最大值、最小值问题

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1、 函数的最值高二数学组高二数学组 崔建欣崔建欣1.1.理解最理解最值的概念，了解函数的极的概念，了解函数的极值与最与最值的的 区区别与与联系系. .( (重点重点) )2.2.掌握用掌握用导数求函数最数求函数最值的方法，会解决一些生的方法，会解决一些生活中的活中的优化化问题. .( (难点点) ) 函数函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间aa，bb上的最大值点上的最大值点x x0 0指的是：指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都函数在这个区间上所有点的函数值都_f(x_f(x0 0);); 函数函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间aa，bb上的最小值点上的最小值点x x0 0指的是：

2、指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都函数在这个区间上所有点的函数值都_f(x_f(x0 0).). 函数的最大值和最小值统称为函数的最大值和最小值统称为_._.探究点探究点1 1 函数的最值的概念函数的最值的概念最值最值不超过不超过不小于不小于x xX X2 2o oa aX X3 3b bx x1 1y y 观察右边一个定义观察右边一个定义在区间在区间a,ba,b上的函数上的函数y=f(x)y=f(x)的图像，你能找的图像，你能找出函数出函数y=fy=f（x x）在区间）在区间aa，bb上的最大值、最上的最大值、最小值吗？小值吗？发现图中发现图中_是极小值，是极小值，_是极大是极大值，在

3、区间上的函数的最大值是值，在区间上的函数的最大值是_，最小值是，最小值是_._.f(xf(x1 1) )、f(xf(x3 3) )f(xf(x2 2) )f(b)f(b)f(xf(x3 3) )练一练练一练探究点探究点2 2 求函数求函数f(x)f(x)在区间在区间aa，bb的最值的最值问题问题1:1: f(x)=x+1 f(x)=x+1在以下区间上的在以下区间上的最小值与最大值：最小值与最大值：x -2x -2，00x 2x 2，44x -2x -2，44f f（-2-2）, ,f(0)f(0)f(2),f(4)f(2),f(4)f(-2),f(4)f(-2),f(4)问题问题2 2 f(x

4、)=x f(x)=x2 2-2x-3-2x-3在以下区间上的在以下区间上的最小值与最大值：最小值与最大值：x -2x -2，00x 2x 2，4 4 x -2x -2，44f f（0 0）,f(-2),f(-2)f(2),f(4)f(2),f(4)f(1),f(-2)f(1),f(-2)或或f f（4 4）问题问题3 3 f(x)=x f(x)=x3 3-3x+3-3x+3在以下区间上的在以下区间上的 最小值与最大值：最小值与最大值：x -2x -2，0 0 x 2x 2，44x -2x -2，44f(-2),f(-1)f(-2),f(-1)f(2),f(4)f(2),f(4)f(-2)f(-

5、2)或或f(1),f(4)f(1),f(4)观察并总结函数最值点取值的规律？观察并总结函数最值点取值的规律？函数函数f(x)f(x)在区间在区间aa，bb上最值的取值规律：上最值的取值规律： 函数的最值或者在极值点取得函数的最值或者在极值点取得, ,或者在区间的或者在区间的端点取得端点取得. .因此因此, ,要想求函数的最值要想求函数的最值, ,应首先求出函应首先求出函数的数的极值极值, ,然后所有的然后所有的极值点极值点与与区间端点的函数值区间端点的函数值进行比较进行比较, ,其中其中最大的值最大的值即为函数的即为函数的最大值最大值, ,最小的最小的值值即为即为最小值最小值. .【提升总结提

6、升总结】例例1 1. .求函数求函数y=f(x)=xy=f(x)=x3 3-2x-2x2 2 +5+5在区间在区间-2-2, ,22上的上的 最大值和最小值最大值和最小值. .x x-2-2(-(-2,0)2,0)0 0 2 2f(x)2020+ +0 0- -0 0+ +4 4f(x)f(x) -11极大值极大值极小值极小值5例题解析例题解析解由解由f(x)=xf(x)=x3 3-2x-2x2 2 +5+5, ,得得 由由 , ,得得x=0,x=x=0,x= 列表如下：列表如下：f(0)=5,f(f(0)=5,f( )= f(-2)=-11,f(2)=5)= f(-2)=-11,f(2)=5

