《正弦定理、余弦定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《正弦定理、余弦定理（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四章第四章 4.7 4.7 正弦定理、余弦定理及其应用正弦定理、余弦定理及其应用(2013.山东山东)设ABC的内角的内角A，B，C所所对的的边分分别为a，b，c，且且ac6，b2，cosB(1)求求a，c c的的值；(2)求求sin(AB)的值的值解：解：(1)由余弦定理由余弦定理 2accosB，得，得 2ac(1cosB)，又，又ac6，b2，cosB所以所以ac9，解得，解得a3，c3.由正弦定理得由正弦定理得sinA（2 2）在）在ABCABC中，中，sinBsinB因为因为a ac c，所以所以A为锐角角，因此因此sin(AB)sinA AcosB BcosA AsinB B 类
2、型四判断三角形的形状类型四判断三角形的形状在三角形在三角形ABCABC中，若中，若tanAtanBtanAtanB ，试判断三角形试判断三角形ABCABC的形状的形状由正弦定理由正弦定理得得，所以所以2A2B，或或2A2B，因此因此AB或或AB ，从而从而ABC是等腰三角形或直角三角形是等腰三角形或直角三角形请思考是否还有其他方法请思考是否还有其他方法(2012.上海上海)在在ABC中中A A锐角三角形角三角形 B B直角三角形直角三角形C C钝角三角形角三角形 D D不能确定不能确定类型五解三角形型五解三角形应用用举例例某港口某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正要将一件重要物品用小艇送到
3、一艘正在航行的在航行的轮船上船上在小艇出发时，轮船位于港口在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西北偏西30且与且与该港口相距港口相距20 n milen mile的的A处，并并以以30 n mile/hn mile/h的航行速度沿正的航行速度沿正东方向匀速行方向匀速行驶假假设该小艇沿直小艇沿直线方向以方向以v n mile/hv n mile/h的航行速的航行速度匀速行度匀速行驶，经过t h h与与轮船相遇船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行小艇航行速度的大小速度的大小应为多少？多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到假设小艇的最高航行速度只能达
4、到 30 mile/hmile/h，试设计航行方案航行方案(即确定航行方向和航行速度的即确定航行方向和航行速度的大小大小)，使得小艇能以最短使得小艇能以最短时间与与轮船相遇船相遇，并并说明理由明理由解：解：(1)设相遇时小艇航行的距离为设相遇时小艇航行的距离为S n milen mile，则S S 故当故当t 时，S Sminmin ， 此此时v即小艇以即小艇以30 n mile/h n mile/h的速度航行的速度航行，相遇相遇时小艇的航小艇的航行距离最小行距离最小(2)设小艇与轮船在设小艇与轮船在B处相遇相遇，则又又t 时，v v30.故故v30时，时，t t取得最小取得最小值，且最小且最
5、小值等于等于 . .此此时，在在OAB中中，有有OAOBAB20，故可故可设计航行方案如下：航行方向航行方案如下：航行方向为北偏北偏东30，航行速度航行速度为30 n mile/hn mile/h，小艇能以最短小艇能以最短时间与与轮船相遇船相遇如如图，渔船甲位于船甲位于岛屿A的南偏西的南偏西6060方向的方向的B处，且且与与岛屿A相距相距12海里，海里，渔船乙以船乙以10海里海里/小时的速度从岛小时的速度从岛屿屿A出出发沿正北方向航行沿正北方向航行，若若渔船甲同船甲同时从从B处出出发沿沿北偏北偏东的方向追赶的方向追赶渔船乙船乙，刚好用好用2小时追上小时追上（1）求渔船甲的速度；求渔船甲的速度；
6、 （2）求求sin的的值解：解：(1)依题意，依题意，BACBAC120120，ABAB12，ACAC10220，在在ABC中中，由余弦定理知由余弦定理知BC2 2AB2 2AC2 22ABACcosBACBAC12122 220202 221220cos120120784，BCBC28.所以所以渔船甲的速度船甲的速度为v14(海里海里/小时小时)(2)在在ABC中中，ABAB12，BACBAC120120，BC28，BCABCA，由正弦定理得由正弦定理得1在在ABC中，中，若若a2bcosC C，则ABC的形状一定是的形状一定是()A A直角三角形直角三角形 B B等腰直角三角形等腰直角三角
7、形C C等腰三角形等腰三角形 D D等等边三角形三角形C C4在在ABC中中，sin2 2AAsin2 2B Bsin2 2C CsinB BsinC.C.则A的取值范围是的取值范围是()C C6在在ABC中中，ABCABC ，ABAB ，BCBC3，则sinBACBAC() C C7(2012.湖北湖北)设设ABC的内角的内角A，B B，C C所所对的的边分分别为a，b，c.若若 ab，则角角C_8在在ABC中中，B B60，ACAC，则AB2BC的最的最大大值为_9(2012.辽宁辽宁)在在ABC中中，角角A，B B，C C的的对边分分别为a，b b，c.c.角角A，B B，C C成等差数列成等差数列(1)求求cosB B的的值； (2)边边a，b b，c c成等比数列成等比数列，求求sinA AsinC C的的值解：解：(1)由题意知由题意知ABC，2BAC(2)b2 2ac，cosB B ，由正弦定理得由正弦定理得sin2 2B BsinA AsinC C1cos2 2B B
