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1、MATLAB的方程的方程(组组)解法解法第六讲王文健MATLAB数据数据处理与理与应用用2011-2012学年学年选修修课MATLAB的方程组解法西南交通大学摩擦学研究所主要内容线性方程(组)的解法非线性方程(组)解法MATLAB统计分析2MATLABMATLAB的方程的方程的方程的方程组组组组解法解法解法解法SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITYSOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY西南交通大学摩擦学研究所简介线性方程(组)直接法在没有舍入的情况下，通过有限步四则运算求得方程组的准确解迭代法先给出一个解的初始值，然后按一定的法则逐步求出解的各个更准确的
2、近似值的方法非线性方程(组)迭代法不动点迭代法、Newton迭代法、BroydenBroyden迭代法3MATLABMATLAB的方程的方程的方程的方程组组组组解法解法解法解法SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITYSOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY西南交通大学摩擦学研究所线性方程线性方程(组组)的解法的解法线性方程的解法对于线性方程可以直接调用roots函数来求解例如：求解x3+5x2-8x+6=0P=15-86;roots(P)求解2x9+43x7+x6-8x5+14x4-5x3+x2-10x+12=0a=20431-814-51-1012;roo
3、ts(a)4MATLABMATLAB的方程的方程的方程的方程组组组组解法解法解法解法SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITYSOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY西南交通大学摩擦学研究所线性方程线性方程(组组)的解法的解法线性方程组的解法直接法利用符号运算“/”或“”来求解直接法一般基于高斯消去法、主元素消去法、平方根法和追赶法等，在MATLAB中这些算法已被编成现成的库函数或运算符，可以直接调用进行求解5MATLABMATLAB的方程的方程的方程的方程组组组组解法解法解法解法SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITYSOUTHWEST J
4、IAOTONG UNIVERSITY西南交通大学摩擦学研究所线性方程线性方程(组组)的解法的解法线性方程组的解法建立系数矩阵和常数矩阵A=21-51;1-30-6;02-12;14-76B=89-50X=AB6MATLABMATLAB的方程的方程的方程的方程组组组组解法解法解法解法SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITYSOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY西南交通大学摩擦学研究所线性方程线性方程(组组)的解法的解法线性方程组的解法利用矩阵的LU、QR和Cholesky分解法求解这三种方法对求解大型方程组非常有用优点是运算速度快、可以节省磁盘空间、节省内存
5、LU分解法Gauss消去分解，可以把任意矩阵分解为下三角矩阵的基本变换形式和上三角矩阵的乘积A=LUL为下三角矩阵，U为上三角矩阵A*X=b变成L*U*X=bX=U(Lb)7MATLABMATLAB的方程的方程的方程的方程组组组组解法解法解法解法SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITYSOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY西南交通大学摩擦学研究所线性方程线性方程(组组)的解法的解法LU分解法A=21-51;1-30-6;02-12;14-76B=89-50L,U=lu(A)X=U(LB)8MATLABMATLAB的方程的方程的方程的方程组组组组解法解法解法
6、解法SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITYSOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY西南交通大学摩擦学研究所线性方程线性方程(组组)的解法的解法Cholesky分解法如果A为对称正定矩阵，则Cholesky分解可将矩阵A分解为上三角矩阵和其转置的乘积，即A=R*R，其中R上三角矩阵A*X=b变成R*R*X=bX=R(Rb)举例：A=1648;45-4;8-422B=28526R=chol(A)X=R(RB)9MATLABMATLAB的方程的方程的方程的方程组组组组解法解法解法解法SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITYSOUTHWEST J
