复变函数与积分变换第七章z.ppt

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1、 严格的证明是数学的标志严格的证明是数学的标志,这是数学对这是数学对于文化修养所提供的不可缺少的营养于文化修养所提供的不可缺少的营养,一个一个学生若对数学证明从未留下印象学生若对数学证明从未留下印象,那他就缺那他就缺少了一种基本的思维经历少了一种基本的思维经历. -波利亚波利亚(Polya,G.) 数学的主要目标是大众的利益和对自然数学的主要目标是大众的利益和对自然现象的解释现象的解释. -傅里叶傅里叶(Fourier,J.B.J.)第七章第七章 Fourier变换变换7.17.1 Fourier变换的概念变换的概念7.2 7.2 单位脉冲函数及其单位脉冲函数及其Fourier变换变换7.3

2、7.3 Fourier变换的性质变换的性质7.4 7.4 卷积卷积 在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，人们常采用变换的方法来达转化为较简单的运算，人们常采用变换的方法来达到目的例如在初等数学中，数量的乘积和商可以到目的例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运算在工通过对数变换化为较简单的加法和减法运算在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分、积分）程数学里积分变换能够将分析运算（如微分、积分）转化为代数运算，正是积分变换的这一特性，使得转化为代数运算，正是积分变换的这一特性，使得它在微分方程、偏

3、微分方程的求解中成为重要的方它在微分方程、偏微分方程的求解中成为重要的方法之一法之一积分变换的理论方法积分变换的理论方法不仅在数学的诸多分不仅在数学的诸多分支中得到广泛的应用，而且在许多科学技术领域中，支中得到广泛的应用，而且在许多科学技术领域中，例如物理学、力学、现代光学、无线电技术以及信例如物理学、力学、现代光学、无线电技术以及信号处理等方面，作为一种研究工具发挥着十分重要号处理等方面，作为一种研究工具发挥着十分重要的作用的作用 人类视觉所感受到的是在空间域和时间域的人类视觉所感受到的是在空间域和时间域的信号信号. 但是，往往许多问题在频域中讨论时，有其但是，往往许多问题在频域中讨论时，有

4、其非常方便分析的一面非常方便分析的一面.例如，空间位置上的变化不例如，空间位置上的变化不改变信号的频域特性改变信号的频域特性. 首先，提出的变换必须是有好处的，换句话首先，提出的变换必须是有好处的，换句话说，可以解决时域中解决不了的问题说，可以解决时域中解决不了的问题. 其次，变换必须是可逆的，可以通过逆变换其次，变换必须是可逆的，可以通过逆变换还原回原时域中还原回原时域中.频域分析：傅里叶变换，自变量为频域分析：傅里叶变换，自变量为 j 复频域分析：拉氏变换复频域分析：拉氏变换, 自变量为自变量为 S = +j Z域分析：域分析：Z 变换，自变量为变换，自变量为z 所谓积分变换所谓积分变换，

5、就是把某函数类，就是把某函数类A中的任意一个函数中的任意一个函数，经过某种，经过某种可逆的积分方法可逆的积分方法（即为通过含参变量（即为通过含参变量的积分）的积分）变为另一函数类变为另一函数类 B中的函数中的函数 这里这里 是一个确是一个确定的二元函数，通常称为定的二元函数，通常称为该积分变换的核该积分变换的核 称为称为 的的像函数或简称为像像函数或简称为像， 称为称为 的的原函数原函数 在这样的积分变换下，微分运算可变为乘法运算，原来的在这样的积分变换下，微分运算可变为乘法运算，原来的偏微分方程可以减少自变量的个数，变成像函数的常微分方偏微分方程可以减少自变量的个数，变成像函数的常微分方程；

6、原来的常微分方程可以变为像函数的代数方程，从而容程；原来的常微分方程可以变为像函数的代数方程，从而容易在像函数类易在像函数类B中找到解的像；再经过逆变换，便可以得到原中找到解的像；再经过逆变换，便可以得到原来要在来要在A中所求的解，而且是显式解中所求的解，而且是显式解 另外需要说明的是，当选取不同的另外需要说明的是，当选取不同的积分区域和核函数积分区域和核函数时，时，就得到不同名称的就得到不同名称的积分变换积分变换: （1）特别当核函数）特别当核函数 （注意已将积分参（注意已将积分参变量变量改写为变量改写为变量），当），当，则，则称函数称函数 为函数为函数 的的傅里叶（傅里叶（Fourier）

