章傅里叶变换

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1、章傅里叶变换Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望 傅里叶傅里叶17681768年生于法国年生于法国,1807,1807年提年提出出“任何周期信号都可用正弦函数任何周期信号都可用正弦函数级数表示级数表示”, 1822, 1822年在年在“热的分析热的分析理论理论”一书中再次提出。一书中再次提出。18291829年狄年狄里赫利给出傅里叶变换收敛条件。里赫利给出傅里叶变换收敛条件。傅里叶变换得到大规模的应用，则傅里叶变换得到大规模的应用，则是到了上世纪是到了上世纪6060年代之

2、后。年代之后。3.1 傅里叶变换的产生傅里叶变换的产生傅里叶的两个最主要的贡献：傅里叶的两个最主要的贡献：（1）“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和加权和”;（2）“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”.三角函数三角函数就是一个标准的两两正交的函数空间。它满足下列完就是一个标准的两两正交的函数空间。它满足下列完备正交函数的三个条件：备正交函数的三个条件：3.2 周期信号的傅里叶分析周期信号的傅里叶分析1. 归一化：归一化：2. 归一正交化：归一正交化：3. 归一化完备性：可以用其线性组合表示任意信号归一化

3、完备性：可以用其线性组合表示任意信号周期的终点周期的终点 设三角函数的完三角函数的完备函数集函数集为：其中其中三角函数集也可表示为：三角函数集也可表示为：3.2.1 傅里叶级数的三角形式傅里叶级数的三角形式基频基频 周期周期 周期的起点周期的起点 时，有时，有（2 2）“单位单位”常数性，即当常数性，即当 满足满足： （1）正交性：函数集中的任意函数两两相正交，有正交性：函数集中的任意函数两两相正交，有 可以将可以将“任意任意”周期函数周期函数 在这个正交函数集中展开为在这个正交函数集中展开为系系数数称为傅里叶级数称为傅里叶级数 同上式同上式 傅里叶级数的傅里叶级数的三角展开式三角展开式 另一

4、种形式另一种形式 直流分量直流分量 n=1n1基波分量基波分量 n次谐波分量次谐波分量 可展开为傅里叶级数的条件：可展开为傅里叶级数的条件：（2 2） 在区间内有有限个间断点；在区间内有有限个间断点；（1 1） 绝对可积，即：绝对可积，即：（3 3） 在区间内有有限个极值点。在区间内有有限个极值点。Direchlet条件条件傅里叶级数存傅里叶级数存在的充要条件在的充要条件式中，式中， 为为n次谐波振幅。次谐波振幅。 为为n次谐波初始相位。次谐波初始相位。！并非任意周期信号都能进行傅里叶级数展开并非任意周期信号都能进行傅里叶级数展开！ 初始相伴不初始相伴不应该用反正应该用反正切来表示，切来表示，

5、因为它只能因为它只能表示表示pi/2, pi/2，而初始相，而初始相位应该是位应该是0，2pi的，的，所以应用用所以应用用Arg(an+i bn)来表示来表示1. 从三角函数形式的傅里叶级数推导从三角函数形式的傅里叶级数推导3.2.2 傅里叶级数的复指数形式傅里叶级数的复指数形式利用欧拉公式利用欧拉公式:式中式中幅度幅度 相位相位 复指数复指数 幅度幅度 推导有误，推导有误，An与与A-n应应该是共轭的该是共轭的的具体求法如下：的具体求法如下：2. 直接从复变正交函数集推导直接从复变正交函数集推导中展开，有中展开，有在复变正交函数空间在复变正交函数空间将原函数将原函数式中式中例例求求 的指数傅

6、里叶级数和三角傅里叶级数。的指数傅里叶级数和三角傅里叶级数。已知冲激序列已知冲激序列-T0 O T0 2T0 t的三角傅里叶级数为：的三角傅里叶级数为：又又解解求下图中三角波求下图中三角波的三角傅里叶级数。的三角傅里叶级数。则则为为的周期延拓，即的周期延拓，即 将将去除直流分量，则仅剩交流分量去除直流分量，则仅剩交流分量在在内的函数记为内的函数记为（1）将周期函数）将周期函数例例解解A-T0 O T0 2T0 t 故（2 2）利用直接法求解）利用直接法求解故故 常称为常称为f(t)的截断傅里叶级数表示式。的截断傅里叶级数表示式。用MATLAB的符号积分函数int()可表示上式。格式为：（1）i

7、ntf=int(f,v) ； 给出符号表达式给出符号表达式f对指定变量对指定变量v的的（不带积分常数）不定积分；（不带积分常数）不定积分；（2）intf=int(f,v,a,b) ； 给出符号表达式给出符号表达式f对指定变量对指定变量v的定积分。的定积分。3.2.3 傅里叶级数的傅里叶级数的MATLAB仿真实现仿真实现3.3 周期信号的对称性周期信号的对称性 1纵轴对称性纵轴对称性 （1）如果原函数是偶函数，则其傅里叶级数中只有）如果原函数是偶函数，则其傅里叶级数中只有直流和余弦分量（即偶函数之和仍然是偶函数）。直流和余弦分量（即偶函数之和仍然是偶函数）。 （2）如果原函数是奇函数，则其傅里叶

8、级数中只有）如果原函数是奇函数，则其傅里叶级数中只有正弦分量（即奇函数之和仍然是奇函数）。正弦分量（即奇函数之和仍然是奇函数）。满足满足 的周期为的周期为T 的的函数；即平移半个周期后的信号与原函数；即平移半个周期后的信号与原信号关于横轴对称。信号关于横轴对称。定义：定义：l 奇谐函数奇谐函数l 偶谐函数偶谐函数满足满足 的周期为的周期为T 的的函数；即函数；即平移半个周期后信号与原信号重合。2横轴对称性横轴对称性（2）偶谐函数的傅里叶级数中只有偶次谐波分量。）偶谐函数的傅里叶级数中只有偶次谐波分量。（1）奇谐函数的傅里叶级数中只有奇次谐波分量）奇谐函数的傅里叶级数中只有奇次谐波分量。 如果原

9、信号既不是奇谐函数也不是偶谐函数，那如果原信号既不是奇谐函数也不是偶谐函数，那么其傅里叶级数展开式中就会既包含有奇次谐波分么其傅里叶级数展开式中就会既包含有奇次谐波分量也包含有偶次谐波分量。量也包含有偶次谐波分量。！利用奇谐函数、偶谐函数性质的时候，最好将利用奇谐函数、偶谐函数性质的时候，最好将其直流分量去掉，以免发生误判。其直流分量去掉，以免发生误判。已知奇谐函数：已知奇谐函数：例例解解3.4 常见周期信号的频谱常见周期信号的频谱3.4.1 频谱的概念频谱的概念频频谱谱图图表示信号含有的各个频率分量表示信号含有的各个频率分量的幅度值。其横坐标为频率的幅度值。其横坐标为频率 （单位为赫兹），纵

10、坐标对应各（单位为赫兹），纵坐标对应各频率分量的幅度值频率分量的幅度值 。l 振幅频谱振幅频谱（幅频特性图）（幅频特性图）表示信号含有的各个频率分量表示信号含有的各个频率分量的相位。其横坐标为频率；纵坐的相位。其横坐标为频率；纵坐标对应各频率分量的相位标对应各频率分量的相位 （单（单位常用度或弧度）。位常用度或弧度）。l 相位频谱相位频谱（相频特性图）（相频特性图）例例，求频谱，求频谱解解（1 1）单边频谱：）单边频谱： （2）双边频谱：）双边频谱： 包络线包络线 频谱图随参数的变化规律：频谱图随参数的变化规律： 1）周期）周期T不变，脉冲宽度不变，脉冲宽度 变化变化第一个过零点：第一个过零点

