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1、MDNECBFAABCD一、等线段共点 等边三角形共顶点 共顶点等腰直角三角形 共顶点等腰三角形 共顶点等腰三角形 二、按图形分类 1、等腰三角形， 2、等边三角形， 3、等腰直角三角形， 4、正方形 三、按模型分类 1、手拉手模型 2、角含半角模型 3、对角互补模型 4、与勾股定理结合 5、费马点问题 例题精讲 一、手拉手模型 1、已知：如图，点为线段上一点，ACM、CBN是等边三角形 常见结论： （1）ANBM （2）CDCE （3）平分AFB （4）CDE是等边三角形 （5）AFM=60且保持不变 2、如图，在凸四边形ABCD中，30BCD,60DABADAB， 求证：222ACCDBC
2、 3、已知ABC，以为边在ABC外作等腰ACD，其中ACAD。 如图，若2DACABC ，ACBC，四边形ABCD是平行四边形，则_ABC 如图，若30ABC，ACD是等边三角形，3AB ，4BC ，求的长； 如图，若ACD为锐角，作AHBC于，当2224BDAHBC时，2DACABC 是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论。 AHCBDDCBADCBA 二、角含半角模型 4、已知：如图 1在Rt ABC中，90BAC，ABAC，点、分别为线段上两动点，若45DAE探究线段、三条线段之间的数量关系 小明的思路是：把AEC绕点顺时针旋转，得到ABE，连结ED，使问题得到解决请你
3、参考小明的思路探究并解决下列问题： 猜想、三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明； 当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，如图 2，其它条件不变，中探究的结论是否发生改变？说明你的猜想并给予证明 图1ABCDE图2ABCDE 5、在正方形 ABCD中，点 E、F分别在边 BC、CD上，且EAF=CEF=45， （1）将ADF绕着点 A顺时针旋转 90，得到ABG，如图 1， 求证：AEGAEF； （2）若直线 EF与 AB、AD 的延长线分别交于点 M,N，如图 2， 求证：222NFMEEF （3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变，请你直接写出线段EF，BE，D
4、F之间的数量关系。 6、在等边ABC的两边 AB，AC 所在直线上分别有两点 M，N，D为ABC外一点，且60MDN，120BDC，CDBD，探究：当点 M，N 分别爱直线 AB，AC 上移动时，BM，NC，MN 之间的数量关系及AMN的周长与等边ABC的周长 L的关系 如图，当点 M，N 在边 AB，AC 上，且 DM=DN 时，BM，NC，MN 之间的数量关系式_；此时LQ=_ 如图，当点 M，N 在边 AB，AC 上，且DNDM 时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； 如图，当点 M，N 分别在边 AB，CA的延长线上时，若 AN=x，则 Q=_(用 x，L表示)
5、NMDCBANMDCBANMDCBA 图（1） 图（2） 图（3） 三、对角互补类 7、已知：MAN，AC平分MAN 在图 1 中，若90MANDCB ，证明：2ABADAC 在图 2 中，若120MAN，60DCB，探究、三者之间的数量关系，并给出证明； 在图 3 中：若MAN（0180），180DCB，则_ABADAC（用含的三角函数表示,直接写出结果，不必证明） 图3图2图1ABMCDNABMCDNNMDCBA 8、如图 1，正方形ABCD和正方形QMNP，是正方形ABCD的对称中心，MN交于，QM交于 猜想：ME与MF的数量关系 如图 2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且MB，其
6、它条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并加以证明 如图 3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且:1:2AB BC ，其它条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并说明理由 如图 4，若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且MB，:AB BCm，其它条件不变，求出:ME MF的值（直接写出答案） 图4图1图2图3ABCDQPNMEFABCDFEMQPNFEFEABCDQPNMQPNMDCBA 四、直角三角形斜边中点 9、在等腰直角ABC中，90ACB，ACBC，是的中点，点从出发向运动，MQMP 交于点，试说明MPQ的形状和面积将如何变化 APMCQB 10、等腰直角三角形ABC