7、变换，变换，简称简称为函数为函数的的傅氏变换傅氏变换同时我们称同时我们称 为为的的傅里叶逆变换傅里叶逆变换（2）特别当核函数）特别当核函数 （注意已将积分参变量（注意已将积分参变量改写为变量改写为变量），当），当，则，则称函数称函数 为函数为函数 的的拉普拉斯拉普拉斯 (Laplace)变换变换，简称，简称 为函数为函数 的的拉氏变换拉氏变换同时我们称同时我们称 为为 的的拉氏逆变换拉氏逆变换 第八章第八章 Fourier 变换变换8.2 单位脉冲函数单位脉冲函数8.1 Fourier 变换的概念变换的概念 8.3 Fourier 变换的性质变换的性质主主 要要 内内 容容 Fourier变换

8、是一种对连续时间函数的变换是一种对连续时间函数的积分变换积分变换, ,通过特定形式的积分建立函数之通过特定形式的积分建立函数之间的对应关系间的对应关系. . 它既能简化计算它既能简化计算( (如解微分如解微分方程或化卷积为乘积等方程或化卷积为乘积等) )，又具有明确的物，又具有明确的物理意义理意义( (从频谱的角度来描述函数的特征从频谱的角度来描述函数的特征),),因而在许多领域被广泛地应用因而在许多领域被广泛地应用. .离散和快速离散和快速Fourier变换在计算机时代更是特别重要变换在计算机时代更是特别重要 傅里叶变换发展历史傅里叶变换发展历史18221822年，法国数学家傅里叶年，法国数

9、学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)(J.Fourier,1768-1830)在研究在研究热传导理论时发表了热传导理论时发表了“热的分析理论热的分析理论”，提出并证明了将周，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础础. .泊松泊松(Poisson)(Poisson)、高斯、高斯( (GuassGuass) )等人把这一成果应用到电学中等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用去，得到广泛应用. .1919世纪末，人们制作出用于工程实际的电容器；世纪末，人们制作出用于工程实际的电容器；进入进入202

10、0世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景了广阔的前景. .在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很多的优点换法具有很多的优点. .“FFTFFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力. . 傅立叶变换的作用傅立叶变换的作用 （1）可以得出信号在各个频率点上的强度）可以得出信号在各个频率点上的强度.（2）

11、可以将卷积运算化为乘积运算）可以将卷积运算化为乘积运算.（3）傅氏变换和线性系统理论是进行图像恢复）傅氏变换和线性系统理论是进行图像恢复 和重构的重要手段和重构的重要手段.（4）傅立叶变换能使我们从空间域与频率域两）傅立叶变换能使我们从空间域与频率域两 个不同的角度来看待图像的问题，有时在个不同的角度来看待图像的问题，有时在 空间域无法解决的问题在频域却是显而易空间域无法解决的问题在频域却是显而易 见的见的.Fourier 变换是积分变换中常见的一种变换，它既能够变换是积分变换中常见的一种变换，它既能够简化运算简化运算 ( ( 如求解微分方程、化卷积为乘积等等如求解微分方程、化卷积为乘积等等

12、) )，又具有，又具有非常特殊的物理意义。非常特殊的物理意义。 的地位，而且在各种工程技术中都有着广泛的应用。的地位，而且在各种工程技术中都有着广泛的应用。展起来的。在微积分课程中已经学习了展起来的。在微积分课程中已经学习了Fourier 级数的有关级数的有关 内容，因此本节将先简单地回顾一下内容，因此本节将先简单地回顾一下 Fourier 级数展开。级数展开。8.1 Fourier 变换的概念变换的概念因此，因此，Fourier 变换不仅在数学的许多分支中具有重要变换不仅在数学的许多分支中具有重要Fourier 变换是在周期函数的变换是在周期函数的 Fourier 级数的基础上发级数的基础上

13、发8.1 Fourier 变换的概念变换的概念一、一、周期函数的周期函数的 Fourier 级数级数二、二、非非周期函数的周期函数的 Fourier 变换变换一、一、周期函数的周期函数的 Fourier 级数级数1. 简谐波的基本概念简谐波的基本概念简谐波简谐波为为基本基本周期周期；为为频率频率。A 称为称为振幅振幅， 其中，其中，称为称为角频率角频率，称为称为相位相位， ( ( 称为称为零相位零相位) )。( (单位：秒单位：秒) )( (单位：赫兹单位：赫兹 Hz) ) 补补 区间区间 上上满足如下条件满足如下条件( (称为称为 Dirichlet 条件条件) )：则在则在 的的连续连续点