7、IAOTONG UNIVERSITY西南交通大学摩擦学研究所正定矩正定矩阵设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量X=(x_1,.x_n)都有XMX0，就称M正定(PositiveDefinite)。正定矩阵在相合变换下可化为标准型，即单位矩阵。所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,xn)=XAX的矩阵A(A)称为正定矩阵.判定定理判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。判定定理判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。判定定理判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：
8、A合同于单位阵。10MATLABMATLAB的方程的方程的方程的方程组组组组解法解法解法解法SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITYSOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY西南交通大学摩擦学研究所在A变换的作用下，向量仅仅在尺度上变为原来的倍。称是A的一个特征向量，是对应的特征值（本征值）,是（实验中）能测得出来的量，与之对应在量子力学理论中，很多量并不能得以测量，当然，其他理论领域也有这一现象。又称本征本征值。设A是向量空间的一个线性变换，如果空间中某一非零向量通过A变换后所奇异矩阵特征值得到的向量和X仅差一个常数因子，即AX=kX，则称k为A的特征值，X
9、称为A的属于特征值k的特征向量或特征矢量(eigenvector)。如在求解薛定谔波动方程时，在波函数满足单值、有限、连续性和归一化条件下，势场中运动粒子的总能量(正)所必须取的特定值，这些值就是正的本征值。设M是n阶方阵，I是单位矩阵，如果存在一个数使得M-I是奇异矩阵（即不可逆矩阵，亦即行列式为零），那么称为M的特征值。特征值的计算方法n阶方阵A的特征值就是使齐次线性方程组（A-I）x=0有非零解的值，也就是满足方程组A-I=0的都是矩阵A的特征值11MATLABMATLAB的方程的方程的方程的方程组组组组解法解法解法解法SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITYSOUTH
10、WEST JIAOTONG UNIVERSITY西南交通大学摩擦学研究所线性方程线性方程(组组)的解法的解法QR分解法对于任何长方矩阵A，都可以进行QR分解，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵，即A=QRA*X=b变成Q*R*X=bX=R(Qb)举例：A=1648;45-4;8-422B=28526Q,R=qr(A)X=R(QB)12MATLABMATLAB的方程的方程的方程的方程组组组组解法解法解法解法SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITYSOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY西南交通大学摩擦学研究所如果：AA=E（E为单位矩阵，A表示“矩阵A的转置矩阵
11、”。）或AA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵，若A为正交阵，则满足以下条件:1)A是正交矩阵2)AA=E（E为单位矩阵）3)A是正交矩阵4)A的各行是单位向量且两两正交5)A的各列是单位向量且两两正交6)(Ax,Ay)=(x,y)x,yR正交矩正交矩阵通常用字母通常用字母Q表示。表示。举例：A=r11r12r13;r21r22r23;r31r32r33则有：r112+r122+r132=r212+r222+r232=r312+r322+r332=1r11*r12+r21*r22+r31*r32=0等性质正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。在矩阵论中，实数正交矩正交矩阵是方块矩
12、阵Q，它的转置矩阵是它的逆矩阵:，如果正交矩阵的行列式为+1，则我们称之为特殊正交矩特殊正交矩阵:13MATLABMATLAB的方程的方程的方程的方程组组组组解法解法解法解法SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITYSOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY西南交通大学摩擦学研究所线性方程线性方程(组组)的解法的解法迭代解法在MATLAB中迭代法非常适合求解大型系数矩阵的方程组Jacobi迭代法Gauss-Serdel迭代法超松弛迭代法两步迭代法14MATLABMATLAB的方程的方程的方程的方程组组组组解法解法解法解法SOUTHWEST JIAOTONG UN
13、IVERSITYSOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY西南交通大学摩擦学研究所线性方程线性方程(组组)的解法的解法Jacobi迭代法线性方程组Ax=b，如果系数矩阵A为非奇异矩阵，则A可写成A=D.L.U的分解形式，其中D为对角矩阵，元素为A的对角元素，L和U分别为严格的下三角矩阵和上三角矩阵，故迭代形式为：xi+1=D-1(L+U)xi+D-1b对应的Jacobi迭代公式的矩阵为：x(k+1)=Bx(k)+f式中：B=D-1(L+U)=I-D-1Af=D-1b15MATLABMATLAB的方程的方程的方程的方程组组组组解法解法解法解法SOUTHWEST JIAOTONG
