《2020版高考数学大一轮复习第五章数列第2节等差数列及其前n项和课件理新人教A版.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学大一轮复习第五章数列第2节等差数列及其前n项和课件理新人教A版.ppt（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第2节等差数列及其前等差数列及其前n项和和考试要求1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.体会等差数列与一次函数的关系.知 识 梳 理1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于_，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：an1and(nN*，d为常数).同一个常数2.等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an_.(2)前n项和公式：Sn_.a1(n1)d3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：
2、anam_(n，mN*).(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则_.(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为_的等差数列.(4)若Sn为等差数列an的前n项和，则数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列.(nm)dakalamanmd微点提醒1.已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列，且公差为p.2.在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，d0，则Sn存在最小值.3.等差数列an的单调性：当d0时，an是递增数列；当d0时，an是递减数列；当d0时，an是常数列
3、.4.数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数).基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.()(2)等差数列an的单调性是由公差d决定的.()(3)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.()(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.()解析(3)若公差d0，则通项公式不是n的一次函数.(4)若公差d0，则前n项和不是二次函数.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修5P46A2改编)设数列an是等差数列，其前n项和为Sn，若a62且S530，则S8等于()A.31 B.3
4、2 C.33 D.34答案B3.(必修5P68A8改编)在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8_.解析由等差数列的性质，得a3a4a5a6a75a5450，a590，a2a82a5180.答案1804.(2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和.若3S3S2S4，a12，则a5()A.12 B.10 C.10 D.12又a12，d3，a5a14d24(3)10.答案B5.(2019上海黄浦区模拟)已知等差数列an中，a21，前5项和S515，则数列an的公差为()解析设等差数列an的首项为a1，公差为d，答案D6.(2019苏北四市联考)在等差数列an中，已知a3a8
5、0，且S90，S90，a50，S1，S2，S9中最小的是S5.答案S5考点一等差数列基本量的运算【例1】 (1)(一题多解)(2017全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和.若a4a524，S648，则an的公差为()A.1 B.2 C.4 D.8(2)(2019潍坊检测)设等差数列an的前n项和为Sn，S1122，a412，若am30，则m()A.9 B.10 C.11 D.15解析(1)法一设等差数列an的公差为d，又a4a524，所以a4a22d24168，则d4.(2)设等差数列an的公差为d，依题意得ama1(m1)d7m4030，m10.答案(1)C(2)B规律方法1.等差数列的通
6、项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.【训练1】 (1)等差数列log3(2x)，log3(3x)，log3(4x2)，的第四项等于()A.3 B.4 C.log318 D.log324(2)(一题多解)设等差数列an的前n项和为Sn，S36，S412，则S6_.解析(1)log3(2x)，log3(3x)，log3(4x2)成等差数列，log3(2x)log3(4x2)2log3(3x)，log
7、32x(4x2)log3(3x)2，则2x(4x2)9x2，解之得x4，x0(舍去).等差数列的前三项为log38，log312，log318，(2)法一设数列an的首项为a1，公差为d，所以S66a115d30.法二由an为等差数列，故可设前n项和SnAn2Bn，即Snn2n，则S636630.答案(1)A(2)30考点二等差数列的判定与证明典例迁移(1)证明当n2时，由an2SnSn10，【迁移探究1】 本例条件不变，判断数列an是否为等差数列，并说明理由.解因为anSnSn1(n2)，an2SnSn10，所以当n2时，an1an的值不是一个与n无关的常数，故数列an不是一个等差数列.规律
8、方法1.证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n2的任意自然数，验证anan1为同一常数.(2)等差中项法：验证2an1anan2(n3，nN*)都成立.2.判定一个数列是等差数列还常用到结论：(1)通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列.(2)前n项和公式：SnAn2Bn(A，B为常数)an是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.【训练2】 (2017全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和.已知S22，S36.(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn1，Sn，Sn2是否成等差数列.解(1)设an的公比为q，由题设可得故an的通项公式为an(2)n.(2)由(1)
9、可得故Sn1，Sn，Sn2成等差数列.考点三等差数列的性质及应用多维探究角度1等差数列项的性质【例31】 (2019临沂一模)在等差数列an中，a13a8a15120，则a2a14的值为()A.6 B.12 C.24 D.48解析在等差数列an中，a13a8a15120，由等差数列的性质，a13a8a155a8120，a824，a2a142a848.答案D角度2等差数列和的性质【例32】 设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9等于()A.63 B.45 C.36 D.27解析由an是等差数列，得S3，S6S3，S9S6为等差数列，即2(S6S3)S3(S9S6)，得
10、到S9S62S63S345，所以a7a8a945.答案B规律方法1.项的性质：在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq.2.和的性质：在等差数列an中，Sn为其前n项和，则(1)S2nn(a1a2n)n(anan1)；(2)S2n1(2n1)an.(2)由a3a4a53及等差数列的性质，3a43，则a41.又a4a122a8，得1a1228.a1216115.答案(1)6 057(2)A(3)A考点四等差数列的前n项和及其最值【例4】 (2019衡水中学质检)已知数列an的前n项和为Sn，a10，常数0，且a1anS1Sn对一切正整数n都成立.(1)求数列an的通
11、项公式；两式相减得2an2an1an(n2).所以an2an1(n2)，所以数列bn是单调递减的等差数列，公差为lg 2，规律方法求等差数列前n项和Sn的最值的常用方法：(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Snan2bn(a0)，通过配方或借助图象求二次函数的最值.(2)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，进而求Sn的最值.由d0，解得a13，d2，则n40，得n4，(2)因为等差数列an的首项a120，公差d2，又因为nN*，所以n10或n11时，Sn取得最大值，最大值为110.答案(1)B(2)110思维升华1.证明等差数列可利用定义或等差中项的性质，另外还常用前n项和SnAn2Bn及通项anpnq来判断一个数列是否为等差数列.2.等差数列基本量思想(1)在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于a1，d的方程组进行求解.(2)若奇数个数成等差数列，可设中间三项为ad，a，ad.若偶数个数成等差数列，可设中间两项为ad，ad，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.(3)灵活使用等差数列的性质，可以大大减少运算量.易错防范1.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了an1and(n2)时，应注意验证a2a1是否等于d，若a2a1d，则数列an不为等差数列.2.利用二次函数性质求等差数列前n项和最值时，一定要注意自变量n是正整数.