14、点处有处有(1) 连续或只有有限个第一类间断点；连续或只有有限个第一类间断点；(2) 只有有限个极值点只有有限个极值点 .( ( Dirichlet 定理定理) )设设 是以是以 T 为周期的实值函数，且在为周期的实值函数，且在定理定理2. Fourier 级数的三角形式级数的三角形式一、一、周期函数的周期函数的 Fourier 级数级数P120定理定理 7.1 在在 的的间断间断处，上处，上式左端为式左端为称之为称之为基频基频。( ( Dirichlet 定理定理) )定理定理3. Fourier 级数的三角形式级数的三角形式其中其中,(A)称称 (A) 式为式为 Fourier 级数的三角

15、形式级数的三角形式。定义定义一、一、周期函数的周期函数的 Fourier 级数级数( ( Fourier级数的历史回顾级数的历史回顾) )3. Fourier 级数的物理含义级数的物理含义令令则则 (A) 式变为式变为O(A)改写改写一、一、周期函数的周期函数的 Fourier 级数级数这些简谐波的这些简谐波的( (角角) )频率分别为一个基频频率分别为一个基频 的倍数。的倍数。频率成份，其频率是以基频频率成份，其频率是以基频 为间隔离散取值的。为间隔离散取值的。” 这是周期信号的一个非常重要的特点这是周期信号的一个非常重要的特点。3. Fourier 级数的物理含义级数的物理含义认为认为 “

16、 一个周期为一个周期为 T 的周期信号的周期信号 并不包含所有的并不包含所有的意义意义周期信号可以分解为一系列周期信号可以分解为一系列固定频率固定频率的的简谐波之和，简谐波之和，表明表明一、一、周期函数的周期函数的 Fourier 级数级数相位相位反映了反映了在在信号信号 中中频率为频率为 的简谐波的简谐波 这两个指标完全定量地刻画了信号的频率特性。这两个指标完全定量地刻画了信号的频率特性。3. Fourier 级数的物理含义级数的物理含义反映了频率为反映了频率为 的简谐波在信号的简谐波在信号 中中振幅振幅所占有的份额；所占有的份额；沿时间轴移动的大小。沿时间轴移动的大小。一、一、周期函数的周

17、期函数的 Fourier 级数级数4. Fourier 级数的指数形式级数的指数形式代入代入 (A) 式并整理得式并整理得根据根据 Euler 公式公式 可得可得推导推导(A)已知已知一、一、周期函数的周期函数的 Fourier 级数级数P120 4. Fourier 级数的指数形式级数的指数形式推导推导则有则有令令其中其中,(B)称称 (B) 式为式为 Fourier 级数的指数形式级数的指数形式。定义定义一、一、周期函数的周期函数的 Fourier 级数级数(1) 分解式是惟一的。分解式是惟一的。注意注意(2) 计算系数计算系数 时时, 其中的积分可以在任意其中的积分可以在任意一个长度为一

18、个长度为 T 的区间上进行。的区间上进行。(3) 采用周期延拓技术，可以将结论应用到采用周期延拓技术，可以将结论应用到仅仅定义在某个有限区间上的函数。仅仅定义在某个有限区间上的函数。4. Fourier 级数的指数形式级数的指数形式一、一、周期函数的周期函数的 Fourier 级数级数5. 离散频谱与频谱图离散频谱与频谱图得得O分析分析 由由即即 的模与辐角正好是振幅和相位。的模与辐角正好是振幅和相位。称称 为为频谱频谱，记为记为称称 为为振幅谱振幅谱，称称 为为相位谱相位谱；定义定义一、一、周期函数的周期函数的 Fourier 级数级数5. 离散频谱与频谱图离散频谱与频谱图将振幅将振幅 、相

19、位、相位 与频率与频率 的关系画成图形。的关系画成图形。频谱图频谱图OO一、一、周期函数的周期函数的 Fourier 级数级数(1) 当当 n = 0 时，时，解解 基频基频O解解 (2) 当当 时时,O(3) 的的 Fourier 级数为级数为解解(4) 振幅谱为振幅谱为相位谱为相位谱为O(5) 频谱图如下图所示。频谱图如下图所示。 解解1- -22- -1 O 1- -22- -1O O借助借助 Fourier 级数展开，使得人们能够完全了解一个级数展开，使得人们能够完全了解一个信号的频率特性，从而认清了一个信号的本质，这种对信号的频率特性，从而认清了一个信号的本质，这种对信号的分析手段也