11、：谱线间隔谱线间隔情况情况1 1：第一个过零点为第一个过零点为n =4 。 在在 有值（谱线）有值（谱线） 第一个过零点第一个过零点第一个过零点第一个过零点n n=8=8=8=8 情况情况2 2：脉冲宽度缩小一倍脉冲宽度缩小一倍第一个过零点增加一倍第一个过零点增加一倍谱线间隔不变谱线间隔不变幅值减小一倍幅值减小一倍第一个过零点为第一个过零点为第一个过零点为第一个过零点为n n =16=16。情况情况3 3：脉冲宽度再缩小一倍脉冲宽度再缩小一倍示意图示意图 第一个过零点再增加一倍第一个过零点再增加一倍谱线间隔不变谱线间隔不变幅值再减小一倍幅值再减小一倍 由大变小，由大变小，Fn 第一过零点频率增

12、大，即第一过零点频率增大，即 所以所以 称为信号的带宽，称为信号的带宽， 确定了带宽。确定了带宽。 由大变小，频谱的幅度变小。由大变小，频谱的幅度变小。由于由于 T 不变，谱线间隔不变，即不变，谱线间隔不变，即 不变。不变。结结 论论 第一个过零点第一个过零点情况情况 1：时，谱线间隔时，谱线间隔2）脉冲宽度）脉冲宽度 不变不变, 周期周期T变化变化 示意图示意图 第一个过零点第一个过零点谱线间隔谱线间隔幅值幅值: : 第一个过零点第一个过零点 情况情况 2：时，谱线间隔时，谱线间隔周期周期T T扩展一倍扩展一倍示意图示意图 谱线间隔减小一倍谱线间隔减小一倍第一个过零点不变第一个过零点不变幅值

13、减小一倍幅值减小一倍 第一个过零点第一个过零点 情况情况 3：时，谱线间隔时，谱线间隔周期周期T T再扩展一倍再扩展一倍示意图示意图 谱线间隔再减小一倍谱线间隔再减小一倍幅值再减小一倍幅值再减小一倍 第一个过零点不变第一个过零点不变 不不变，变，F Fn n 的第一个过零点频率不变，的第一个过零点频率不变，即即 带宽不变。带宽不变。T T 由小变大，谐波频率成分丰富，且频谱幅度变小。由小变大，谐波频率成分丰富，且频谱幅度变小。 T T 时时，谱线间隔，谱线间隔 0 0 ，这时：，这时： 周期信号周期信号 非周期信号；离散频谱非周期信号；离散频谱 连续频谱连续频谱结结 论论典型周期信号的频谱分析

14、，可利用傅里叶级数或傅典型周期信号的频谱分析，可利用傅里叶级数或傅里叶变换。典型周期信号如下：里叶变换。典型周期信号如下： 1. 1. 周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号 2 2. 周期对称方波信号周期对称方波信号 3 3. 周期锯齿脉冲信号周期锯齿脉冲信号 4 4. 周期三角脉冲信号周期三角脉冲信号 5 5. 周期半波余弦信号周期半波余弦信号 6 6. 周期全波余弦信号周期全波余弦信号3.4.2 常见周期信号的频谱常见周期信号的频谱1. 周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号 (1) (1) 周期矩形脉冲信号的傅里叶级数求解周期矩形脉冲信号的傅里叶级数求解设周期矩形脉冲：脉宽为设周期矩形脉冲：脉宽为

15、 ，脉冲幅度为，脉冲幅度为E，周期为，周期为T1（2 2）周期矩形脉冲信号的幅度、相位谱）周期矩形脉冲信号的幅度、相位谱相位谱相位谱幅度谱幅度谱复数频复数频实数频谱实数频谱幅度谱与相位谱合并幅度谱与相位谱合并 周期对称方波信号是周期矩形信号的一种特殊情况，周期对称方波信号是周期矩形信号的一种特殊情况，对称方波信号有两个特点：对称方波信号有两个特点：(1)(1)是正负交替的信号，其直流分量是正负交替的信号，其直流分量a0等于零；等于零；(2)(2)它的脉宽恰等于周期的一半，即它的脉宽恰等于周期的一半，即t = =T1/2/2。2. 2. 周期对称方波信号的傅里叶级数周期对称方波信号的傅里叶级数幅

16、度谱幅度谱相位谱相位谱3. 3. 周期锯齿脉冲信号的傅里叶级数求解周期锯齿脉冲信号的傅里叶级数求解周期锯齿脉冲信号，是奇函数故周期锯齿脉冲信号，是奇函数故 ，可求出傅里叶级数系数可求出傅里叶级数系数bn。如何求如何求bn留作思考！留作思考！其傅里叶级数表达式为：其傅里叶级数表达式为：此信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅此信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅度以度以1/n的规律收敛。的规律收敛。4. 4. 周期三角脉冲信号的傅里叶级数求解周期三角脉冲信号的傅里叶级数求解周期三角脉冲信号，是偶函数，故周期三角脉冲信号，是偶函数，故 ，可求出傅里叶级数系数可求出傅里叶级数系数a0 、an。如何求如何求

17、bn留作思考！留作思考！此信号的频谱只包含直流、基波及奇次谐此信号的频谱只包含直流、基波及奇次谐波分量，谐波的幅度以波分量，谐波的幅度以1/n2 2的规律收敛。的规律收敛。其傅里叶级数表达式为：其傅里叶级数表达式为：5. 5. 周期半波余弦信号的傅里叶级数求解周期半波余弦信号的傅里叶级数求解周期半波余弦信号，是偶函数，故周期半波余弦信号，是偶函数，故 ，可求出傅里叶级数系数可求出傅里叶级数系数a0 、an。如何求如何求bn留作思考！留作思考！此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量，谐波的幅度以分量，谐波的幅度以1/n2 2的规律收敛。的规律收敛。其傅里

18、叶级数表达式为其傅里叶级数表达式为：6. 6. 周期全波余弦信号的傅里叶级数求解周期全波余弦信号的傅里叶级数求解周期全波余弦信号，是偶函数。周期全波余弦信号，是偶函数。令余弦信号为令余弦信号为则，全波余弦信号为：则，全波余弦信号为：此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量，谐波的幅度以波分量，谐波的幅度以1/n2的规律收敛。的规律收敛。其傅里叶级数表达式为：其傅里叶级数表达式为：如果用有限如果用有限傅里叶级数代替无穷傅里叶级数表示信傅里叶级数代替无穷傅里叶级数表示信号，必然引进一个误差。如果完全逼近，则号，必然引进一个误差。如果完全逼近，则 n= .实际中

19、，实际中，n=N, N是有限整数。是有限整数。如果如果 N愈接近愈接近 n ，则，则 其均方误差愈小其均方误差愈小若用若用2N1项逼近，则项逼近，则3.4.3 吉布斯效应吉布斯效应误差函数和均方误差误差函数和均方误差误差函数误差函数均方误差均方误差对称方波对称方波, , 是偶函数且奇谐函数。是偶函数且奇谐函数。所以其只有奇次谐波的余弦项。所以其只有奇次谐波的余弦项。例例-E/2T1/4-T1/4tE/2o对称方波有限项的傅里叶级数对称方波有限项的傅里叶级数 （N=1N=1、2 2、3 3时的逼近波形）时的逼近波形）（3）N=3:（1）N=1:（2）N=2:-0.5-0.4-0.3-0.2-0.