7、，902ABCABO，为中点，45EOF，求BEF的周长 OFECBA 11、已知 RtABC 中，AC=BC，C=90，D 为 AB边的中点，EDF=90，EDF绕 D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或延长线）于 E、F 当EDF 绕 D点旋转到 DEAC 于 E时（如图 1），易证ABCCEFDEFSSS21 当EDF 绕 D点旋转到 DE和 AC 不垂直时，在图 2和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立， , , 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明 五、等线段共点 12、如图所示，是等边ABC内部一点，3PC ，4PA ，5PB ，求ABC的
8、边长. BPCS=,ABPS= , APCS=,ABCS=, PCBAPCBA 13、为等边ABC内一点，113APB，123APC，求证：以AP、为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各内角的度数. PCBA 14、如图， P为正方形 ABCD 内一点， PA1，PD2，PC3，将PAD绕着 D点按逆时针旋转90到DCM的位置 （1）求APD的度数。 (2)求正方形的边长 MPDCBA 六、费马点问题 15、阅读下列材料 对于任意的ABC，若三角形内或三角形上有一点，若PAPBPC有最小值，则取到最小值时，点为该三角形的费马点。 若三角形内有一个内角大于或等于120，这个内角的顶点就
9、是费马点 若三角形内角均小于120，则满足条件120APBBPCAPC 时，点既为费马点 DEFSCEFSABCS解决问题： 如图，ABC中，三个内角均小于120，分别以、为边向外作等边ABD、ACE，连接、交于点， 证明：点为ABC的费马点。(即证明120APBBPCAPC )且PAPBPCCD PEDCBA 如图，点为三角形内部异于点的一点，证明：QAQCQBPAPBPC QABCDEP 若30ABC，3AB ，4BC ，直接写出PAPBPC的最小值 16、如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，为对角线上任意一点，将BM绕点逆时针旋转得到，连接AM、CM、 求证：AMBENB
10、当点在何处时，AMCM的值最小； 当点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由； 当AMBMCM的最小值为31时，求正方形的边长 17、阅读下列材料： 小华遇到这样一个问题，如图 1, ABC 中，ACB=30，BC=6，AC=5，在ABC 内部有一点 P，连接 PA、PB、PC，求 PA+PB+PC 的最小值 小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题他的做法是，如图 2，
11、将APC绕点C顺时针旋转 60，得到EDC，连接PD、BE，则BE的长即为所求 （1）请你写出图 2 中，PA+PB+PC 的最小值为； （2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题： 如图 3，菱形 ABCD 中，ABC=60，在菱形 ABCD 内部有一点 P，请在图 3 中画出并指明长度等于 PA+PB+PC 最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；若中菱形 ABCD 的边长为 4，请直接写出当 PA+PB+PC 值最小时 PB 的长 七、最值问题 18、已知：2PA ，4PB ，以为一边作正方形ABCD，使、两点落在直线的两侧 . 如图，当45APB时，求及的长； 当APB变化，且其
12、它条件不变时，求的最大值及相应APB的大小. PDCBA 19、如图，已知ABC是等腰直角三角形，BAC=90，点是的中点作正方形DEFG，使点、分别在DG和上，连接、 试猜想线段和的数量关系，请直接写出你得到的结论 将正方形DEFG绕点逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于，小于或等于360），如图，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由 若2BCDE，在的旋转过程中，当为最大值时，求的值 ABCDEFGGFEDCBA 八、综合应用 ENMDCBA20、已知：在Rt ABC中，ABBC，在Rt ADE中，ADDE，连结，取的中点，连结DM和BM 若点在边上，点在边上且与点不重合，如图，探索BM、DM的关系并给予证明； 如果将图中的ADE绕点逆时针旋转小于的角，如图，那么中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明 图1 ABCDEM图2MEDCBA 21、已知：如图，OAB与OCD为等腰直角三角形，90AOBCOD 如图，点、分别在边、上，联结、，点为线段的中点，联结OM，请你猜想OM与的数量关系：（直接写出答案，不必证明）； 如图，在图 1 的基础上，将OCD绕点逆时针旋转一个角度 (900) OM与的数量关系是否仍成立，若成立请证明，若不成立请说明理由； 求证：OMAD