20、称为信号的分析手段也称为频谱分析频谱分析(或者或者谐波分析谐波分析)。但是，但是，Fourier 级数要求被展开的函数必须是周期函级数要求被展开的函数必须是周期函数，数， 而在工程实际问题中，而在工程实际问题中， 大量遇到的是非周期函数，大量遇到的是非周期函数，那么，对一个非周期函数是否也能进行频谱分析呢那么，对一个非周期函数是否也能进行频谱分析呢?二、二、非非周期函数的傅立叶变换周期函数的傅立叶变换二、二、非非周期函数的傅立叶变换周期函数的傅立叶变换(1) 非周期函数可以看成是一个周期为无穷大的非周期函数可以看成是一个周期为无穷大的“周期函数周期函数”。1. 简单分析简单分析当当 T 越来越

21、大时，取值间隔越来越小；越来越大时，取值间隔越来越小；当当 T 趋于无穷时，取值间隔趋向于零，趋于无穷时，取值间隔趋向于零，因此，一个非周期函数将包含所有的频率成份。因此，一个非周期函数将包含所有的频率成份。其频谱是以其频谱是以 为间隔离散取值的。为间隔离散取值的。即频谱将连续取值。即频谱将连续取值。(2) 当当 时，频率特性发生了什么变化？时，频率特性发生了什么变化？二、二、非非周期函数的傅立叶变换周期函数的傅立叶变换1. 简单分析简单分析Fourier 级数表明周期函数仅包含离散的频率成份，级数表明周期函数仅包含离散的频率成份，分析分析(3) 当当 时，时，级数求和级数求和发生了什么变化？

22、发生了什么变化？二、二、非非周期函数的傅立叶变换周期函数的傅立叶变换1. 简单分析简单分析记为记为节点节点将间隔将间隔记为记为得得并并由由分析分析(C)分析分析则则按照积分定义，在一定条件下，按照积分定义，在一定条件下，(C) 式可写为式可写为记记(3) 当当 时，时，级数求和级数求和发生了什么变化？发生了什么变化？二、二、非非周期函数的傅立叶变换周期函数的傅立叶变换1. 简单分析简单分析(2) 绝对可积，即绝对可积，即上的任一有限区间内满足上的任一有限区间内满足 Dirichlet 条件；条件；(1) 在在二、二、非非周期函数的傅立叶变换周期函数的傅立叶变换定理定理 设函数设函数 满足满足的

23、间断处，公式的左端应为的间断处，公式的左端应为在在2. Fourier 积分公式积分公式称称 (D) 式式为为 Fourier 积分公式积分公式。定义定义则在则在的连续点处，有的连续点处，有(D)P121定理定理 7.2 (2) Fourier 逆变换逆变换( (简称简称傅氏逆变换傅氏逆变换) )称为称为傅氏变换对傅氏变换对，记为，记为与与二、二、非非周期函数的傅立叶变换周期函数的傅立叶变换- -1(1) Fourier 正变换正变换( (简称简称傅氏变换傅氏变换) )定义定义其中，其中，称为称为象原函数象原函数称为称为象函数象函数，3. Fourier 变换的定义变换的定义注注 上述变换中的

24、广义积分为柯西主值。上述变换中的广义积分为柯西主值。 P124定义定义 7.2 二、二、非非周期函数的傅立叶变换周期函数的傅立叶变换4. Fourier 变换的物理意义变换的物理意义与与 Fourier 级数的物理意义一样，级数的物理意义一样，Fourier 变换同样变换同样称称 为为振幅谱振幅谱；称称 为为相位谱相位谱。刻画了一个非周期函数的频谱特性，不同的是，非周期刻画了一个非周期函数的频谱特性，不同的是，非周期函数的频谱是连续取值的。函数的频谱是连续取值的。一般为复值函数，故可表示为一般为复值函数，故可表示为称称 为为频谱密度函数频谱密度函数( (简称为简称为连续频谱连续频谱或者或者频谱

25、频谱) )；定义定义反映的是反映的是 中各频率分量的分布密度，它中各频率分量的分布密度，它解解 (1)a- - a1Ot(2) 振幅谱为振幅谱为相位谱为相位谱为解解2aOO主瓣主瓣旁瓣旁瓣(3) 求求 Fourier 逆变换，即可得到逆变换，即可得到 Fourier 积分表达式。积分表达式。解解- -1可得重要积分公式可得重要积分公式 : 在上式中令在上式中令注注可得重要积分公式可得重要积分公式 : 在上式中令在上式中令 一般地，有一般地，有 特别地，有特别地，有注注1Ot解解 (1)P124 例例4改改 解解振幅谱为振幅谱为 (2)相位谱为相位谱为OO解解 - -1- -1 1 记为记为 8