20、100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81有限项的有限项的N越大，误差越小例如越大，误差越小例如: N=9-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81N越大，越接近方波越大，越接近方波快变信号，高频分量，主要影响跳变沿；快变信号，高频分量，主要影响跳变沿；慢变信号，低频分量，主要影响顶部；慢变信号，低频分量，主要影响顶部；任一分量的幅度或相位发生相对变化时，任一分量的幅度或相位发生相对变化时，波形将会失真；波形将会失真；有吉伯斯现象发生。有吉伯斯现

21、象发生。结论结论以周期矩形脉冲以周期矩形脉冲为例：为例：只需修改上面程序只需修改上面程序(3.2.3节节)中函数中函数CTFShchsym.m的内容，需注意：因周期信号频谱的内容，需注意：因周期信号频谱是离散的，故在绘制频谱时采用是离散的，故在绘制频谱时采用stem而非而非plot命令。命令。谐波阶数取谐波阶数取还需用到还需用到MATLAB的反褶函数的反褶函数fliplr来实现频谱的来实现频谱的反褶。反褶。 上机练习！上机练习！3.4.4 周期信号的周期信号的MATLAB仿真实现仿真实现对周期矩形脉冲信号，有对周期矩形脉冲信号，有3.5 非周期性信号的频谱非周期性信号的频谱3.5.1 从傅里叶

22、级数到傅里叶变换从傅里叶级数到傅里叶变换谱线间隔谱线间隔谱线间隔谱线间隔0 从物理概念考虑：信号的能量存在，其频谱从物理概念考虑：信号的能量存在，其频谱分布的规律就存在。分布的规律就存在。由于由于1从周期信号到非周期信号从周期信号到非周期信号 从傅里叶级数到傅里叶变换从傅里叶级数到傅里叶变换信号的频谱分布是不会随着信号的周信号的频谱分布是不会随着信号的周期的无限增大而消失的。期的无限增大而消失的。T 时，信时，信号的频谱分布仍然存在。号的频谱分布仍然存在。 结论结论无限多个无穷小量之和仍可等于一个有限量。无限多个无穷小量之和仍可等于一个有限量。 从数学角度来看：从数学角度来看：所以，傅里叶级数

23、展开为：所以，傅里叶级数展开为：为频谱密度函数。为频谱密度函数。定义定义周期信号：周期信号：频谱是离散的，且各频率分量频谱是离散的，且各频率分量的复振幅的复振幅 为有限值。为有限值。非周期信号：非周期信号：频谱是连续的，且各频率分量的频谱是连续的，且各频率分量的复振幅复振幅 为无限小量。为无限小量。 所以，对非周期信号来说，仅仅去所以，对非周期信号来说，仅仅去研究那无限小量是没有意义的，其频研究那无限小量是没有意义的，其频谱不能直接引用复振幅的概念。谱不能直接引用复振幅的概念。！2傅里叶逆变换傅里叶逆变换怎样用怎样用计算计算3. 正、逆傅里叶变换正、逆傅里叶变换反变换反变换正变换正变换!傅里叶

24、变换对的形式并不唯一傅里叶变换对的形式并不唯一傅里叶变换存在的充分条件傅里叶变换存在的充分条件:用广义函数的概念，允许奇异函数也能满足上述条件，用广义函数的概念，允许奇异函数也能满足上述条件，因而象阶跃、冲激一类函数也存在傅里叶变换。因而象阶跃、冲激一类函数也存在傅里叶变换。4傅傅里叶变换的另外几种形式里叶变换的另外几种形式 本节主要介绍以下几种典型的非周期信号的频谱。本节主要介绍以下几种典型的非周期信号的频谱。1.1.单边指数信号单边指数信号 6 6. 符号函数符号函数2 2. 双边指数信号双边指数信号 7 7. 冲激函数傅里叶变换对冲激函数傅里叶变换对 3 3. 奇双边指数信号奇双边指数信

25、号 8 8. 冲激偶的傅里叶变换冲激偶的傅里叶变换 4 4. 矩形脉冲信号矩形脉冲信号 9. 阶跃信号的傅里叶变换阶跃信号的傅里叶变换5 5. 钟形脉冲信号钟形脉冲信号 1010. 复正弦信号复正弦信号 3.5.2 常见信号的傅里叶变换常见信号的傅里叶变换1. 单边指数信号的傅里叶变换单边指数信号的傅里叶变换 其傅里叶变换为：其傅里叶变换为：利用傅里叶变换定义公式利用傅里叶变换定义公式时域波形单边指数信号的频谱如下：单边指数信号的频谱如下：频域频谱2. 双边指数信号的傅里叶变换双边指数信号的傅里叶变换 其傅里叶变换为：其傅里叶变换为：（正实函数）（正实函数）利用傅里叶变换定义公式利用傅里叶变换

26、定义公式求解过程求解过程时时域域波波形形双边指数信号的频谱如下：双边指数信号的频谱如下：频频域域频频谱谱相位相位3. 3. 奇双边指数信号的傅里叶变换奇双边指数信号的傅里叶变换频域频谱频域频谱时域波形时域波形频谱如下：频谱如下：4. 矩形脉冲信号的傅里叶变换矩形脉冲信号的傅里叶变换实函数实函数时域有限的矩形脉冲信时域有限的矩形脉冲信号，在频域上是无限分号，在频域上是无限分布。常认为信号占有频布。常认为信号占有频率范围（率范围（频带频带B）为）为5. 5. 钟形脉冲信号的傅里叶变换钟形脉冲信号的傅里叶变换 （高斯脉冲）（高斯脉冲）其傅里叶变换为：其傅里叶变换为：（正实函数）（正实函数）因为钟形脉

27、冲信号是因为钟形脉冲信号是一正实函数，所以其一正实函数，所以其相位频谱为零相位频谱为零。时域波形时域波形频域频谱频域频谱6. 符号函数的傅里叶变换符号函数的傅里叶变换其傅里叶变换为：其傅里叶变换为：（纯虚数函数）（纯虚数函数） 符号函数不满足绝对可积符号函数不满足绝对可积条件，但它却存在傅里叶变换。条件，但它却存在傅里叶变换。 采用符号函数与双边指数采用符号函数与双边指数衰减函数相乘，求出奇双边指衰减函数相乘，求出奇双边指数的频谱，再取极限，从而求数的频谱，再取极限，从而求得符号函数的频谱。得符号函数的频谱。7. 冲激函数傅里叶变换对冲激函数傅里叶变换对直流信号的傅里叶变换是冲激函数直流信号的

28、傅里叶变换是冲激函数！均匀谱或白色谱均匀谱或白色谱1Oto1OtO8. 8. 冲激偶的傅里叶变换冲激偶的傅里叶变换冲激偶的傅里叶变换冲激偶的傅里叶变换 记为 同理，有同理，有9. 9. 阶跃信号的傅里叶变换阶跃信号的傅里叶变换阶跃信号的傅里叶变换阶跃信号的傅里叶变换 幅频特性幅频特性 相频特性相频特性 u(t)Ot1O10复正弦信号复正弦信号 的傅里叶变换为一位于的傅里叶变换为一位于且强度为且强度为的冲激函数。的冲激函数。 结论结论O升余弦脉冲信号的傅里叶变换升余弦脉冲信号的傅里叶变换 补充补充升余弦脉冲信号：升余弦脉冲信号：其傅里叶变换为：其傅里叶变换为：（实数）（实数）其频谱由三项构成，均

29、为矩其频谱由三项构成，均为矩形脉冲频谱，只是有两项沿形脉冲频谱，只是有两项沿频率轴左、右平移了频率轴左、右平移了利用傅里叶变换定义公式利用傅里叶变换定义公式化简得：化简得：求解过程求解过程3.5.3 MATLAB仿真实现仿真实现MATLAB数学工具箱数学工具箱Symbolic Math Toolbox提供提供了能直接求解傅氏变换及逆变换的函数了能直接求解傅氏变换及逆变换的函数fourier()和和ifourier()。（1）傅里叶变换调用格式）傅里叶变换调用格式1）F=fourier(f) 2）F=fourier(f,v) 3）F=fourier(f,u,v) （2）傅里叶逆变换调用格式）傅里

