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1、第第9章章 机械振动机械振动简谐振动20110509Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望第第9 9章章 机械振动机械振动 9.1 9.1 简谐振动及相关概念简谐振动及相关概念 9.2 9.2 简谐振动的规律简谐振动的规律 9.3 9.3 简谐振动的合成简谐振动的合成 *9.4 *9.4 阻尼振动、受迫振动、共振阻尼振动、受迫振动、共振 机械振动机械振动：物体在其平衡位置附近作来回往复的运动。：物体在其平衡位置附近作来回往复的运动。一一. .简谐振动及其表达式简谐振动及其表
2、达式弹簧振子：弹簧弹簧振子：弹簧物体系统物体系统 物体物体可看作质点可看作质点 轻弹簧轻弹簧质量忽略不计质量忽略不计 1. 1. 理想模型：理想模型：弹簧振子弹簧振子9.1 简谐振动及相关概念简谐振动及相关概念mkx平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置物物体体略略加加移移动动后后释释放放，物物体体在在其其平平衡衡位位置置附附近近来来回回往复运动往复运动x是描述位置的物理量是描述位置的物理量,如如 y , z 或或 等等.简谐简谐振动振动:特点特点 (1)等幅振动等幅振动 (2)周期振动周期振动2.2.简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程胡克定律胡克定律：
3、牛二定律：牛二定律：受力特点：受力特点：令令得得 简谐振动的微分方程简谐振动的微分方程其通解为：其通解为：简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程（动力学方程）（动力学方程）定义定义2：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位位置的位移置的位移x（或角位移（或角位移 ）随时间）随时间 t 按余弦（或正弦）按余弦（或正弦）规律变化的振动是规律变化的振动是简谐振动简谐振动。定义定义3:若描写运动物体位置的物理量若描写运动物体位置的物理量x满足微分方满足微分方程程,则这个物体所做的运动就是则这个物体所做的运动就是简谐振动简谐振动.（运动学方程）（运动学方程）（动力学
4、方程）（动力学方程）定义定义1:当物体所受的合外力（回复力）与位移当物体所受的合外力（回复力）与位移 成正比且反向时，物体的振动是成正比且反向时，物体的振动是简谐振动简谐振动。二、二、描述简谐振动的特征量描述简谐振动的特征量1.振幅振幅 ：A表示振动的范围（强弱）表示振动的范围（强弱）.描述谐振运动的快慢描述谐振运动的快慢是由系统本身决定的常数，与初始条件无关是由系统本身决定的常数，与初始条件无关（固有角频率）固有角频率）2. 2. 角频率角频率 由谐振动周期性特征看由谐振动周期性特征看的物理意义的物理意义: :周期周期: :物体完成一次全振动所需时间。物体完成一次全振动所需时间。 单位：秒单
5、位：秒(s)频率频率: :单位时间内物体做全振动的次数。单位时间内物体做全振动的次数。单位：赫兹单位：赫兹（Hz）单位：弧度单位：弧度/秒秒 (s-1)x，v有一一对应的关系有一一对应的关系物理意义物理意义 例：例：当当时：时：当当时：时：3. 相位相位 初相位初相位( t + + ) 是是 t 时刻时刻的相位，决定谐振动的相位，决定谐振动物体的运动状态物体的运动状态相位：相位：初相初相 ： t =0 时刻的相位时刻的相位 描述描述 t=0 时刻运动状态时刻运动状态O txA = 2 ( t + )每变化每变化2的整数倍，的整数倍，x、v重复原来的值（回到原状态）重复原来的值（回到原状态），最
6、能直观、方便地反映出谐振动的周期性特征。，最能直观、方便地反映出谐振动的周期性特征。相位：相位：( t + + ) 是是 t 时刻的相位，决定谐振动物体的运动状态时刻的相位，决定谐振动物体的运动状态课堂练习课堂练习1： P236: 9-10解：（解：（1）（2）;3493162p pp pp p = =+ += =+ += =tt;325381p pp pp p = =+ += =+ += =tt以平衡位置为坐标原点建立振动物体的动力学方以平衡位置为坐标原点建立振动物体的动力学方程，必有力与位移成正比反向的关系。程，必有力与位移成正比反向的关系。三、简谐振动方程的建立三、简谐振动方程的建立 1