26、.2 单位脉冲函数单位脉冲函数 二二、单位脉冲函数单位脉冲函数的概念及性质的概念及性质 三三、单位脉冲函数单位脉冲函数的的 Fourier 变换变换 一、一、为什么要引入为什么要引入单位脉冲函数单位脉冲函数 一、一、为什么要引入为什么要引入单位脉冲函数单位脉冲函数 理由理由 (1) 在数学、物理学以及工程技术中，一些常用的重要在数学、物理学以及工程技术中，一些常用的重要 函数，如常数函数、线性函数、符号函数以及单位函数，如常数函数、线性函数、符号函数以及单位 阶跃函数等等，都不能进行阶跃函数等等，都不能进行 Fourier 变换。变换。 (2) 周期函数的周期函数的 Fourier 级数与非周

27、期函数的级数与非周期函数的 Fourier 变变 换都是用来对信号进行频谱分析的，它们之间能否换都是用来对信号进行频谱分析的，它们之间能否 统一起来。统一起来。 (3) 在工程实际问题中，有许多瞬时物理量不能用通常在工程实际问题中，有许多瞬时物理量不能用通常 的函数形式来描述，如冲击力、脉冲电压、质点的的函数形式来描述，如冲击力、脉冲电压、质点的 质量等等。质量等等。 一、一、为什么要引入为什么要引入单位脉冲函数单位脉冲函数 细杆取细杆取 的结果。的结果。 长度为长度为 a ，质量为，质量为 m 的均匀细杆放在的均匀细杆放在 x 轴的轴的 0 , a 区间区间 引例引例 上，则它的线密度函数为

28、上，则它的线密度函数为 质量为质量为 m 的质点放置在坐标原点，则可认为它相当于的质点放置在坐标原点，则可认为它相当于 显然显然 , 该密度函数并没有反映出质点的任何质量信息该密度函数并没有反映出质点的任何质量信息 , 相应地，质点的密度函数为相应地，质点的密度函数为 P126定义定义7.3 二二、单位脉冲函数单位脉冲函数的概念及性质的概念及性质 1. 单位脉冲函数单位脉冲函数的概念的概念 (1) 当当 时，时， (2) 显然，借助单位脉冲函数，前面显然，借助单位脉冲函数，前面引例引例中质点的密度函数中质点的密度函数 定义定义 单位脉冲函数单位脉冲函数 满足：满足： 单位脉冲函数单位脉冲函数

29、又称为又称为 Dirac 函数函数或者或者 函数函数。 就可表示为就可表示为 当当 时，时， 二二、单位脉冲函数单位脉冲函数的概念及性质的概念及性质 1. 单位脉冲函数单位脉冲函数的概念的概念 (1) 单位脉冲函数单位脉冲函数 并不是经典意义下的函数，而并不是经典意义下的函数，而是一是一 个个广义函数广义函数( (或者或者奇异函数奇异函数) )，它不能用通常意义下的，它不能用通常意义下的 “值的对应关系值的对应关系”来理解和使用，而总是通过它的性质来理解和使用，而总是通过它的性质 注注 来使用它。来使用它。 (2) 单位脉冲函数有多种单位脉冲函数有多种定义方式，前面给出的定义方式定义方式，前面

30、给出的定义方式 是由是由 Dirac( (狄拉克狄拉克) )给出的。给出的。 单位脉冲函数单位脉冲函数其它定义方式其它定义方式二二、单位脉冲函数单位脉冲函数的概念及性质的概念及性质 2. 单位脉冲函数单位脉冲函数的性质的性质 (2) 对称性质对称性质 函数为偶函数，即函数为偶函数，即 (1) 筛选性质筛选性质 性质性质 设函数设函数 是定义在是定义在 上的有界函数，上的有界函数， 且在且在 处连续，处连续， 则则 一般地，若一般地，若 在在 点连续，点连续， 则则 P127性质性质 1 P127性质性质 3 函数的图形表示方式非常特别，通常采用一个从原点函数的图形表示方式非常特别，通常采用一个

31、从原点 出发长度为出发长度为 1 的有向线段来表示，的有向线段来表示， 同样有，函数同样有，函数 的脉冲强度为的脉冲强度为 A。 代表代表 函数的积分值，函数的积分值， 称为称为脉冲强度脉冲强度。 二二、单位脉冲函数单位脉冲函数的概念及性质的概念及性质 3. 单位脉冲函数单位脉冲函数的图形表示的图形表示 t 1 t 1 t A 其中有向线段的长度其中有向线段的长度 三三、单位脉冲函数单位脉冲函数的的 Fourier 变换变换 由此可见，单位脉冲函数包含所有频率成份，且它们具有由此可见，单位脉冲函数包含所有频率成份，且它们具有 利用筛选性质，可得出利用筛选性质，可得出 函数的函数的 Fourie