30、叶逆变换调用格式1）f=ifourier(F) 2）f=ifourier(F,u) 3）f=ifourier(F,v,u) 在调用在调用fourier()和和ifourier()之前，要用之前，要用syms命令对所用到命令对所用到的变量进行说明，即将这些变量说明成符号变量。对的变量进行说明，即将这些变量说明成符号变量。对fourier()中的函数中的函数f及及ifourier()中的函数中的函数F也要用符号定义符也要用符号定义符syms将将f或或F说明为符号表达式；若说明为符号表达式；若f或或F是是MATLAB中的通用中的通用函数表达式，则不必用函数表达式，则不必用syms加以说明。加以说明。

31、 ！书中例题可上机练习书中例题可上机练习时间函数时间函数 频谱频谱某种运算某种运算 变化变化 变变 化化 运算运算3.6 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质1. 1. 傅里叶变换的唯一性傅里叶变换的唯一性傅里叶变换的唯傅里叶变换的唯一性表明了信号一性表明了信号的时域和频域是的时域和频域是一一对应的关系一一对应的关系。 ！2.2.对称性（频域、时域呈现的对应关系）对称性（频域、时域呈现的对应关系）若若 ，则，则即即证明证明证毕证毕如冲激和直流函数的频谱的对称性就是一例子：如冲激和直流函数的频谱的对称性就是一例子：！若若 为偶函数，为偶函数，则则 或或 即即f(t)为偶函数为偶函数，则时域和频域完全

32、对称。，则时域和频域完全对称。F()OOOOF(t)tt（1）冲激函数）冲激函数（2）直流函数）直流函数1OO1OOFT对对称称性性t 换成换成f 换成换成F1换换成成例例解解 3. 3. 线性（叠加性、均匀性）线性（叠加性、均匀性） 相加信号频谱各个单独信号的频谱之和相加信号频谱各个单独信号的频谱之和证明证明推论推论求求 f(t) 的傅里叶变换的傅里叶变换例例解解4. 4. 奇偶虚实性奇偶虚实性无论无论 f (t) 是实函数还是复函数，下面四式均成立是实函数还是复函数，下面四式均成立:时域反摺时域反摺频域也反摺频域也反摺时域共轭频域时域共轭频域共轭并且反摺共轭并且反摺更广泛地讲，函数更广泛地

33、讲，函数f(t)是是t的复数；令的复数；令虚部虚部实部实部整理上式得出：整理上式得出：把式（把式（2）、（）、（3）代入式（）代入式（1）整理得：）整理得：性质性质1 实数函数实数函数 设设f(t)是是t的实函数的实函数,则则 的实部与虚部将的实部与虚部将分别等于分别等于 f2(t)=0，f(t)=f1(t)，则有，则有 特殊情况讨论：特殊情况讨论：从上式可以得出结论从上式可以得出结论: : 实信号的频谱具有很重要的特点，正实信号的频谱具有很重要的特点，正负频率部分的频谱是相互共轭的负频率部分的频谱是相互共轭的. .特点特点偶函数偶函数奇函数奇函数性质性质2 虚函虚函数数设设f(t)是纯虚函数

34、是纯虚函数则则反之也正确反之也正确. .因而因而 是是 的奇函数的奇函数, ,而而 是是 的偶函数。的偶函数。性质性质3 实偶函数实偶函数实偶函数的傅里叶实偶函数的傅里叶变换仍为实偶函数变换仍为实偶函数结论结论反之，若一实函数反之，若一实函数f(t)的傅里叶积分的傅里叶积分也是实函数，则也是实函数，则f(t)必是偶函数。必是偶函数。推论推论设设f(t)是是t的实偶函数，则的实偶函数，则例例解解tOf(t)F()tO性质性质4 奇实函数奇实函数 设设f(-t)=-f(t) ，则：，则：反之，若一实函数反之，若一实函数f(t)付里叶积分是付里叶积分是一纯虚函数，则一纯虚函数，则f(t)必是奇函数。

35、必是奇函数。实奇函数的傅里叶变换则为虚奇函数实奇函数的傅里叶变换则为虚奇函数结论结论推论推论例例解解tOf(t)O|F()|OF()O()/2-/2同理可以推出：同理可以推出：若若 是虚函数且还是偶函数，则是虚函数且还是偶函数，则 的傅的傅里叶变换为虚偶函数。里叶变换为虚偶函数。性质性质5：性质性质6： 若若 是虚函数且还是奇函数，则是虚函数且还是奇函数，则 的傅的傅里叶变换为实奇函数。里叶变换为实奇函数。读者可以仿照性质读者可以仿照性质3、性质、性质4给予简单证明给予简单证明如果将如果将 按照奇偶来划分按照奇偶来划分 由此可看出，此时由此可看出，此时F()是虚函数且是是虚函数且是的奇函数。对

36、的奇函数。对于于f(t)为虚函数的情况，分析方法同上，结论相反。为虚函数的情况，分析方法同上，结论相反。 上述讨论的结果如下上述讨论的结果如下: :f(t)F( () )实实一般一般实部偶、虚部奇、幅频偶、相频奇实部偶、虚部奇、幅频偶、相频奇偶偶实部偶实部偶奇奇虚部奇虚部奇虚虚偶偶虚部偶虚部偶奇奇实部奇实部奇5. 5. 尺度变换特性尺度变换特性时间波形的扩展和压缩时间波形的扩展和压缩, ,将影响频谱的波形将影响频谱的波形对于一个实常数对于一个实常数a ，其关系为，其关系为令令x=at，则，则dx=adt ，代入上式可得，代入上式可得则则证明证明时域压缩则频域展宽；展宽时域则频域压缩。时域压缩则

37、频域展宽；展宽时域则频域压缩。结论结论时域中的压缩（扩展）等于频域中的扩展（压缩）时域中的压缩（扩展）等于频域中的扩展（压缩）f(t/2)缩缩tO缩缩f(2t)缩缩tO缩缩1展展展展O展展展展O尺度变换变换后语音信号的变化尺度变换变换后语音信号的变化 f (t) f (1.5t) f (0.5t)0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 一段语音信号一段语音信号( (“对了对了”) ) 。抽样频率。抽样频率 =22050Hz=22050Hzf(t)f(t/2)f(2t

38、)例例定义定义若高度为若高度为 的矩形与的矩形与 的面积相的面积相等，则称矩形宽度为等，则称矩形宽度为等效频带宽度等效频带宽度 。 等效频带宽度等效频带宽度若高度为若高度为 的矩形与的矩形与 的面积相的面积相等，则称矩形宽度为等，则称矩形宽度为等效脉冲宽度等效脉冲宽度 。 等效脉冲宽度等效脉冲宽度信号的等效脉冲宽度和占信号的等效脉冲宽度和占有的等效频带宽度成反比。有的等效频带宽度成反比。 结论结论(2) 脉宽脉宽频宽常数频宽常数(1) 函数函数 f(at) 表示函数表示函数 f(t) 在时间刻度上压缩在时间刻度上压缩a倍，同样倍，同样 表示函数在频率刻度上扩展表示函数在频率刻度上扩展a倍，因此

39、比例性表明，在时间域的压缩等于倍，因此比例性表明，在时间域的压缩等于在频率域中的扩展反之亦然在频率域中的扩展反之亦然。上述反比特性的物理意义：上述反比特性的物理意义：6. 时移特性时移特性若若 则则证明证明令令则则同理可推得：同理可推得：带有尺度变换的时移特性带有尺度变换的时移特性令令a 0时加绝对值时加绝对值单矩形脉冲单矩形脉冲 的频谱为的频谱为有如下三脉冲信号：有如下三脉冲信号：其频谱为其频谱为求三脉冲信号的频谱求三脉冲信号的频谱例例解解 频移特性与时移特性对称（这里频移特性与时移特性对称（这里0为实常量）为实常量） 7. 频移特性频移特性证明证明若若则则同理可得同理可得矩形脉冲信号矩形脉