7、.确定圆频率确定圆频率例如：弹簧振子例如：弹簧振子 单摆单摆 单摆做角谐振动的圆频率单摆做角谐振动的圆频率 振动方程振动方程 角度很小时角度很小时sin第第9章章 机械振动机械振动2.由初始条件由初始条件t=0,x=x0,v=v0确定确定A和和 解：解：例例一质量为一质量为0.01kg的物体作简谐振动，其振幅的物体作简谐振动，其振幅0.08m，周，周期为期为2s，起始时刻物体位移，起始时刻物体位移x=0.04m，并向，并向x轴负方向运动，轴负方向运动，求：求：(1)物体的运动学方程物体的运动学方程；(2)物体第一次运动到平衡物体第一次运动到平衡位置时所需时间。位置时所需时间。(1)简谐振动方程
8、简谐振动方程依题意有依题意有又又由于起始时刻物体向由于起始时刻物体向x轴负方向运动，轴负方向运动，所以方程为所以方程为(2)设物体第一次运动到平衡位置时所需时间设物体第一次运动到平衡位置时所需时间t,则则所以所以例例一质量为一质量为0.01kg的物体作简谐振动，其振幅的物体作简谐振动，其振幅0.08m，周，周期为期为2s，起始时刻物体位移，起始时刻物体位移x=0.04m，并向，并向x轴负方向运动，轴负方向运动，求：求：(1)物体的运动学方程；物体的运动学方程；(2)物体第一次运动到平衡位物体第一次运动到平衡位置时所需时间。置时所需时间。由题意物体第一次运动到平衡位置时向由题意物体第一次运动到平
9、衡位置时向x轴负方向运动轴负方向运动 以以 为为原点旋转矢原点旋转矢量量 的端点的端点在在 轴上的轴上的投影点的运投影点的运动动. .当当 时时 以以 为为原点旋转矢原点旋转矢量量 的端点的端点在在 轴上的轴上的投影点的运投影点的运动动. .时时 旋转旋转矢量矢量 的的端点在端点在 轴上的投轴上的投影点的运影点的运动为简谐动为简谐运动运动. .四、四、 简谐振动的旋转矢量表示简谐振动的旋转矢量表示旋转矢量旋转矢量 与谐振动的对应关系与谐振动的对应关系简谐振动振幅角频率初相振动周期相位位移加速度速度旋转矢量法优点：旋转矢量法优点：直观地表达谐振动的各特征量直观地表达谐振动的各特征量便于解题便于解
10、题, ,特别是确定初相特别是确定初相便于振动合成便于振动合成由初始条件、确定旋转矢量所在位置，由初始条件、确定旋转矢量所在位置，旋转矢量和旋转矢量和轴的夹角即为轴的夹角即为初位相初位相。 课堂练习课堂练习2： P236 9-11Ox -AA课后作业：课后作业：P235 9-9P236 9-12第第9章章 机械振动机械振动以弹簧振子为例：以弹簧振子为例： 某一时刻，谐振子速度为某一时刻，谐振子速度为v，位移为，位移为x二、二、 简谐振动的能量简谐振动的能量简谐运动能量守恒，振幅不变简谐运动能量守恒，振幅不变弹弹簧簧振振子子在在振振动动过过程程中中，系系统统的的动动能能和和势势能能虽虽然然分分别别
11、随随时时间间作作周周期性变化，但总能量却保持恒定，其量值与振幅的平方成正比。期性变化，但总能量却保持恒定，其量值与振幅的平方成正比。9.2 简谐振动的规律简谐振动的规律一一. 位移位移 速度和加速度速度和加速度 （振幅的动力学意义）（振幅的动力学意义）第第9章章 机械振动机械振动简简 谐谐 运运 动动 能能 量量 图图4T2T43T能量能量第第9章章 机械振动机械振动例例 一一弹弹簧簧振振子子的的振振动动方方程程为为 ，其其中中x的单位为的单位为m，t的单位为的单位为s。设弹簧的弹性系数为。设弹簧的弹性系数为k，求：，求：(1)当当 时，系统的动能和势能；时，系统的动能和势能；(2)物体在什么
12、位置，系统的动能与势能相等。物体在什么位置，系统的动能与势能相等。解解:(1)对弹簧振子，系统总能量为对弹簧振子，系统总能量为在在 ，系统势能为，系统势能为系统动能为系统动能为(2)设在设在 处系统动能与势能相等处系统动能与势能相等 9.3 9.3 简谐振动的合成简谐振动的合成一一. 两个同方向、同频率简谐振动的合成两个同方向、同频率简谐振动的合成1. 分振动分振动 : 2. 合振动合振动 : 上式化成简谐振动方程上式化成简谐振动方程r 结论：结论：合振动合振动 x 仍是简谐振动仍是简谐振动旋转矢量法处理谐振动的合成旋转矢量法处理谐振动的合成两个两个同同方向方向同同频频率简谐运动率简谐运动合成