32、r 变换：变换： 即即 与与 1 构成构成Fourier变换对变换对 相等的幅度，称此为相等的幅度，称此为均匀频谱均匀频谱或或白色频谱白色频谱。 t 1 w w 1 P128 重要公式重要公式 称这种方式的称这种方式的 Fourier 变换是一种变换是一种广义的广义的Fourier变换变换。 在在 函数的函数的 Fourier 变换中，其广义积分是根据变换中，其广义积分是根据 函数的函数的 注注 性质直接给出的，而不是通过通常的积分方式得出来的，性质直接给出的，而不是通过通常的积分方式得出来的， 三三、单位脉冲函数单位脉冲函数的的 Fourier 变换变换 按照按照 Fourier 逆变换公式

33、有逆变换公式有 解解 (1) (2) 将等式将等式 的两边对的两边对 求导，有求导，有 即得即得 它是工程技术中最常用的函数之一。它是工程技术中最常用的函数之一。 解解 已知已知 又又 1 + + 得得 称称 为为单位阶跃函数单位阶跃函数，也称为，也称为 Heaviside 函数函数， 注注 解解 (1) (2) 由由 ， 有有 + + w w 7.3 Fourier(逆逆)变换的性质变换的性质以下假定所讨论的函数满足以下假定所讨论的函数满足Fourier积分定理积分定理的条件的条件.(1) 线性性质线性性质 设设a a, b b 是常数，是常数， 则则 (2) 位移性质位移性质(3) 相似性

34、质相似性质 (4) 微分性质微分性质设设 并且并且 在在 上存在上存在(n为正整数为正整数). 如果当如果当 时时, 则则 上面是关于时域的微分性质上面是关于时域的微分性质. 类似地也有关于类似地也有关于频域的微分性质频域的微分性质: 设设 并且并且 在在 上存在上存在(n为正整数为正整数). 如果当如果当 时时, 则则 从而可知从而可知 例例1 设设 求求 令令 于是由于是由 可知可知 所以所以 (5) 积分性质积分性质设设 并且并且如果如果 则则 实际上实际上, 只要记住下面五个傅里叶变换只要记住下面五个傅里叶变换, 则则所有的傅里叶变换都无须用公式直接计算而可由所有的傅里叶变换都无须用公

35、式直接计算而可由傅里叶变换的性质导出傅里叶变换的性质导出.定义定义 设函数设函数 和和 都是都是 上的上的 绝对可积函数绝对可积函数, 积分积分称为称为函数函数 和和 在区间在区间 上上的卷积的卷积. 记记为为 或或 , 即即 7.4 卷积卷积如果如果 t0 时时, 则卷积变为则卷积变为 这是这是 上的卷积公式上的卷积公式.卷积具有下面一些性质卷积具有下面一些性质(这里假定所有的广义这里假定所有的广义积分均收敛积分均收敛, 并且允许积分交换次序并且允许积分交换次序):(1) 交换律交换律 (2) 分配律分配律 (3) 结合律结合律 (4) 与单位脉冲函数的卷积与单位脉冲函数的卷积设设 f (t

36、)是是 上的连续函数上的连续函数, 则则 例例 求求 和和 在在 上的上的卷积卷积. 解由解由 上的卷积公式上的卷积公式卷积定理：卷积定理：Fourier变换的应用变换的应用前面已经通过一些例子介绍了前面已经通过一些例子介绍了Fourier 变换在变换在频谱分析中的应用频谱分析中的应用. 下面再给出一个讨论在信息传下面再给出一个讨论在信息传输中不失真问题的例子输中不失真问题的例子.例例 任何信息的传输任何信息的传输, 不论电话、电视或无不论电话、电视或无线电通信线电通信, 一个基本问题是要求不失真地传输信号一个基本问题是要求不失真地传输信号,所谓信号不失真是指输出信号与输入信号相比所谓信号不失

