等价。59三、线性相关性三、线性相关性1、线性相关线性相关 定义定义1：如果向量组如果向量组 中有一向量中有一向量称为是称为是线性相关线性相关的的.可经其余向量线性表出，则向量组可经其余向量线性表出，则向量组60定义定义1 1在在 时，时，定义定义1与与定义定义1 是等价的是等价的. . 线性无关的充要条件是齐次线性方程组线性无关的充要条件是齐次线性方程组只有零解只有零解； 的充要条件是齐次线性方程组的充要条件是齐次线性方程组(2)有非零解有非零解.向量组向量组 （2）向量组向量组线性相关线性相关结论61特别地，对于特别地，对于n个个n维向量维向量行列式行列式行列式行列式线性无关线性无关.线
21、性相关；线性相关；62都线性无关都线性无关.4）一个向量组若线性无关，则它的一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组任何一个部分组3）一个向量组中若部分向量线性相关，）一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向则整个向量组也线性相关；量组也线性相关；1）单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量；）单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量；单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量.2）一个向量组中若有一向量为零向量，则该向量）一个向量组中若有一向量为零向量，则该向量组一定线性相关组一定线性相关.3、线性相关性的有关性质、线性相关性的有关性质 63的的缩短组缩短
22、组. .5）若向量组）若向量组 线性无关，则每个向量增加一维后得到的向量组线性无关，则每个向量增加一维后得到的向量组 也线性无关也线性无关 .向量组向量组 常称为向量组常称为向量组 的的延伸组延伸组；注注：称为称为而而 则向量组则向量组 也线性相关也线性相关.反之，若向量组反之，若向量组 线性相关线性相关64向量组线性相关的基本性质定理向量组线性相关的基本性质定理 定理定理2设设 与与 为两个为两个i) 向量组向量组 可经可经 线性表出线性表出；则向量组则向量组 必线性相关必线性相关.ii)向量组，若向量组，若65推论推论2任意任意 n1个个n维向量必线性相关维向量必线性相关. . 推论推论3两个线性无关的等价向量组必含相同个数两个线性无关的等价向量组必含相同个数推论推论1 若向量组若向量组 可经向量组可经向量组 线性表出，且线性表出，且 线线线性无关线性无关，则则 的向量的向量.（任意（任意 个个n维向量必线性相关维向量必线性相关. .） 66