14、UNIVERSITYSOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY西南交通大学摩擦学研究所线性方程线性方程(组组)的解法的解法Jacobi迭代法举例：A=10,-1,0;-110-2;0-210;b=9;7;6;jacobi(A,b,0;0;1)16MATLABMATLAB的方程的方程的方程的方程组组组组解法解法解法解法SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITYSOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY西南交通大学摩擦学研究所线性方程线性方程(组组)的解法的解法Gauss-Seidel迭代法线性方程组Ax=b，Gauss-Seidel迭代形式为：X(
15、k+1)=GX(k)+f式中：G为Gauss-Seidel迭代矩阵，G=-(D+L)-1b，f=(D+L)-1b，D为对角矩阵，L和U为严格的下三角和上三角矩阵编制Gauss-Seidel迭代法的M文件17MATLABMATLAB的方程的方程的方程的方程组组组组解法解法解法解法SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITYSOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY西南交通大学摩擦学研究所线性方程线性方程(组组)的解法的解法Gauss-Seidel迭代法举例：A=10,-1,0;-110-2;0-210;b=9;7;6;GS(A,b,0;0;0)18MATLABMAT
16、LAB的方程的方程的方程的方程组组组组解法解法解法解法SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITYSOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY西南交通大学摩擦学研究所线性方程线性方程(组组)的解法的解法SOR迭代法线性方程组Ax=b，SOR迭代形式为：X(k+1)=B0X(k)+f式中：B0为SOR迭代矩阵，B0=(D-wL)-1(1-w)D+wU,f=w(D-wL)-1bD为对角矩阵，L和U为严格的下三角和上三角矩阵编制SOR迭代法的M文件19MATLABMATLAB的方程的方程的方程的方程组组组组解法解法解法解法SOUTHWEST JIAOTONG UNIVER
17、SITYSOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY西南交通大学摩擦学研究所线性方程线性方程(组组)的解法的解法SOR迭代法举例：A=43-1;34-1;1-14;b=19;30;27;w=1.03;SOR(A,b,1;1;1,w)20MATLABMATLAB的方程的方程的方程的方程组组组组解法解法解法解法SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITYSOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY西南交通大学摩擦学研究所线性方程线性方程(组组)的解法的解法双步迭代法线性方程组Ax=b，如果A为对称正定矩阵，双步迭代法形式为：(D-L)x(k+1/2)=Ux
18、(k)+b(D-U)x(k+1)=Lx(k+1/2)+b式中：D为对角阵，L和U为严格的下三角和上三角矩阵编制SOR迭代法的M文件21MATLABMATLAB的方程的方程的方程的方程组组组组解法解法解法解法SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITYSOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY西南交通大学摩擦学研究所线性方程线性方程(组组)的解法的解法双步迭代法举例：A=10-122;-111-13;2-1103;23-18;b=8;25;-11;17;TS_D(A,b,0;0;0;0)22MATLABMATLAB的方程的方程的方程的方程组组组组解法解法解法解法SO
19、UTHWEST JIAOTONG UNIVERSITYSOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY西南交通大学摩擦学研究所非线性方程的解法非线性方程的解法对比法假定函数在a,b区间上是单调函数，且f(a)f(b)options(1)=1;%优化过程显示运算的中间步骤xx=fsolve(x*exp(x-1),xx,options)x,fval,exitflag,output,Jacobian=fsolve(x*exp(x-1),xx)29MATLABMATLAB的方程的方程的方程的方程组组组组解法解法解法解法SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITYSOUTHWES
20、T JIAOTONG UNIVERSITY西南交通大学摩擦学研究所非线性方程的解法非线性方程的解法求解非线性方程的MATALB函数fzero函数调用格式：x=fzero(fun,x0)fun为求解的方程，x0为估计的方程的根或根可能存在的区间。如果x0为一个数值，此函数就在x0附近求出方程的根，如果x0为一个区间，且函数的根包含在该区间内则输出正常的方程根，否则输出错误信息x=fzero(fun,x0,options)通过options指定的优化参数进行求解x,fval=fzero(fun,x0)fval该函数返回值为方程根处的函数值30MATLABMATLAB的方程的方程的方程的方程组组组组
21、解法解法解法解法SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITYSOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY西南交通大学摩擦学研究所非线性方程的解法非线性方程的解法求解非线性方程的MATALB函数fzero函数调用格式：x,fval,exitflag=fzero()exitflag返回函数fzero退出的函数值x,fval,exitflag,output=fzero()output返回优化的信息31MATLABMATLAB的方程的方程的方程的方程组组组组解法解法解法解法SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITYSOUTHWEST JIAOTONG UNI
22、VERSITY西南交通大学摩擦学研究所非线性方程的解法非线性方程的解法求解非线性方程的MATALB函数举例：求解f(x)=3x2-exp(x)+1=0的根命令窗口输入：x0=4;赋初始值fzero(3*x2-exp(x)+1,x0)x1=410;区间未包含根fzero(3*x2-exp(x)+1,x1)x1=35;区间包含根fzero(3*x2-exp(x)+1,x1)32MATLABMATLAB的方程的方程的方程的方程组组组组解法解法解法解法SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITYSOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY西南交通大学摩擦学研究所非线性方程组
23、的解法非线性方程组的解法非线性方程组的求解求解更为复杂、繁琐，一般要采用迭代法进行求解不动点迭代法牛顿迭代法Broyden迭代法33MATLABMATLAB的方程的方程的方程的方程组组组组解法解法解法解法SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITYSOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY西南交通大学摩擦学研究所非线性方程组的解法非线性方程组的解法不动点迭代法思想：有n个未知数和n个方程的非线性方程组，F(x)=0，其迭代形式为：x=g(x)，不动点的迭代公式x(k+1)=g(xk)如果得到的序列x(k)满足limx(k)=x*，则x*为函数g(xk)的不动点举例
24、：求解非线性方程组x1-0.6sinx1-0.3cosx2=0和x2-0.6cosx1+0.3sinx2=01.编制文件BDD.m2.编制函数文件gg.m3.命令窗口输入：y,n=BDD(0.50.5)34MATLABMATLAB的方程的方程的方程的方程组组组组解法解法解法解法SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITYSOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY西南交通大学摩擦学研究所非线性方程组的解法非线性方程组的解法牛顿迭代法思想：有n个未知数和n个方程的非线性方程组，F(x)=0，其迭代形式为：x=g(x)，不动点的迭代公式x(k+1)=x(k)-(F(x(
25、k)-1F(x(k)牛顿迭代法就是需要求解出线性方程组F(x(k)x(k)=-F(x(k)的x(k)，如果x(k)足够小，则得到x(k+1)即为非线性方程组的解举例：求解非线性方程组x12-10x1+x22+8=0和x1x22+x1-10x2+8=01.编制文件NewDD.m2.编制函数文件fx1.m、dfx1.m3.命令窗口输入：y,n=NewDD(00)35MATLABMATLAB的方程的方程的方程的方程组组组组解法解法解法解法SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITYSOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY西南交通大学摩擦学研究所非线性方程组的解法非线性
26、方程组的解法Broyden迭代法思想：牛顿迭代法具有较好的收敛性，但每步都要计算Fg(x(k)的值，用较简单的矩阵A(k)年来代替牛顿迭代法中的Fg(x(k)，就可以较为方便的进行迭代计算举例：求解非线性方程组x1-0.7sinx1-0.2cosx2=0和x2-0.7cosx1+0.2sinx2=01.编制文件Broy.m2.编制函数文件bf.m3.命令窗口输入：x0=0.50.5;y,n=Broy(x0)36MATLABMATLAB的方程的方程的方程的方程组组组组解法解法解法解法SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITYSOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITYMATLAB的方程组解法