40、冲信号f(t)与余弦信号与余弦信号cos0 t 相相乘后信号的频谱函数。乘后信号的频谱函数。利用频移特性可得利用频移特性可得宽度为宽度为 的矩形脉冲信号对应的频谱函数为的矩形脉冲信号对应的频谱函数为例例解解0A2/tt2/t-)(tfo F()F()o 0- - 02/tAt2/t-t tfcos)( 0 08. 微分特性微分特性 （1）时域）时域（2）频域）频域，则，则若若若若 ，则，则证明（略）证明（略）9. 积分特性积分特性若若（1）时域积分）时域积分则则, 则则若若(2) 频域积分频域积分若若则则10 . 卷积定理卷积定理（1）时域卷积定理）时域卷积定理 设设有有两两个个时时间间函函数

41、数f1(t)和和f2(t)，它它们们分分别别对应的频谱函数为对应的频谱函数为F1()和和F2()：若若则则可简记为可简记为证明证明式中式中（2 2）频域卷积定理）频域卷积定理若若则则可简记为可简记为1. 用频移特性用频移特性3.7 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 3.7.1 正、余弦信号的傅里叶变换正、余弦信号的傅里叶变换令令 由频移特性由频移特性 oo余弦信号频谱余弦信号频谱 正弦信号频谱正弦信号频谱2. 用用极限方法极限方法有限长余弦有限长余弦 看成矩形看成矩形 乘以乘以 。对对 求极限即可得到无限长余弦信号。求极限即可得到无限长余弦信号。1-13.7.2 一般周期信号的傅里叶变

42、换一般周期信号的傅里叶变换周期信号周期信号式中式中 求单位冲激序列求单位冲激序列 的傅里叶变换的傅里叶变换 例例解解FSFTOO(1)O1O小结小结周期信号傅里叶变换的特点：周期信号傅里叶变换的特点： (1) 周期信号可求取傅里叶变换和傅里叶级数，但非周期信周期信号可求取傅里叶变换和傅里叶级数，但非周期信号则只能求傅里叶变换；号则只能求傅里叶变换；(2) 非周期信号的频谱非周期信号的频谱 是连续谱，它的大小是有限值；是连续谱，它的大小是有限值；(3) 周期信号的频谱周期信号的频谱 是离散谱，其幅值是无穷大（含谱是离散谱，其幅值是无穷大（含谱密度概念），它的大小用冲激表示；密度概念），它的大小用

43、冲激表示；(4) 是是 的包络的的包络的 倍；倍；(5) 是单个复谐波成份的复振幅，而是单个复谐波成份的复振幅，而 是单位带宽内是单位带宽内所有复谐波成分的合的复振幅值；所有复谐波成分的合的复振幅值； （6） 的单位是伏特或安培，而的单位是伏特或安培，而 的单位则是的单位则是(伏特伏特/赫，赫，安培安培/赫赫)；(7) 代表的是信号的功率分配代表的是信号的功率分配, 而而 代表了信号的能量代表了信号的能量分布。分布。 3.8 抽样定理抽样定理取样目的及所遇到的问题：取样目的及所遇到的问题：数字信号处理系统简单框图数字信号处理系统简单框图（1) 1) 取样后离散信号的频谱是什么样的？它取样后离散

44、信号的频谱是什么样的？它与未被取样的连续信号的频谱有什么关系？与未被取样的连续信号的频谱有什么关系？（2)2)连续信号被取样后，是否保留了原信号连续信号被取样后，是否保留了原信号的所有信息？即在什么条件下，可以从取样的所有信息？即在什么条件下，可以从取样的信号还原成原始信号？的信号还原成原始信号？问题问题:连续信号连续信号离散信号离散信号抽样抽样还原还原( (有条件有条件) ) 抽样抽样时域抽样时域抽样频域抽样频域抽样自然自然抽抽样样(矩形抽样矩形抽样)理想理想抽样抽样(冲激抽样冲激抽样)平顶平顶抽样抽样低通低通( (掌握掌握) )带通带通（了解（了解) )此时的抽样脉冲此时的抽样脉冲p(t)

45、是矩形。由于是矩形。由于fs(t)=f(t)p(t) 抽样信号在抽样期间脉冲顶部随抽样信号在抽样期间脉冲顶部随f(t)变化，故这变化，故这种抽样称为种抽样称为“自然抽样自然抽样”。时时域域抽抽样样简简图图抽样过程可以看成由原信抽样过程可以看成由原信号号f(t)和一个开关函数和一个开关函数p(t)的乘积来描述。的乘积来描述。抽样信号为抽样信号为1矩形脉冲抽样（自然抽样）矩形脉冲抽样（自然抽样）3.8.1 时域抽样时域抽样 连续信号连续信号f(t)抽样脉冲抽样脉冲p(t)量化量化编码编码数字信号数字信号抽样信号抽样信号由于由于p(t)是周期信号，可知是周期信号，可知p(t)的傅氏变换为的傅氏变换为

46、:令模拟带限信号傅氏变换为令模拟带限信号傅氏变换为 ，即，即取样脉冲序列的傅氏变换为取样脉冲序列的傅氏变换为 设取样为设取样为均匀抽样，周期为均匀抽样，周期为Ts，则取样角频率为，则取样角频率为（1）抽样信号频谱推导）抽样信号频谱推导式中式中：由频域卷积定理得，时域相乘的傅氏变换等由频域卷积定理得，时域相乘的傅氏变换等于它们的频谱在频域里相卷积。于它们的频谱在频域里相卷积。代入上面计算出的代入上面计算出的p(t)信号在时域被抽样后，它的频谱信号在时域被抽样后，它的频谱 是连续信号的频是连续信号的频谱谱 以取样角频率以取样角频率 为间隔周期地重复而得到的。为间隔周期地重复而得到的。在重复过程在重

47、复过程 中，幅度被取样脉冲中，幅度被取样脉冲p(t)的傅里叶系数所的傅里叶系数所加权，加权系数取决于取样脉冲序列的形状。加权，加权系数取决于取样脉冲序列的形状。 ！当抽样脉冲为矩形抽样脉冲时，当抽样脉冲为矩形抽样脉冲时，幅度以幅度以SaSa函数的规律函数的规律变化。变化。从从 的频谱图可见，抽样后的的频谱图可见，抽样后的信号频谱信号频谱包包括有括有原信号的频谱以及无限个经过平移的原信号的频原信号的频谱以及无限个经过平移的原信号的频谱，谱，平移的频率为抽样频率及其各次谐波频率。且平平移的频率为抽样频率及其各次谐波频率。且平移后的频谱幅值随频率而呈移后的频谱幅值随频率而呈SaSa函数分布。因矩形脉

48、冲函数分布。因矩形脉冲占空系数很小，故其频谱所占的频带几乎无限宽。占空系数很小，故其频谱所占的频带几乎无限宽。！抽样后频谱抽样后频谱o1o抽样前频谱抽样前频谱(1) 如果取样脉冲宽度与系统中各时间常数相比如果取样脉冲宽度与系统中各时间常数相比十分小的时候，这个冲激函数的假定将是一个很十分小的时候，这个冲激函数的假定将是一个很好的近似，它将使分析简化。好的近似，它将使分析简化。(2) 通过冲激取样的方法来表明数字信号，在数通过冲激取样的方法来表明数字信号，在数字信号处理中有着广泛的应用。字信号处理中有着广泛的应用。(点抽样；均匀抽点抽样；均匀抽样样)取样率必须选得大于信号频谱最高频率的两倍。取样

