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1、1.4生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例第一章导数及其应用第一章导数及其应用学习导航学习导航学习目标学习目标重点难点重点难点重重点点:运运用用由由导导数数求求最最值值的的方方法法解解决决生生活活中中的的优化问题优化问题.难点难点:由实际问题建立数学模型由实际问题建立数学模型,并表示为适当并表示为适当的函数关系式的函数关系式.新新知知初初探探思思维维启启动动1.优化问题优化问题生生 活活 中中 经经 常常 遇遇 到到 求求 _、_、_等等问问题题,这这些些问问题题通通常常称为优化问题称为优化问题.利润最大利润最大用料最省用料最省效率最高效率最高2.解决优化问题的基本思路解决优化问题的基本思
2、路函数函数导数导数典典题题例例证证技技法法归归纳纳题型一面积、容积的最值问题题型一面积、容积的最值问题 (本本题题满满分分12分分)用用长长为为90 cm,宽宽为为48 cm的的长长方方形形铁铁皮皮做做一一个个无无盖盖的的容容器器,先先在在四四个个角角分分别别截截去去一一个个小小正正方方形形,然然后后把把四四边边翻翻转转90角角,再再焊焊接接而而成成(如如图图所所示示),问问该该容容器器的的高高为为多多少少时时,容器的容积最大？最大容积是多少？容器的容积最大？最大容积是多少？例例例例1 1【思思路路点点拨拨】设设出出所所截截正正方方形形的的边边长长为为x,则则该该容容器器的的底底面面边边长长和
3、和高高均均可可用用x表表示示,得得到到容积关于容积关于x的函数的函数,用导数法求解用导数法求解.【解解】设设容容器器的的高高为为x cm,容容器器的的体体积积为为V(x)cm3.则则V(x)x(902x)(482x)4x3276x24320x(0x24).3分分V(x)12x2552x432012(x246x360)12(x10)(x36)(0x24).5分分令令V(x)0,得得x110,x236(舍去舍去).当当0x0,V(x)是增函数是增函数;6分分当当10x24时时,V(x)0,V(x)是减函数是减函数.7分分因此因此,在定义域在定义域(0,24)内内,函数函数V(x)只有当只有当x10
4、时取得最大值时取得最大值,其最大值为其最大值为V(10)10(9020)(4820)19600(cm3).10分分故当容器的高为故当容器的高为10 cm时时,容器的容积最大容器的容积最大,最大容积是最大容积是19600 cm3.12分分【名名师师点点评评】解解决决有有关关面面积积、容容积积的的最最值值问问题题,要要正正确确引引入入变变量量,将将面面积积或或容容积积表表示示为为变变量量的的函函数数,结结合合实实际际问问题题的的定定义义域域,利利用用导导数数求求解函数的最值解函数的最值.题型二费用题型二费用(用材用材)最省问题最省问题 一一艘艘轮轮船船在在航航行行中中的的燃燃料料费费和和它它的的速
5、速度度的的立立方方成成正正比比,已已知知在在速速度度为为每每小小时时10千千米米时时的的燃燃料料费费是是每每小小时时6元元,而而其其他他与与速速度度无无关关的的费费用用是是每每小小时时96元元.问问此此轮轮船船以以何何种种速速度度航航行时行时,能使行驶每千米的费用总和最小？能使行驶每千米的费用总和最小？例例例例2 2【名名师师点点评评】实实际际生生活活中中用用料料最最省省、费费用用最最低低、损损耗耗最最小小、最最节节省省时时间间等等都都需需要要利利用用导导数数求求解解相相应应函函数数的的最最小小值值,此此时时根根据据f(x)0求求出出极极值值点点(注注意意根根据据实实际际意意义义舍舍去去不不合
6、合适适的的极极值值点点)后后,函函数数在在该该点点附附近近满满足足左左减减右右增增,则则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值此时唯一的极小值就是所求函数的最小值.例例例例3 3(1)求求a的值的值;(2)若该商品的成本为若该商品的成本为3元元/千克千克,试确定销售试确定销售量价格量价格x的值的值,使商场每日销售该商品所获使商场每日销售该商品所获得的利润最大得的利润最大.于是于是,当当x变化时变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表:由由上上表表可可得得,x4是是函函数数f(x)在在区区间间(3,6)内内的的极大值点极大值点,也是最大值点也是最大值点.x(3,4)4(4,6)f
7、(x)0f(x)单调递增单调递增极大值极大值42单调递减单调递减所所以以,当当x4时时,函函数数f(x)取取得得最最大大值值,且且最最大大值值等于等于42.故故当当销销售售价价格格为为4元元/千千克克时时,商商场场每每日日销销售售该该商品所获得的利润最大商品所获得的利润最大.【名名师师点点评评】解解决决此此类类有有关关利利润润的的实实际际应应用用题题,应应灵灵活活运运用用题题设设条条件件,建建立立利利润润的的函函数数关关系系,常见的基本等量关系有常见的基本等量关系有:(1)利润收入成本利润收入成本;(2)利润每件产品的利润利润每件产品的利润销售件数销售件数.变式训练变式训练某集团为了获得更大的
8、收益某集团为了获得更大的收益,每年要投入一每年要投入一定的资金用于广告促销定的资金用于广告促销,经调查经调查,每年投入每年投入广告费广告费t(百万元百万元),可增加销售额约为可增加销售额约为t25t(百万元百万元)(0t3).(1)若该公司将当年的广告费控制在若该公司将当年的广告费控制在300万万元之内元之内,则应投入多少广告费则应投入多少广告费,才能使该公才能使该公司由此获得的收益最大？司由此获得的收益最大？解解:(1)设设投投入入t(百百万万元元)的的广广告告费费后后增增加加的的收收益益为为f(t),则则有有f(t)(t25t)tt24t(t2)24(0t3),当当t2时时,f(t)取取得
9、得最最大大值值4,即即投投入入2百百万万元元的广告费时的广告费时,该公司由此获得的收益最大该公司由此获得的收益最大.又当又当0x0;当当2x3时时,g(x)0,当当x2时时,g(x)取取得得最最大大值值,即即将将2百百万万元元用用于于技技术术改改造造,1百百万万元元用用于于广广告告促促销销,该该公公司司由由此获得的收益最大此获得的收益最大.方法技巧方法技巧解决优化问题的基本步骤解决优化问题的基本步骤(1)分分析析实实际际问问题题中中各各量量之之间间的的关关系系,列列出出实实际际问问题题的的数数学学模模型型,写写出出实实际际问问题题中中变变量量之之间间的的函数关系函数关系yf(x).(2)求导函
10、数求导函数f(x),解方程解方程f(x)0.方方 法法 感感 悟悟方方 法法 感感 悟悟(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值比较函数在区间端点和极值点的函数值的大小的大小,最大者为最大值最大者为最大值,最小者为最小值最小者为最小值.(4)依据实际问题的意义给出答案依据实际问题的意义给出答案.失误防范失误防范(1)在求实际问题的最大在求实际问题的最大(小小)值时值时,一定要考一定要考虑实际问题的意义虑实际问题的意义,不符合实际意义的值应不符合实际意义的值应舍去舍去.例如例如,长度、宽度应大于零长度、宽度应大于零,销售价格销售价格应为正数等等应为正数等等.(2)得出函数的最大值或最小值之后得出函数的最大值或最小值之后,一定要一定要将数学问题还原成实际问题将数学问题还原成实际问题.知知能能演演练练轻轻松松闯闯关关本部分内容讲解结束本部分内容讲解结束按按ESC键退出全屏播放键退出全屏播放