37、真是指输出信号与输入信号相比, 只只 是大小和出现时间不同，而没有波形上的变化是大小和出现时间不同，而没有波形上的变化. 设输入信号为设输入信号为f (t), 输出信号为输出信号为g(t), 信号不信号不失失真的条件就是真的条件就是 其中其中K为常数，为常数，t0是滞后时间是滞后时间. 从频率响应来看从频率响应来看, 为为了使信号不失真了使信号不失真. 应该对电路的传输函数应该对电路的传输函数H(w w)提出提出一定的条件一定的条件. 传输函数传输函数H(w w)f (t)g(t)设设F(w w)和和G(w w)分别是输入信号分别是输入信号f (t)和输出信和输出信号号 g(t)的的Fouri

38、er变换变换. 传输函数传输函数H(w w)G( (w w) )g(t)f (t)F(w w)由由Fourier变换的变换的 可得可得 这说明这说明, 如果要求信号通过线性电路时不产生任何失如果要求信号通过线性电路时不产生任何失真真, 在信号的全部通频带内电路的频率响应必须具有在信号的全部通频带内电路的频率响应必须具有 故要求传输函数故要求传输函数恒定的幅度特性和线性的位相特性恒定的幅度特性和线性的位相特性. 最后介绍应用最后介绍应用Fourier变换求解某些数学物理变换求解某些数学物理方程方程 (偏微分方程偏微分方程)的方法的方法. 在应用在应用 Fourier 变换求变换求解偏微分方程时解

39、偏微分方程时, 首先将未知函数看做某个自变量首先将未知函数看做某个自变量的一元函数的一元函数, 对方程两端取对方程两端取Fourier变换变换, 把偏微分把偏微分方程转化成未知函数为像函数的常微分方程方程转化成未知函数为像函数的常微分方程, 再利再利用所给的条件求常微分方程用所给的条件求常微分方程, 得到像函数后得到像函数后, 再求再求Fourier逆变换逆变换, 即得到偏微分方程的解即得到偏微分方程的解.Fourier变换的应用变换的应用(微分、积分方程的微分、积分方程的Fourier变换解法变换解法)微分、积分微分、积分方程方程取取Fourier变换变换象函数的象函数的代数方程代数方程解代

40、数解代数方程方程 象函数象函数取取Fourier逆变换逆变换象原函数象原函数(方程的解方程的解)求解数学物理方程求解数学物理方程本章内容总结本章内容总结线性性质线性性质对称性质对称性质相似性质相似性质翻转性质翻转性质时移性质时移性质频移性质频移性质时域微分时域微分频域微分频域微分积分性质积分性质卷积性质卷积性质Fourier变换变换d d 函数的函数的Fourier变换变换基本性质基本性质时移性质时移性质频移性质频移性质微分性质微分性质反演公式反演公式本章的重点本章的重点2. 会求简单的会求简单的Fourier变换变换1. Fourier 变换的定义及其性质变换的定义及其性质第七章第七章 完完

41、Jean le Rond DAlembert(1717.11.16-1783.10.29)法国数学家和物理学家法国数学家和物理学家, 被被一个贫穷家庭收养的弃婴一个贫穷家庭收养的弃婴.他是他是18世纪的大数学家世纪的大数学家, 在在很多领域取得了成就很多领域取得了成就, 特别在微分方程和力学等特别在微分方程和力学等方面的贡献尤为突出方面的贡献尤为突出.历史回顾历史回顾 Fourier级数级数 附：附： 1807 年年 12 月月 12 日，在法国科学院举行的一次会议上，日，在法国科学院举行的一次会议上，Fourier 宣读了他的一篇关于热传导的论文，宣称：宣读了他的一篇关于热传导的论文，宣称：

42、在有限区间上由在有限区间上由任意任意图形定义的图形定义的任何任何函数函数都可以表示为单纯的正弦与余弦函数之和。都可以表示为单纯的正弦与余弦函数之和。经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德三人经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德三人( (号称号称 3L) )审阅后，审阅后，认为其推导极不严密，被拒认为其推导极不严密，被拒( (锯锯) )收收。 1811 年，年，Fourier 将修改好的论文：将修改好的论文：提交给法国科学院。提交给法国科学院。关于热传导问题的研究关于热传导问题的研究其新颖、实用，从而于其新颖、实用，从而于 1812 年获得法国科学院颁发的年获得法国科学院颁发的大奖，但仍以其不严密性被大奖，但仍以

43、其不严密性被论文汇编论文汇编拒拒( (锯锯) )收。收。经过评审小组经过评审小组( ( 3L ) )审阅后，认为审阅后，认为历史回顾历史回顾 Fourier级数级数 附：附： 1822 年，年，Fourier 经过十年的努力，终于出版了专著：经过十年的努力，终于出版了专著：热的解析理论热的解析理论这部经典著作将欧拉、伯努利等人在一些特殊情形下使用这部经典著作将欧拉、伯努利等人在一些特殊情形下使用的三角级数方法，发展成内容丰富的一般理论，特别是在的三角级数方法，发展成内容丰富的一般理论，特别是在工程应用方面显示出巨大的价值。工程应用方面显示出巨大的价值。历史回顾历史回顾 Fourier级数级数