7、y=xy=x3 3-2x-2x2 2+5+5在区间在区间-2-2，22上的最大值是上的最大值是5 5, ,最小值是最小值是-11-11求函数求函数y=xy=x4 4-2x-2x2 2+5+5在区间在区间-2,2-2,2上的最大值与最小值上的最大值与最小值解析解析: :令令 , ,解得解得x=-1,0,1.x=-1,0,1.当当x x变化时变化时, , 的变化情况如下表的变化情况如下表: :x x-2-2(-2,-(-2,-1)1)-1-1(-1,0)(-1,0) 0 0(0,1)(0,1)1 1(1,2)(1,2)2 2 - - 0 0 + +0 0 - -0 0 + +y y1313 4 4

8、 5 5 4 4 1313从上表可知从上表可知, ,最大值是最大值是13,13,最小值是最小值是4.4.【举一反三举一反三】求函数最值的四个步骤求函数最值的四个步骤 第一步第一步 求函数的定义域求函数的定义域. . 第二步第二步 求求 , ,解方程解方程 . . 第三步第三步 列出关于列出关于x,x, ,f(x),f(x)的变化表的变化表. . 第四步第四步 求极值、端点值，确定最值求极值、端点值，确定最值. .【提升总结提升总结】探究点探究点3 3 生活中的最值问题生活中的最值问题利用导数解决生活中的最值问题的基本思路： 解决数解决数 学模型学模型作答作答用函数表示的数学问题用函数表示的数学

9、问题生活中的最值生活中的最值问题问题用导数解决数学问题用导数解决数学问题生活中的最值问题生活中的最值问题的答案的答案例例2 2：一边长为：一边长为48cm48cm的正方形铁皮，四角各截去一个大的正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，小相同的小正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方体容器，可以做成一个无盖长方体容器，所得容器的容积所得容器的容积V V（单位：（单位：cmcm3 3）是关于截去的小正方形的边长是关于截去的小正方形的边长x x（单位（单位:cm:cm）的函数）的函数. . (1)(1)随着随着x x的变化，容积的变化，容积V V是如何变化的？是如何变化的？(2)(2

10、)截去的小正方形的边长为多少时，容器的容积最大截去的小正方形的边长为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？最大容积是多少？点击播放点击播放解解: :（1 1）首先写出）首先写出V V关于关于x x的函数解析式的函数解析式. .根据根据 题意可得题意可得V=fV=f（x x）= =（48-2x48-2x）2 2x x 由实际情况可知函数的定义域为由实际情况可知函数的定义域为x x0x240x24. . 根据导数公式表及求导法则，可得根据导数公式表及求导法则，可得 根据根据x x1 1=8=8，x x2 2=24=24列表，分析导函数的符号得列表，分析导函数的符号得 到函数的单调性与极值点到函数

11、的单调性与极值点x x(0(0，8)8)8 8(8(8，24)24)f(x)f(x)0 0V Vf(x)f(x)极大值极大值x=8x=8是函数的极大值点，相应极大值为是函数的极大值点，相应极大值为V=f(8)=(48-16)V=f(8)=(48-16)2 28=8 192(cm8=8 192(cm3 3).).根据对函数变化规律的讨论可知：根据对函数变化规律的讨论可知：当当0x80x8时，函数时，函数V=f(x)V=f(x)是增加的；当是增加的；当8x8x2424时时,V=f(x),V=f(x)是减少的是减少的. .( (2 2) )区间（区间（0,240,24）上任意点的函数值都不超过）上任