13、合成后仍为后仍为简谐简谐运动运动r 讨论讨论:当当 A1=A2 时时, A=0则则 A=A1+A2 , 振动加强，振动加强，则则A=|A1-A2|, 振动减弱，振动减弱，当当 A1=A2 时时 , A=2A11）若两分振动同相若两分振动同相,即即 2 1= 2k 2）若两分振动反相若两分振动反相,即即 2 1= (2k+1) 3 3）一般情况一般情况第第9章章 机械振动机械振动第第9章章 机械振动机械振动 频率频率较大较大而频率之而频率之差很小差很小的两个的两个同方向同方向简谐运动的简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍拍. .振幅
14、相同不同频率的简谐振动的合成振幅相同不同频率的简谐振动的合成二二 两个同方向不同频率简谐运动的合成两个同方向不同频率简谐运动的合成三三 两个相互垂直的同频率简谐运动的合成两个相互垂直的同频率简谐运动的合成质点运动轨迹质点运动轨迹1 1） 或或 （椭圆方程）（椭圆方程） 讨论讨论合振动轨迹为一条通过原点的直线合振动轨迹为一条通过原点的直线 合振动为简谐振动合振动为简谐振动2 2）3 3）合振动的轨迹是一正椭圆合振动的轨迹是一正椭圆合振动不是简谐振动合振动不是简谐振动简简谐谐运运动动的的合合成成图图两两相相互互垂垂直直同同频频率率不不同同相相位位差差四四 两相互垂直不同频率的简谐运动的合成两相互垂
15、直不同频率的简谐运动的合成测量振动频率测量振动频率和相位的方法和相位的方法李李 萨萨 如如 图图一、简谐振动及其表达式一、简谐振动及其表达式 一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移x（或（或角位移角位移 ）随时间）随时间 t 按余弦（或正弦）规律变化的振动是简谐按余弦（或正弦）规律变化的振动是简谐振动。振动。（运动学方程）（运动学方程）本章小结本章小结（动力学方程）（动力学方程）二、二、描述简谐振动的特征量描述简谐振动的特征量1 1、振幅、振幅 A 2 2、角频率、角频率 ：2s2s内全振动的次数内全振动的次数3 3、相位、相位( t +
16、)初相初相 ： t =0 时刻的相位时刻的相位 三、振动方程的求解三、振动方程的求解1、解析法、解析法2、旋转矢量法、旋转矢量法三三.简谐振动的能量简谐振动的能量动能动能弹性势能弹性势能机械能机械能两个同方向、同频率简谐振动的合成两个同方向、同频率简谐振动的合成四四.简谐振动的合成简谐振动的合成第第9章章 机械振动机械振动例例第第9章章 机械振动机械振动第第9章章 机械振动机械振动第第9章章 机械振动机械振动第第9章章 机械振动机械振动x第第9章章 机械振动机械振动第第9章章 机械振动机械振动AAXXOM ( 0 )A初相初相矢量端点矢量端点在在X X 轴上轴上的投影对的投影对应振子的应振子的
17、位置坐标位置坐标M ( t )twM ( t )twtwM ( t )M ( t )twtwM ( t )twM ( t )M ( t )twM ( t )twM (T )Tw周期 TxOM ( 0 )初相初相M ( t )twAt 时刻的刻的振振动相位相位( t ) )旋旋转矢量矢量A以匀角速以匀角速逆逆时针转动x = A cos ( t ) )简谐运运动方程方程循环往复第第9章章 机械振动机械振动位移位移- -时间曲线时间曲线第第9章章 机械振动机械振动第第9章章 机械振动机械振动第第9章章 机械振动机械振动弹簧振子簧振子x0 = 0t = 0 时v0 = 0.4 ms -1m = 510
18、 - 3 kgk = 210 - 4 Nm -1 完成下述完成下述简谐运运动方程方程20.2(SI)mk0.2 (rad s 1)x0v02 (m)v0x0 = 0已知已知 相相应的旋的旋转矢量矢量图为v0第第9章章 机械振动机械振动例例第第9章章 机械振动机械振动例例第第9章章 机械振动机械振动例例第第9章章 机械振动机械振动例例第第9章章 机械振动机械振动例例第第9章章 机械振动机械振动例例A第第9章章 机械振动机械振动例例. .图图a a、b b为为两两个个简简谐谐振振动动的的位位移移时时间间（xtxt）曲曲线线，用用余余弦弦函函数数表表示示振振动动时时，它它们们的的初初相相分分别别是是 a a= = ， b b= = ，圆圆频频率率分分别别为为 a a= = rad/s, rad/s, b b= = rad/srad/s , ,图图a a曲曲线线上上P P点点的的相相位位 p p= = ，速速度度的的方方向向为为 ，达达到到P P点点的时刻的时刻t=t= s s 负负4/5(b)A10t（秒）X(a)P1Xt(秒)AA/20X