44、附：附： 1829 年，德国数学家年，德国数学家 Dirichlet 终于对一类条件较终于对一类条件较“宽宽”的的函数给出了严格的证明。时年函数给出了严格的证明。时年 24 岁。岁。 1830年年 5 月月 16 日，日，Fourier 在巴黎去世。在巴黎去世。启示：启示：(1) 有价值的东西一定是真的；真的东西一定是美的。有价值的东西一定是真的；真的东西一定是美的。(2) 坚持不懈的努力就一定会有收获。坚持不懈的努力就一定会有收获。历史回顾历史回顾 Fourier级数级数 附：附： 解析数论的创始人之一。解析数论的创始人之一。 对数论、数学分析和数学物理有突出贡献。对数论、数学分析和数学物理

45、有突出贡献。 对德国数学发展产生巨大影响。对德国数学发展产生巨大影响。德国数学家(18051859)狄利克雷Dirichlet，Peter Gustav Lejeune人物介绍人物介绍 狄利克雷狄利克雷附：附： 1859年年5月月5日卒于格丁根。日卒于格丁根。 1839年任柏林大学教授。年任柏林大学教授。 1855年接任年接任 C. F. 高斯高斯在哥廷根大学的教授职位。在哥廷根大学的教授职位。 1805年年2月月13日生于迪伦。日生于迪伦。 18221826年在巴黎求学。年在巴黎求学。中学时曾受教于物理学家中学时曾受教于物理学家 G. S. 欧姆欧姆。回国后先后在布雷斯劳大学和柏林军事学院任

46、教。回国后先后在布雷斯劳大学和柏林军事学院任教。人物介绍人物介绍 狄利克雷狄利克雷附：附：附：附：人物介绍人物介绍 傅立叶傅立叶 傅立叶级数、傅立叶分析等理论的始创人。傅立叶级数、傅立叶分析等理论的始创人。 1822年出版经典著作年出版经典著作热的解析理论热的解析理论。“深入研究自然是数学发现最丰富的源泉。深入研究自然是数学发现最丰富的源泉。” J. Fourier法国数学家、物理学家(17681830)傅立叶Fourier，Jean Baptiste Joseph 1801年回国后被任命为格伦诺布尔省省长。年回国后被任命为格伦诺布尔省省长。 1795年任巴黎综合工科大学助教。年任巴黎综合工科

47、大学助教。 1798年随拿破仑军队远征埃及。年随拿破仑军队远征埃及。 1768年年3月月21日生子法国中部欧塞尔一个裁缝家庭。日生子法国中部欧塞尔一个裁缝家庭。 1785年回乡教数学。年回乡教数学。9岁父母双亡，岁父母双亡，12岁由一主教送入军事学校读书。岁由一主教送入军事学校读书。 1817年当选为法国科学院院士。年当选为法国科学院院士。 1822年任法国科学院终身秘书。年任法国科学院终身秘书。 1830年年5月月16日卒于巴黎。日卒于巴黎。附：附：人物介绍人物介绍 傅立叶傅立叶傅立叶的两个最主要的贡献傅立叶的两个最主要的贡献“周期信号都可表示为谐波关系的正周期信号都可表示为谐波关系的正弦信

48、号的加权和弦信号的加权和” 傅里叶的第一个主要论点傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可用正弦信号的加权非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示积分表示” 傅里叶的第二个主要论点傅里叶的第二个主要论点恩格斯恩格斯(Engels) 把傅里叶的数学把傅里叶的数学成就与他所推崇的哲学家黑格尔成就与他所推崇的哲学家黑格尔(Hegel) 的辩证法相提并论的辩证法相提并论.他写道：他写道：傅里叶是一首数学的诗，傅里叶是一首数学的诗，黑格尔是一首辩证法的诗黑格尔是一首辩证法的诗. ( (返回返回) )附：附： 单位脉冲函数的其它定义方式单位脉冲函数的其它定义方式 方式一方式一 令令 则则 t 方式二方式二 ( (20 世纪世纪 50 年代，年代，Schwarz) ) 单位脉冲函数单位脉冲函数 满足满足 其中，其中， 称为称为检验函数检验函数。 ( (返回返回) )