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1、定理定理2. 连续单调递增 函数的反函数在其定义域内连续一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算法则定理定理1. 在某点连续的函数经和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明)商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 .例如例如,例如例如,在上连续单调递增，其反函数(递减).(证明略)在 1 , 1 上也连续单调递增.递增(递减)也连续单调定理定理3. 连续函数的复合函数是连续的.在上连续 单调 递增,其反函数在上也连续单调递增.证证: 设函数于是故复合函数又如又如, 且即例如例如,是由连续函数链因此在上连续 .复合而成 ,例例1 . 设均在上连续, 证明函数也在上连
2、续.证证:根据连续函数运算法则 , 可知也在上连续 .二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如例如,的连续区间为(端点为单侧连续)的连续区间为的定义域为因此它无连续点而例例2. 求解解: 原式例例3. 求解解: 令则原式说明说明: 当时, 有例例4. 求求解解:原式说明说明: 若则有例例5. 设解解:讨论复合函数的连续性 .故此时连续; 而故x = 1为第一类间断点 .在点 x = 1 不连续 , 内容小结内容小结基本初等函数在定义区间内在定义区间内连续连续函数的四则运算四则运算的结果连续
3、连续函数的反函数反函数连续连续函数的复合函数复合函数连续初等函数在定义区间内连续说明说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.思考与练习思考与练习续? 反例 x 为有理数 x 为无理数处处间断,处处连续 .反之是否成立? 作业作业P68 3 (5) , (6) , (7) ; 4 (4) , (5) ,(6) ; 5提示提示:“反之” 不成立 .注意注意: 若函数在开区间上连续,结论不一定成立 .一一、最值定理、最值定理定理定理1.1.在闭区间上连续的函数即: 设则使值和最小值.或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大(证明略)点 ,例如例如,无最大值和最小值 也无最大值和最小值
4、 又如又如, 推论推论. 由定理 1 可知有证证: 设上有界 .二、介值定理二、介值定理定理定理2. ( 零点定理 )至少有一点且使( 证明略 )在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 定理定理3. ( 介值定理 ) 设 且则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点证证: 作辅助函数则且故由零点定理知, 至少有一点使即推论推论:使至少有在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最大值之间的任何值 .例例1. 证明方程一个根 .证证: 显然又故据零点定理, 至少存在一点使即说明说明:内必有方程的根 ;取的中点内必有方程的根 ;可用此法求近似根.二分法二分法在区间内至少有则则上连续 , 且恒为正 ,例
5、例2. 设在对任意的必存在一点证证:使令, 则使故由零点定理知 , 存在即当时, 取或, 则有证明:*三三. 一致连续一致连续性性已知函数在区间 I 上连续, 即:一般情形,就引出了一致连续的概念 .定义定义:对任意的都有在在 I 上一致连续上一致连续 .显然:例如例如,但不一致连续 .因为取点则 可以任意小但这说明在 ( 0 , 1 上不一致连续 .定理定理.上一致连续.(证明略)思考思考: P73 题 6提示提示:设存在, 作辅助函数显然1. 任给一张面积为 A 的纸片(如图),证明必可将它思考与练习思考与练习一刀剪为面积相等的两片.提示提示: 建立坐标系如图.则面积函数因故由介值定理可知:备用题备用题 至少有一个不超过 4 的 证证：证明令且根据零点定理 ,原命题得证 .内至少存在一点在开区间显然正根 .