12、意点的函数值都不超过 f(8),f(8),因此因此x=8x=8是函数的最大值点是函数的最大值点. .此时此时V=V=818192cm92cm3 3 即当截去的小正方形的边长为即当截去的小正方形的边长为8cm8cm时，得到的容时，得到的容器容积最大，最大容积为器容积最大，最大容积为8 192 cm8 192 cm3 3. .例例3 3 产量与利润产量与利润 对于企业来说，生产成本、销售收对于企业来说，生产成本、销售收入和利润之间的关系是个重要的问题入和利润之间的关系是个重要的问题. .对一家药品生产对一家药品生产企业的研究表明，该企业的生产成本企业的研究表明，该企业的生产成本y(y(单位：万元单

13、位：万元) )和和生产收入生产收入z(z(单位：万元单位：万元) )都是产量都是产量x x（单位：（单位：t t）的函数，）的函数，分别为分别为y=xy=x3 3-24x-24x2 2+63x+10, z=18x.+63x+10, z=18x.（1 1）试写出该企业获得的生产利润）试写出该企业获得的生产利润w w（单位：万元）（单位：万元）与产量与产量x x之间的函数关系式；之间的函数关系式；（2 2）当产量为多少时，该企业可获得最大利润？最大）当产量为多少时，该企业可获得最大利润？最大利润为多少？利润为多少？解解: :( (1 1) )因为总利润因为总利润= =总收入总收入- -总成本总成本

14、, ,即即w=z-yw=z-y， 所以所以, ,由由w=ww=w( (x x) )=18x-=18x-( (x x3 3-24x-24x2 2+63x+10+63x+10) ), , ( (2 2) )求求w=ww=w( (x x) )的导函数的导函数列表如下列表如下x x(0(0，1)1)1 1(1,15(1,15) )1515(15(15，) )0 0+ +0 0w(x)w(x)极小极小值极大极大值w(0)=-10,w(15)=1 340w(0)=-10,w(15)=1 340, ,故函数故函数w=w(x)w=w(x)的最大值为的最大值为w(15)w(15)= =13401340, ,即该

15、企业的产量为即该企业的产量为15t15t时时, ,可获得最大可获得最大利润利润, ,最大利润为最大利润为13401340万元。万元。【变式练习变式练习】如图如图, ,铁路线上铁路线上ABAB段长段长100km,100km,工厂工厂C C到铁路的到铁路的距离距离CA=20km.CA=20km.现在要现在要在在ABAB上某一处上某一处D,D,向向C C修修一条公路一条公路. .已知铁路每吨已知铁路每吨千米与公路每吨千米的运费之比为千米与公路每吨千米的运费之比为3:5.3:5.为了使原料为了使原料从供应站从供应站B B运到工厂运到工厂C C的运费最省的运费最省,D,D应修在何处应修在何处? ?B D

16、 AC解析解析: :设设DA=xkm,DA=xkm,那么那么DB=(100-x)km,DB=(100-x)km, CD=CD= （kmkm）. .又设铁路上每吨千米的运费为又设铁路上每吨千米的运费为3t3t元元, ,则公路上每吨则公路上每吨千米的运费为千米的运费为5t5t元元. .这样这样, ,每吨原料从供应站每吨原料从供应站B B运到运到工厂工厂C C的总运费为的总运费为令令 , ,在在 的范围内有的范围内有唯一解唯一解x=15x=15, ,比较后可得在比较后可得在x=15x=15处取得最大值。处取得最大值。所以所以, ,当当x=15 km,x=15 km,即即D D点选在距点选在距A A点

17、点1515 kmkm时时, ,总运费最省总运费最省. .【变式练习答案变式练习答案】例例4.4.已知函数已知函数 (1) (1)求求f(x)f(x)的最小值的最小值h(t).h(t). (2) (2)若若h(t)-2t+mh(t)-2t+m对对 恒成立恒成立, ,求实数求实数 m m的取值范围。的取值范围。解解:(1):(1) 所以当所以当x=-tx=-t时时,f(x),f(x)取得最小值。取得最小值。 f(x) f(x)的最小值为的最小值为(2)(2)令令 则则 , ,由由 得得t=-1(t=-1(舍去舍去),t=1,),t=1,列表如下：列表如下：典型例题典型例题t t(0(0,1,1)

