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1、第第1212讲讲 椭圆椭圆第12讲椭圆1.已知椭圆+=1(mn0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点,则=.答案答案2n-m解析解析在椭圆+=1(mn0)中,b2=n,c2=m-n,=(+)(-)=|2-|2=b2-c2=n-(m-n)=2n-m.2.椭圆C:+=1的上、下顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是-2,-1,那么直线PA1斜率的取值范围是.答案答案解析解析A1(0,),A2(0,-),设P(x,y),则=-.所以=-.3.在平面直角坐标系中,椭圆的标准方程为+=1(a0,b0),右焦点为F,右准线为l,短轴的一个端点为B,设原点
2、到直线BF的距离为d1,F到l的距离为d2.若d2=d1,则椭圆C的离心率为.答案答案解析解析由题意,得l:x=,d2=-c=.由等面积法可求得d1=.若d2=d1,则=.整理,得a2-ab-b2=0.两边都除以a2,得+-=0.所以=.所以离心率e=.4.如图,椭圆C1:+y2=1的长轴为MN,椭圆C2的短轴为MN,且离心率与C1相同,直线l:x=t与C1交于两点,与C2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.若BOAN,O为坐标原点,则t=.答案答案-解析解析设椭圆C2:+=1.根据题意,得b=2,a2=a2-4,所以a2=16.所以椭圆C2的方程为+=1,A(t,2),B.
3、又N(2,0),ANOB,则AN和OB的斜率相同,即=.解得t=-.题型一椭圆的定义题型一椭圆的定义例例1定圆M:(x+)2+y2=16,动圆N过点F(,0)且与圆M相切,记圆心N的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程;(2)设点A,B,C在E上运动,A与B关于原点对称,且|AC|=|BC|,当ABC的面积最小时,求直线AB的方程.解析解析(1)F(,0)在圆M:(x+)2+y2=16内,圆N内切于圆M.|NM|+|NF|=4|FM|,点N的轨迹E为焦点在x轴上的椭圆,且2a=4,c=,a=2,b=1,轨迹E的方程为+y2=1.(2)当AB为长轴(或短轴)时,SABC=2.当直线AB的斜率存在且不为
4、0时,设直线AB的方程为y=kx.由解得=,=.|OA|2=+=.将上式中的k替换为-,得|OC|2=.SABC=2SAOC=|OA|OC|=.=,当且仅当1+4k2=k2+4,即k=1时,等号成立,此时ABC的面积最小,SABC.2,ABC面积的最小值是,此时直线AB的方程为y=x或y=-x.【方法归纳】利用椭圆的定义可以将椭圆上的点到两个焦点的距离进行转化.一般地,解决与到焦点的距离有关的问题时,首先应考虑用定义来解题,求椭圆的标准方程主要有定义法和待定系数法,有时还可根据已知条件选用代入法.1-1已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,
5、B两点.若AF1B的周长为4,则C的方程为.答案答案+=1解析解析由椭圆的定义可知,AF1B的周长为4a,所以4a=4,a=.又由e=,得c=1.所以b2=a2-c2=2.所以C的方程为+=1.题型二直线与椭圆的位置关系题型二直线与椭圆的位置关系例例2(2018扬州高三考前调研)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(ab0)的短轴长为2,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)已知A为椭圆C的上顶点,点M为x轴正半轴上一点,过点A作AM的垂线AN,与椭圆C交于另一点N,若AMN=60,求点M的坐标.解析解析(1)因为椭圆C的短轴长为2,离心率为,所以又a2=b2+c2,解得所以椭圆C的方程为
6、+=1.(2)因为A为椭圆C的上顶点,所以A(0,).因为M为x轴正半轴上一点,所以直线AM的斜率存在且小于0.又ANAM,所以AN的斜率存在且大于0,设直线AN的方程为y=kx+(k0),则直线AM的方程为y=-x+.由消去y,可得(3k2+1)x2+6kx=0.解得xN=.所以|AN|=|xN|=.在y=-x+中,令y=0,可得xM=k,所以|AM|=.在RtAMN中,由AMN=60,得|AN|=|AM|.所以=(k0).解得k=.所以点M的坐标为.【方法归纳】解决直线与椭圆位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题