49、率必须选得大于信号频谱最高频率的两倍。（2）抽样频率的选择）抽样频率的选择！（3）矩形脉冲抽样）矩形脉冲抽样of (t)oooo点点乘乘卷卷积积oP (t)2. 冲激抽样（理想抽样）冲激抽样（理想抽样）若取样脉冲是冲激序列，此时称为若取样脉冲是冲激序列，此时称为“冲激取样冲激取样”或或“理想抽样理想抽样”。设。设Ts为取样间隔，则取样脉冲为为取样间隔，则取样脉冲为因因 T(t)的傅氏系数为的傅氏系数为:故冲激取样信号的频谱为：故冲激取样信号的频谱为：周期单位冲激序列的周期单位冲激序列的FT：ooooo抽样前信号频谱抽样前信号频谱抽样后信号频谱抽样后信号频谱由于冲激序列的傅里叶系数由于冲激序列的

50、傅里叶系数Pn为常数，所以为常数，所以 是以是以 为周期等幅地重复，如下图所示：为周期等幅地重复，如下图所示：（1）时域理想抽样的傅里叶变换）时域理想抽样的傅里叶变换下面对矩形脉冲抽样和冲激抽样进行比较和小结：下面对矩形脉冲抽样和冲激抽样进行比较和小结：FT相乘相乘 相卷积相卷积FT（2）关于非理想抽样）关于非理想抽样非理想抽样非理想抽样理想抽样理想抽样比较比较理想抽样和非理想抽样的对比理想抽样和非理想抽样的对比 结结论论(1) 矩形脉冲抽样和冲激抽样的重要差别就在于频矩形脉冲抽样和冲激抽样的重要差别就在于频谱分量的性质不同。矩形脉冲抽样所导出的频谱分量的性质不同。矩形脉冲抽样所导出的频谱分量

51、的幅度是按包络谱分量的幅度是按包络 的变化规律随频的变化规律随频率而下降的，而理想抽样所导出的频谱却有着率而下降的，而理想抽样所导出的频谱却有着相同的幅度，不随频率而减少；相同的幅度，不随频率而减少； (2) 是信号本身固有的；是信号本身固有的； 是人为的；是人为的；(3) 称为奈奎斯特抽样频率；称为奈奎斯特抽样频率； 称为奈奎称为奈奎斯特抽样间隔；斯特抽样间隔； (4)抽样频率为奈奎斯特抽样频率的两倍或两倍以抽样频率为奈奎斯特抽样频率的两倍或两倍以上时，抽样信号的频谱才不会发生混叠。只有上时，抽样信号的频谱才不会发生混叠。只有这样才能无失真地恢复出原信号。这样才能无失真地恢复出原信号。 3抽

52、样定理抽样定理定理定理3.13.1设有一连续信号设有一连续信号 f(t)，它的频谱，它的频谱则只要取样间隔满足则只要取样间隔满足 ，连续信号连续信号f(t)就可表示为：就可表示为： 由于由于f(t)的频带有限的频带有限,而时域取样必导致频域而时域取样必导致频域周期。在周期重复时，为保证周期。在周期重复时，为保证 内为内为 ，则重复周期应满足则重复周期应满足 ,将取样信号将取样信号 通通过截止频率为过截止频率为 的理想低通滤波器，便能从中的理想低通滤波器，便能从中恢复恢复 ,也就是说，能从取样信号也就是说，能从取样信号fs(t)中恢中恢复出原始信号复出原始信号 f(t)。证明证明OO由时域卷积定

53、理知由时域卷积定理知：复原始信号复原始信号f(t)。设。设 、 , ,则当则当 通过截止频率为通过截止频率为 的理想低通滤波器的理想低通滤波器时，滤波器的响应频谱为时，滤波器的响应频谱为 ，显然滤波器的作，显然滤波器的作用等效于一个开关函数用等效于一个开关函数 同同 的相乘。即的相乘。即则则 ( (内插公式内插公式) )证毕证毕而而由傅里叶变换的对称性可知：由傅里叶变换的对称性可知：由于定理二是讨论由离由于定理二是讨论由离散信号恢复成连续信号，散信号恢复成连续信号，所以又称重建定理。所以又称重建定理。 设设f(t)是一带限连续信号，最高频率为是一带限连续信号，最高频率为 ,根据定理一对根据定理

54、一对f(t)进行抽样，得进行抽样，得f(nT)，则，则f(nT)经经过一个频率响应为如图的理想低通滤波器后便得过一个频率响应为如图的理想低通滤波器后便得到到f(t). (自证自证)定理定理3.210频域抽样定理频域抽样定理 若信号若信号 为时限信号，它集中在为时限信号，它集中在 的的时间范围内，若在频域中，以不大于时间范围内，若在频域中，以不大于 的频率的频率间隔对间隔对 的频谱的频谱 进行抽样，则抽样后的频进行抽样，则抽样后的频谱谱 可以唯一地表示原信号。可以唯一地表示原信号。3.8.2 频域抽样频域抽样 频域有限频域有限时域有限时域有限时域无限时域无限频域无限频域无限但反之不一定成立但反之

55、不一定成立如：白噪声如：白噪声时域取样与频域取样的对称性时域取样与频域取样的对称性f(t) 以以 为周期重复为周期重复f(t)以以T为周期重复为周期重复根据时域和频域对称性，可推出频域抽样定理根据时域和频域对称性，可推出频域抽样定理偶函数偶函数变变量量置置换换 频域取样后的时间函数频域取样后的时间函数相相乘乘卷卷积积抽样定理小结抽样定理小结时域对时域对 取样等效于频域对取样等效于频域对 重复时域取重复时域取 样间隔不大于样间隔不大于 。频域对频域对 抽样等效于时域对抽样等效于时域对 重复频域重复频域取样间隔不大于取样间隔不大于 。满足取样定理，则不会产生混叠。满足取样定理，则不会产生混叠。3.

56、9 功率频谱与能量频谱功率频谱与能量频谱3.9.1 周期信号的功率谱周期信号的功率谱 周周期期性性信信号号的的能能量量无无穷穷大大，功功率率有有限限，因因此此可可从从功率方面进行研究。功率方面进行研究。 (1) 正交分解与信号功率正交分解与信号功率 对周期信号对周期信号f(t)做正交分解，有：做正交分解，有： 则总功率为则总功率为式中式中，为正交信号分量的功率为正交信号分量的功率 如果信号在非正交函数集中分解后，信号的如果信号在非正交函数集中分解后，信号的功率并不满足叠加性（如泰勒级数展开）。功率并不满足叠加性（如泰勒级数展开）。 注意注意利用信号傅里叶级数分解后的信号分量，计算利用信号傅里叶

57、级数分解后的信号分量，计算原信号的功率原信号的功率 例例 因为傅里叶级数分解是正交分解因为傅里叶级数分解是正交分解 解解时域求得的信号功率时域求得的信号功率频域求得的信号功率频域求得的信号功率（1 1）周期信号的表示形式）周期信号的表示形式对于周期信号，在时域中求得的信号功率对于周期信号，在时域中求得的信号功率对于周期信号，在时域中求得的信号功率对于周期信号，在时域中求得的信号功率频域中的信号各谐波分量功率之和。频域中的信号各谐波分量功率之和。频域中的信号各谐波分量功率之和。频域中的信号各谐波分量功率之和。这就是这就是这就是这就是 Parseval Parseval Parseval Pars

58、eval 定理在周期信号时的表示形式定理在周期信号时的表示形式定理在周期信号时的表示形式定理在周期信号时的表示形式帕塞瓦尔定理：帕塞瓦尔定理：(1) 对于单边功率谱，在每个不等于零（非直流）的对于单边功率谱，在每个不等于零（非直流）的频率上，子信号功率频率上，子信号功率 ，直流信号的功率为，直流信号的功率为 将周期性信号在各个频率上分量的功率大小，用图将周期性信号在各个频率上分量的功率大小，用图的方法表示出。其横坐标为频率，纵坐标为信号分量的的方法表示出。其横坐标为频率，纵坐标为信号分量的功率，该图形称为功率谱图。功率谱与频谱非常相似，功率，该图形称为功率谱图。功率谱与频谱非常相似，但有稍许不

