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1、 1. 1. 什么是什么是“工科数学分析工科数学分析” ” ？ 它有哪些内容？它有哪些内容？也称这门课程为微积分。也称这门课程为微积分。极限理论极限理论微积分的基础微积分的基础函数函数 研究对象研究对象微积分微积分 研究内容研究内容工科数学分析是区别于初等数学的高等数学工科数学分析是区别于初等数学的高等数学工科数学分析工科数学分析 由于高等数学的研究对象和研究方法与初等数由于高等数学的研究对象和研究方法与初等数学有很大的不同，因此高等数学呈现出以下显著特学有很大的不同，因此高等数学呈现出以下显著特点：点：概念更复杂概念更复杂理论性更强理论性更强表达形式更加抽象表达形式更加抽象推理更加严谨推理更
2、加严谨2. 2. 本课程的特点如何？本课程的特点如何？3.3.如何学好本课程？如何学好本课程？一、一、 调整学习心态，尽快适应大学学习环境是调整学习心态，尽快适应大学学习环境是前提前提. 做好以下几点：做好以下几点：1.1.学习要扎扎实实，切忌不求甚解；学习要扎扎实实，切忌不求甚解； 2.2.勤学好问；勤学好问；3.3.摆脱对老师和课堂的依赖心理摆脱对老师和课堂的依赖心理. .二、二、 不断改进学习方法，提高学习效果不断改进学习方法，提高学习效果.1. 学会听课学会听课2. 做好做好预习和复习预习和复习-听思路、重点、难点，听思路、重点、难点，获得整体认识而不是拘泥于细节获得整体认识而不是拘泥
3、于细节3. 解题解题 重视基本概念和原理的理解和重视基本概念和原理的理解和掌握；适当参考一些书籍；掌握；适当参考一些书籍；3.3.如何学好本课程？如何学好本课程？对数学分析课程学习的建议和要求对数学分析课程学习的建议和要求1. 课前预习课前预习-定义、定理、公式、疑点；定义、定理、公式、疑点；2. 不迟到（提前不迟到（提前5分钟），分钟）， 不早退；不早退； 3. 认真听课，适量做笔记；认真听课，适量做笔记；4. 疑问及时记到本子上，合适时间提问；疑问及时记到本子上，合适时间提问；5. 课后及时复习，复习后做作业；课后及时复习，复习后做作业；6. 认真按时完成作业认真按时完成作业. 关于数学分
4、析课程的作业、考试和成绩关于数学分析课程的作业、考试和成绩 考试考试教考分离式教考分离式 期末成绩期末成绩平时成绩平时成绩 15% 期末卷面期末卷面 85% 作业作业写在写在16开散页纸上，抄题。开散页纸上，抄题。作业记平时成绩，每次批作业记平时成绩，每次批1/4, 做记录；做记录； 答疑答疑每周五下午每周五下午2：00-4：00 南南1-217第一章第一章 函数函数, ,极限极限, ,连续连续第一节 集合、映射与函数二、实数的完备性二、实数的完备性 与确界存在原理与确界存在原理一、集合一、集合三、映射与函数三、映射与函数 一、集合一、集合 aAaA 如果如果a a是集合是集合A A的元素的元
5、素 1. 定义和表示法定义和表示法集合集合 具有某种特定性质具有某种特定性质的的对象全体对象全体, , 记为记为 A,B,C,A,B,C, 。元素元素 组成这个集合的个别对象组成这个集合的个别对象, , 记为记为 a,b,ca,b,c, ,注注: A 为数集为数集 表示表示 A 中排除中排除 0 的集的集 ;表示表示 A 中排除中排除 0 与负数的集与负数的集 .空集空集 不含任何元素的集合，记为不含任何元素的集合，记为 。有限集有限集 只有有限个元素的集合只有有限个元素的集合无限集无限集1) 定义定义2 2）集合的表示法）集合的表示法(1) (1) 列举法：列举法： 按某种方式列出集合的全体