7、,涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决,往往会更简单.2-1(2018南京、盐城高三模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(ab0)的下顶点为B,点M,N是椭圆上异于点B的动点,直线BM,BN分别与x轴交于点P,Q,且点Q是线段OP的中点,当点N运动到点处时,点Q的坐标为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设直线MN交y轴于点D,当点M,N均在y轴右侧,且=2时,求直线BM的方程.解析解析(1)由N,Q,得直线NQ的方程为y=x-.令x=0,得点B的坐标为(0,-).所以椭圆的方程为+=1.将点N的坐标代入,得+=1,解得a2=4.所以椭圆C的标准方程为+=1.(2)设直线BM的斜
8、率为k(k0),则直线BM的方程为y=kx-.在y=kx-中,令y=0,得xp=,而点Q是线段OP的中点,所以xQ=.所以直线BN的斜率kBN=kBQ=2k.联立消去y,得(3+4k2)x2-8kx=0.解得xM=.用2k代换k,得xN=.又=2,所以xN=2(xM-xN),得2xM=3xN.故2=3.又k0,解得k=.所以直线BM的方程为y=x-.故直线BM的方程为y=x-.题型三椭圆与圆的综合题型三椭圆与圆的综合例例3(1)(2018江苏,18)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点,焦点为F1(-,0),F2(,0),圆O的直径为F1F2.(1)求椭圆C及圆O的方程;(2)设直线l与
9、圆O相切于第一象限内的点P.若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;直线l与椭圆C交于A,B两点,若OAB的面积为,求直线l的方程.解析解析(1)因为椭圆C的焦点为F1(-,0),F2(,0),所以可设椭圆C的方程为+=1(ab0).又点在椭圆C上,所以解得所以椭圆C的方程为+y2=1.因为圆O的直径为F1F2,所以其方程为x2+y2=3.(2)设直线l与圆O相切于P(x0,y0)(x00,y00),则+=3.所以设直线l的方程为y=-(x-x0)+y0,即y=-x+.由消去y,得(4+)x2-24x0x+36-4=0.(*)因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,且+=3,所以=(-
10、24x0)2-4(4+)(36-4)=48(-2)=0.因为x0,y00,所以x0=,y0=1.因此,点P的坐标为(,1).如图,因为OAB的面积为,所以|AB|OP|=,从而|AB|=.设A(x1,y1),B(x2,y2).由(*)得x1,2=.所以|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=.因为+=3,所以|AB|2=,即2-45+100=0.解得=(=20舍去),则=.因此,点P的坐标为.综上,直线l的方程为y=-x+3.【方法归纳】对于圆与椭圆这类问题的求解,首先,要注意理解直线和圆、椭圆等基础知识及其联系,其次,要对问题的条件进行全方位的审视,特别是题中各个条件之间的相互关系及
11、隐含条件,再次,要掌握解决问题常用的思想方法,如数形结合,化归与转化等思想方法.对于某些涉及线段长度关系的问题,可以通过解方程、求坐标,用距离公式计算长度的方法来解,也可以利用一元二次方程,使相关的点的同名坐标为方程的根,由根与系数的关系求出两根间的关系或者有关线段长度间的关系,从而解决问题.3-1(2018江苏盐城高三模拟)如图,已知F1,F2分别是椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点,点P(-2,3)是椭圆C上一点,且PF1x轴.(1)求椭圆C的方程;(2)设圆M:(x-m)2+y2=r2(r0).设圆M与线段PF2交于两点A,B,若+=+,且AB=2,求r的值;设m=-2,过点P作圆M的
12、两条切线分别交椭圆C于G,H两点(异于点P).试问:是否存在这样的正数r,使得G,H两点恰好关于坐标原点O对称?若存在,求出r的值;若不存在,请说明理由.解析解析(1)因点P(-2,3)是椭圆C上一点,且PF1x轴,所以椭圆C的半焦距c=2.由+=1,得y=,所以=3.化简,得a2-3a-4=0,解得a=4,所以b2=12.所以椭圆C的方程为+=1.(2)因+=+,所以-=-,即=.所以线段PF2与线段AB的中点重合(记为点Q).由(1)知Q,因为圆M与线段PF2交于两点A,B,所以kMQkAB=kMQ=-1.所以=-1.解得m=-.所以|MQ|=.故r=.由G,H两点恰好关于原点对称,设G(x0,y0),则H(-x0,-y0),不妨设x00,因为P(-2,3),m=-2,所以两条切线的斜率均存在.设过点P与圆M相切的直线斜率为k,则切线方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0.