59、同：但有稍许不同：(2) 对于双边功率谱，在每个频率点上，子信号功率为：对于双边功率谱，在每个频率点上，子信号功率为：(3) 功率谱只有大小（幅度），没有相位功率谱只有大小（幅度），没有相位。（3）周期性信号的功率谱）周期性信号的功率谱3.9.2 能量频谱能量频谱 对于非周期信号而言，其周期为无穷，但能量有限，所以对于非周期信号而言，其周期为无穷，但能量有限，所以它的功率为零，故我们只可以从能量角度研究对其进行研究。它的功率为零，故我们只可以从能量角度研究对其进行研究。 非周期信号在各个频率上的实际分量大小为无穷小，只非周期信号在各个频率上的实际分量大小为无穷小，只能用能量密度谱能用能量密度谱

60、 描述单位频带内的信号能量。描述单位频带内的信号能量。：（1）能量谱）能量谱信号总能量：信号总能量：在时域中在时域中, ,卷积积分的方法可求得系统的零状态响卷积积分的方法可求得系统的零状态响应。它是以冲激信号作为基本信号，将任意连续信应。它是以冲激信号作为基本信号，将任意连续信号分解为无穷多个冲激函数的加权和，每个冲激函号分解为无穷多个冲激函数的加权和，每个冲激函数对系统的响应叠加起来，就得到的零状态响应。数对系统的响应叠加起来，就得到的零状态响应。本节中本节中, ,正弦信号或谐波信号作为基本信号，将信正弦信号或谐波信号作为基本信号，将信号分解为无穷多个正弦信号或虚指数的加权和。这号分解为无穷

61、多个正弦信号或虚指数的加权和。这些信号作用于系统时所得到的响应之叠加即为系统些信号作用于系统时所得到的响应之叠加即为系统的零状态响应。的零状态响应。 3.10 系统频域分析法系统频域分析法在时域中在时域中其中：其中：H(j )=FTh(t) 称频域系统函数。称频域系统函数。则则h(t)= IFTH(j ) 也称系统的频率响应也称系统的频率响应。称为幅频特性称为幅频特性，称相频特性。称相频特性。输入的频谱输入的频谱响应的频谱响应的频谱3.10.1 周期性信号的稳态响应周期性信号的稳态响应在频域中在频域中式中式中 为为h(t)的傅里叶变换，的傅里叶变换，频域系统函数频域系统函数可见，系统的零状态响

62、应可见，系统的零状态响应yzs(t)是等于激励是等于激励ej t 乘乘以加权函数以加权函数H(j )，此加权函数，此加权函数H(j )即为频域系即为频域系统函数，亦即为统函数，亦即为h(t)的傅里叶变换。的傅里叶变换。设激励设激励 f(t)=ej t, 则则系统零状态响应为系统零状态响应为即有即有 h(t)H(j )！周期信号激励下的系统响应周期信号激励下的系统响应正弦信号激励时的响应正弦信号激励时的响应设输入信号为正弦信号，即设输入信号为正弦信号，即所以所以频域分析的方法的求解步骤为：频域分析的方法的求解步骤为：先求出输入信号的频谱先求出输入信号的频谱F(j )和频域系统函数和频域系统函数H

63、(j )由于由于y(t)=h(t) f(t)，利用连续时间非周期信号的傅里，利用连续时间非周期信号的傅里叶变换的时域卷积性质，有叶变换的时域卷积性质，有 Y(j ) = H(j ) F(j ) ， 求出输出信号的频谱求出输出信号的频谱 将将Y (j )进行傅里叶反变换就得到进行傅里叶反变换就得到 y(t)3.10.2 非周期信号通过线性系统的零状态响应非周期信号通过线性系统的零状态响应补充补充RCRC电路，若输入信号电路，若输入信号为矩形脉冲波如图所为矩形脉冲波如图所示。求系统响应。示。求系统响应。矩形脉冲波矩形脉冲波输入信号的频谱为输入信号的频谱为解解RCRC电路的系统函数为电路的系统函数为

64、因此，输出频谱为因此，输出频谱为因为因为令令1/RC=a，可得，可得用用MatlabMatlab画出的输出信号的频谱如图所示。图中画画出的输出信号的频谱如图所示。图中画出了带宽和的两种情况出了带宽和的两种情况 RCRC电路输出的幅度频谱电路输出的幅度频谱RCRC电路输出的时域波形电路输出的时域波形 由于由于RCRC电路的低通特性，高频分量有较大的衰电路的低通特性，高频分量有较大的衰减，故输出波形不能迅速变化。减，故输出波形不能迅速变化。输出波形不再是矩形脉冲信号，而是以指数规输出波形不再是矩形脉冲信号，而是以指数规律逐渐上升和下降。律逐渐上升和下降。当带宽增加时，允许更多的高频分量通过，输当带

65、宽增加时，允许更多的高频分量通过，输出波形的上升与下降时间缩短，和输入信号波出波形的上升与下降时间缩短，和输入信号波形相比，失真减小。形相比，失真减小。结结论论为起始频率，为起始频率，1 1h=freqs(b,a,w) h=freqs(b,a,w) 式中式中对应于式对应于式(3-159)(3-159)中的向量中的向量，对应于式（对应于式（3-1593-159）中的向量）中的向量使用形式如使用形式如为终止频率，为终止频率，为频率取样间隔。向量为频率取样间隔。向量返回在频率向量返回在频率向量上的系统函数样值。上的系统函数样值。，w w为频率取值范围，为频率取值范围，2 2h,w=freqs(b,a

66、) h,w=freqs(b,a) 该调用格式将计算默认频率范围该调用格式将计算默认频率范围 内内200200个频率点的系统函数样值，并赋值给返回变量，个频率点的系统函数样值，并赋值给返回变量， 200 200个频率点记录在个频率点记录在w w中。中。3.10.3 MATLAB仿真实现仿真实现右图是常见的用右图是常见的用RLC元件元件构成的某系统电路。设构成的某系统电路。设4freqs(b,a) 该调用格式并不返回系统函数样值，而该调用格式并不返回系统函数样值，而是以对数坐标的方式绘出系统的幅频响应和相频响应。是以对数坐标的方式绘出系统的幅频响应和相频响应。3h,w=freqs(b,a,n) 该

67、调用格式将计算默认该调用格式将计算默认频率范围内频率范围内200200个频率点的系统函数样值，并赋值个频率点的系统函数样值，并赋值给返回变量给返回变量，个频率点记录在个频率点记录在w w中。中。，试用试用MATLAB的的freqs()函数函数求解该系统频率响应并绘图。求解该系统频率响应并绘图。例例 ，RLCRLC二阶低通滤波器电路图二阶低通滤波器电路图根据原理图，容易写出系统的频率响应为：根据原理图，容易写出系统的频率响应为：式中，式中，将将R R、L L、C C的值代入的值代入的表达式，得：的表达式，得：解解b=0 0 1; a=0.08 0.4 1; % 生成向量b，ah,w=freqs(

68、b,a,100); % 求系统频响特性h1=abs(h); % 求幅频响应h2=angle(h); % 求相频响应subplot(211); plot(w,h1);gridxlabel(角频率(W); ylabel(幅度);title(H(jw)的幅频特性);subplot(212); plot(w,h2*180/pi);gridxlabel(角频率(w); ylabel(相位(度);title(H(jw)的相频特性);MATLABMATLAB源程序为：源程序为：程序运行结果如图所示。程序运行结果如图所示。RLCRLC二阶低通滤波器的幅频特性及相频特性二阶低通滤波器的幅频特性及相频特性已知符号