18、)1 1( (1,1,2)2)g g(t t) )0 0g(g(t t) )极大值极大值所以所以,g(t),g(t)在在(0,2)(0,2)内有最大值内有最大值g(1)=1-mg(1)=1-m由由h(t)-2t+mh(t)-2t+m对对 恒成立恒成立, ,得得1-m0,1-m1m1所以所以m m的取值范围为的取值范围为典型例题典型例题点评点评: :把恒成立问题转化为求函数最值问题。把恒成立问题转化为求函数最值问题。 注意端点处能否取得注意端点处能否取得, ,本题中函数有最大本题中函数有最大 值值, ,因而端点处不能取。因而端点处不能取。变式训练变式训练函数函数(1)(1)若若f(x)f(x)在

19、在R R上单调上单调, ,求实数求实数a a的值。的值。(2)f(x)(2)f(x)在在 的最大值为的最大值为5,5,求实数求实数a a的取值范围的取值范围. .解解:(1):(1)由由 , ,得得 由题意知由题意知 恒成立恒成立 则则 , ,得得 所以所以a=0 a=0 (2)(2)由由 且且 知知f(x)f(x)在在(0,1)(0,1)上增上增, ,在在 上减上减 在在 上增上增 所以所以f(x)f(x)的最大值为的最大值为f(1)f(1)或或f(2) f(2) 所以所以解得解得所以所以a a的取值范围为的取值范围为由于由于1 1下列说法正确的是下列说法正确的是( )( )A.A.函数的极

20、大值就是函数的最大值函数的极大值就是函数的最大值 B.B.函数的极小值就是函数的最小值函数的极小值就是函数的最小值C.C.函数的最值一定是极值函数的最值一定是极值 D.D.若函数的最值在区间内部取得若函数的最值在区间内部取得, ,则一定是极值则一定是极值2 2. .函数函数y= y= , ,在在1,11,1上上 的最小值为的最小值为( )( ) A.0 A.0 B. B.2 2 C. C.1 1 D. D.3 3. .函数函数 y = xy = x + 3 x + 3 x 9x9x在在 4 , 4 4 , 4 上上的最大值为的最大值为 , ,最小值为最小值为 . .7676-5-54 4. .

21、函数函数f(x)=axf(x)=ax4 4-4ax-4ax2 2+b(a+b(a0,1x2)0,1x2)的最大值的最大值 为为3 3, ,最小值为最小值为-5-5, ,则则a=_,b=_.a=_,b=_.解析：解析：f(x)=4axf(x)=4ax3 3-8ax=4ax(x-8ax=4ax(x2 2-2)=0,-2)=0, 又又f(1)=a-4a+b=b-3a,f(1)=a-4a+b=b-3a, f(2)=16a-16a+b=b,f(2)=16a-16a+b=b, 所以所以 所以所以a=2.a=2.2 23 35 5. .已知函数已知函数f(x)f(x)2x2x3 312x.12x.求函数求函

22、数f(x)f(x)的的 单调递增区间单调递增区间, ,并求函数并求函数f(x)f(x)在在 1 1, ,33上上 的最大值和最小值的最大值和最小值X f(x)00f(x)极大极大值极小极小值回顾本节课你有什么收获？回顾本节课你有什么收获？1.1.函数函数f(x)f(x)在在a,ba,b上的最值的步骤上的最值的步骤: : (1) (1)求求f(x)f(x)在在(a,b)(a,b)内的极值内的极值. . (2) (2)将将f(x)f(x)的各极值与的各极值与f(a)f(a)、f(b)f(b)比较比较, ,其中最其中最大的一个是最大值大的一个是最大值, ,最小的一个是最小值最小的一个是最小值. . 2.2.会利用导数解决生活中的最值问题会利用导数解决生活中的最值问题. . 每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功。