6、元素按某种方式列出集合的全体元素例：例： 有限有限集集 自然数集自然数集(2)(2) 描述法：描述法：x 具有的性质具有的性质 整数集整数集 正整数集正整数集例：例：有理数集有理数集 p 与与 q 互质互质实数集实数集 x 为有理数或无理数为有理数或无理数子集子集 ,或称或称 A 包含于包含于B ,2.2. 集合之间的关系及运算集合之间的关系及运算则称则称 A是是B 的的若若且且则称则称 A 与与 B 相等相等,显然有下列关系显然有下列关系 :若若设有集合设有集合记作记作 记作记作必有必有例如例如 , , ,则称则称 A是是B 的的真子集真子集. 记作记作集合的运算集合的运算：设设A,B为两个
7、集合，定义下列运算：为两个集合，定义下列运算：并集并集交集交集且且差集差集余集余集或或且且AI积集积集特例特例:记记为平面上的全体点集为平面上的全体点集集合的运算有下列运算法则：集合的运算有下列运算法则：交换律交换律结合律结合律分配率分配率对偶率对偶率幂等律幂等律吸收率吸收率 实数的完备性是极限理论的基础。实数的完备性是极限理论的基础。有理数：有理数：形如形如 的数。的数。二、实数的完备性二、实数的完备性 与确界存在原与确界存在原理理 1. 1. 实数的完备性实数的完备性有理数的特性：有理数的特性： 对有理运算对有理运算（, , , ,）的封闭性的封闭性稠密性稠密性 即任意两个有理数之间必存在
8、一个有理数。即任意两个有理数之间必存在一个有理数。无无理理数数：不不能能表表成成上上述述形形式式的的数数（或或无无限限十十进进不不循循环环小数）。如小数）。如 ， 等。等。有理数与无理数统称为实数有理数与无理数统称为实数实数布满了整个数轴，实数集与坐标轴上的所有点实数布满了整个数轴，实数集与坐标轴上的所有点是一一对应的，实数集的这个特性称为实数的连续是一一对应的，实数集的这个特性称为实数的连续性性坐标轴坐标轴(数轴数轴): 一条规定了原点和单位长度的有向直线。一条规定了原点和单位长度的有向直线。有理点有理点:有理数在坐标轴上的对应点。有理数在坐标轴上的对应点。无理点无理点:有理点在坐标轴上是处
9、处稠密的。有理点在坐标轴上是处处稠密的。坐标轴上非有理点的点。坐标轴上非有理点的点。图中图中A点不是有理点，点不是有理点，或称或称实数的完备性实数的完备性。有理数不能与坐标轴上的所有点一一对应，有理数不能与坐标轴上的所有点一一对应，因此，因此，有理数集是不完备的有理数集是不完备的。o11Ax定义定义1.1 1.1 （集合的有界性集合的有界性）2.2.确界与确界存在定理确界与确界存在定理 定义定义1.21.2（确界确界）注：注：i)ii)定理定理1.1（确界存在定理确界存在定理）反之不一定成立。反之不一定成立。iii)三、映射与函数三、映射与函数1. 1. 映射映射定义定义1其中其中,y称为称为
10、x x在映射在映射f f下的下的像像，x称为称为y在在f下的下的原像原像； A 称为映射称为映射f的的定义域定义域，记作，记作A中所有元素中所有元素x的像的像y的全体所构成的集合称为的全体所构成的集合称为f的的值域，值域，记作记作注意注意: 1) 映射的要素映射的要素 定义域定义域 、 对应法则对应法则2) 元素元素 x 的的像像 y 是是唯一唯一的的, 但但 y 的的原像原像不一定不一定唯一唯一 . 映射的其它称谓：映射的其它称谓：-11xoGrfy映射的映射的 图像：图像：定理定理1映射的分类映射的分类恒等映射（单位映射）：恒等映射（单位映射）：显然，恒等映射是一一映射显然，恒等映射是一一映射. .映射的映射的 相等：相等：2. 2. 复合映射复合映射与与逆映射逆映射1). 1). 复合映射复合映射则定义映射则定义映射注意注意:可以推广到多个映射的情形可以推广到多个映射的情形. .2). 2). 逆映射逆映射定理定理2证：证： 作作 业业第第 20 20 页页 习题习题1.11.1