69、函数的傅里叶变换已知符号函数的傅里叶变换 根据对称性得到根据对称性得到 则则 若系统函数为若系统函数为 则冲激响应则冲激响应 3.11 希尔伯特变换希尔伯特变换系统框图系统框图: : 系统的零状态响应系统的零状态响应 利用卷积定理利用卷积定理 具有系统函数为具有系统函数为 的网络是一个使相位滞的网络是一个使相位滞 后后 弧度的宽带相移全通网络。弧度的宽带相移全通网络。 结论结论同理可得到同理可得到: : 若系统冲激响应为若系统冲激响应为 其网络的系统函数为其网络的系统函数为 该系统框图为该系统框图为 输出信号输出信号利用卷积定理利用卷积定理 结论结论具有系统函数为具有系统函数为 的网络是一个使

70、相的网络是一个使相位滞后位滞后 弧度的宽带相移全通网络。弧度的宽带相移全通网络。 希尔伯特变换：希尔伯特变换：希尔伯特正变换希尔伯特正变换希尔伯特反变换希尔伯特反变换可实现系统的网络函数与希尔伯特变换可实现系统的网络函数与希尔伯特变换可实现系统是因果系统，其冲激响应可实现系统是因果系统，其冲激响应 即即: :其傅里叶变换其傅里叶变换 又又则则 根据实部与实部相等，虚部与虚部相等，解得根据实部与实部相等，虚部与虚部相等，解得 因果系统系统函数因果系统系统函数 的实部与虚部的实部与虚部满足希尔满足希尔伯特变换约束关系。伯特变换约束关系。 结论结论 常用希尔伯特变换对常用希尔伯特变换对对于任意因果函

71、数，傅里叶变换的实部与虚部都对于任意因果函数，傅里叶变换的实部与虚部都满足希尔伯特变换的约束关系，希尔伯特变换作满足希尔伯特变换的约束关系，希尔伯特变换作为一种数学工具在通信系统中得到了广泛的应用。为一种数学工具在通信系统中得到了广泛的应用。 说明说明例例 满足希尔满足希尔伯特变换的约束关系。伯特变换的约束关系。，证明，证明已知已知因为因为 即系统函数即系统函数 式中：式中：实部实部 虚部虚部 证明证明的实部与虚部的实部与虚部现在求现在求 的希尔伯特变换的希尔伯特变换 可求出各分式系数可求出各分式系数 则则 例例 方法方法1 :1 :方法方法2 2： 用三种方法求解此题用三种方法求解此题的希尔

72、伯特变换的希尔伯特变换希尔伯特变换希尔伯特变换滞后滞后解解 方法方法3 3： 直接用希尔伯特变换定义式直接用希尔伯特变换定义式 即即 则希尔伯特变换的频谱函数为则希尔伯特变换的频谱函数为 本章小结本章小结 1. 傅里叶级数分解是一种正交分解，有三角级数分傅里叶级数分解是一种正交分解，有三角级数分解和指数分解两种形式。解和指数分解两种形式。 2. 只有周期信号才能进行傅里叶级数分解，我们常只有周期信号才能进行傅里叶级数分解，我们常用表示。用表示。3. 没有引入奇异函数时，没有引入奇异函数时，Direchlet条件是能够进行条件是能够进行傅里叶级数分解的充要条件；而引入奇异函数后，傅里叶级数分解的

73、充要条件；而引入奇异函数后，Direchlet条件弱化为能够进行傅里叶级数分解的充分条件弱化为能够进行傅里叶级数分解的充分条件。条件。 4. 周期偶函数，则傅里叶级数中只有直流和余弦分周期偶函数，则傅里叶级数中只有直流和余弦分量；周期奇函数，则傅里叶级数中只有正弦分量；奇量；周期奇函数，则傅里叶级数中只有正弦分量；奇谐函数，则傅里叶级数中只有奇次谐波分量；偶谐函谐函数，则傅里叶级数中只有奇次谐波分量；偶谐函数，则傅里叶级数中只有偶次谐波分量。数，则傅里叶级数中只有偶次谐波分量。 5.频谱有单边频谱和双边频谱之分。频谱可分解为频谱有单边频谱和双边频谱之分。频谱可分解为幅度谱和相位谱，工程中常采用

74、幅度谱。幅度谱和相位谱，工程中常采用幅度谱。 6.周期信号的频谱呈现离散性。周期信号的频谱呈现离散性。 7. Gibbs现象是因为跳变引起的，不可消除。现象是因为跳变引起的，不可消除。 8. 非周期信号能够进行傅里叶变换，傅里叶正变换非周期信号能够进行傅里叶变换，傅里叶正变换和逆变换是一一对应的。因为引入了奇异函数，所以和逆变换是一一对应的。因为引入了奇异函数，所以Direchlet条件是能够进行傅里叶变换的充分条件。条件是能够进行傅里叶变换的充分条件。 9. 单边指数函数、双边指数函数、奇双边指数函数、单边指数函数、双边指数函数、奇双边指数函数、矩形脉冲函数、钟形函数、符号函数、冲激函数、冲

75、矩形脉冲函数、钟形函数、符号函数、冲激函数、冲激偶函数、阶跃函数、复正弦函数的傅里叶变换。激偶函数、阶跃函数、复正弦函数的傅里叶变换。 10. 傅里叶变换的十个性质：唯一性、对称性、线傅里叶变换的十个性质：唯一性、对称性、线性、虚实奇偶性、尺度变换性、时移性、频移性、微性、虚实奇偶性、尺度变换性、时移性、频移性、微分性、积分性、卷积性。分性、积分性、卷积性。 11. 周期信号既能进行傅里叶级数分解，又能进行周期信号既能进行傅里叶级数分解，又能进行傅里叶变换。周期信号的傅里叶级数和傅里叶变换密傅里叶变换。周期信号的傅里叶级数和傅里叶变换密切相关，可以互相推导。切相关，可以互相推导。 12. 无论

76、是自然抽样还是理想抽样，只要抽样信号的无论是自然抽样还是理想抽样，只要抽样信号的频率大于等于被抽样信号的最高频率的两倍或两倍以频率大于等于被抽样信号的最高频率的两倍或两倍以上，那么抽样离散信号就能够还原为原信号。上，那么抽样离散信号就能够还原为原信号。 13. 时域的离散性对应于频域的周期性；频域的周时域的离散性对应于频域的周期性；频域的周期性对应于时域的离散性。期性对应于时域的离散性。 14. 周期信号可用功率谱描述，非周期信号可以用周期信号可用功率谱描述，非周期信号可以用能量谱描述。它们都满足能量守恒。能量谱描述。它们都满足能量守恒。 15. 时宽变窄，则频宽增加；反之时宽增加，则频宽时宽

77、变窄，则频宽增加；反之时宽增加，则频宽变窄。变窄。 16. 不同信号的相似程度用互相关函数描述；同一不同信号的相似程度用互相关函数描述；同一信号不同时刻的相似程度用自相关函数描述。信号不同时刻的相似程度用自相关函数描述。 17. 可以用微分方程、仿真框图、电路图、单位冲激可以用微分方程、仿真框图、电路图、单位冲激响应、频谱、幅频特性和相频特性去描述一个系统。响应、频谱、幅频特性和相频特性去描述一个系统。它们可以互相转化，都可求出系统函数。它们可以互相转化，都可求出系统函数。 18. 单一频率的信号通过线性时不变系统不会产生单一频率的信号通过线性时不变系统不会产生新的频率分量，但其幅度和相位会随系统函数发生变新的频率分量，但其幅度和相位会随系统函数发生变化。化。 19. 对于周期信号的响应，不同频率分量的输出是求对于周期信号的响应，不同频率分量的输出是求和；对于非周期信号的响应，不同频率分量的输出是和；对于非周期信号的响应，不同频率分量的输出是求积分，即傅里叶逆变换。求积分，即傅里叶逆变换。 20. 因果系统的系统函数，其虚部和实部满足希尔因果系统的系统函数，其虚部和实部满足希尔伯特约束关系。伯特约束关系。