《弹性力学及有限元绪论.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《弹性力学及有限元绪论.ppt（47页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、弹弹 性性 理理 论论张建海（教授）黄哲聪（博士）参考教材弹性力学弹性力学（第（第4 4版），徐芝纶主编，高等版），徐芝纶主编，高等教育出版社，教育出版社，20062006弹性理论弹性理论（第（第3 3版），版），S.P.TimoshenkoS.P.Timoshenko J.N. J.N. GoodierGoodier 主编，清华大学出版社，主编，清华大学出版社，20072007弹性力学弹性力学，徐秉业、王建学编著，清华，徐秉业、王建学编著，清华大学出版社，大学出版社，20072007弹性力学与有限单元法弹性力学与有限单元法，蒋玉川、张建，蒋玉川、张建海、李章政编著，科学出版社，海、李章政编著
2、，科学出版社，20062006第一章 绪论Chapter1 Exordium E弹性力学的研究内容弹性力学的研究内容(Study Contents)E弹性力学的研究方法弹性力学的研究方法(Study Methods)E弹性力学的基本假设弹性力学的基本假设(Basic Hypothesis )E弹性力学的发展史弹性力学的发展史(Development History )E张量简介张量简介(Introduction of Tensor)本章主要内容本章主要内容Main Contents1.1 弹性力学的研究内容Study Contents of the Elasticity Mechanics弹性
3、力学弹性力学也称也称弹性理论弹性理论是固体力学学科的一个分支是固体力学学科的一个分支 基本任务基本任务研究弹性体由于外力作用、边界约束或温度研究弹性体由于外力作用、边界约束或温度改变等原因而产生的改变等原因而产生的应力应力(stress)、形变、形变(deformation)和和位移位移(displacement)等效应。等效应。弹性力学、材料力学、结构力学三者关系弹性力学、材料力学、结构力学三者关系The Relation of the Three Mechanics分析各种结构物或其杆件在分析各种结构物或其杆件在弹性阶段弹性阶段(ElasticStage)的的应力和位移，校验它们是否应力和
4、位移，校验它们是否具有所需的强度、刚度、稳具有所需的强度、刚度、稳定性，并寻求或改进它们的定性，并寻求或改进它们的计算方法计算方法共同点共同点common ground 材料力学材料力学研究研究杆件杆件（如梁、柱和轴）（如梁、柱和轴）的拉压、弯曲、剪切、扭的拉压、弯曲、剪切、扭转和组合变形等问题。转和组合变形等问题。结构力学结构力学弹性力学弹性力学在材料力学基础上研究在材料力学基础上研究杆系杆系结构（结构（如如 桁架、刚架等）。桁架、刚架等）。研究研究各种形状的弹性体各种形状的弹性体，如，如杆件、平面体、空间体、板杆件、平面体、空间体、板壳、薄壁结构等问题。壳、薄壁结构等问题。 Differe
5、nce 1研究对象区别Material Mechanics Structural Mechanics Elasticity Mechanics材料力学材料力学除了基本假设之外，为了简化除了基本假设之外，为了简化数学推导，还有附加假设，结数学推导，还有附加假设，结论有一定近似。论有一定近似。如如: :平面截面平面截面假设及横力弯曲情况下，梁横假设及横力弯曲情况下，梁横截面上剪应力的分布假设。截面上剪应力的分布假设。结构力学结构力学弹性力学弹性力学与材料力学基本相同与材料力学基本相同常只作基本假设，在此基础上运常只作基本假设，在此基础上运用数学理论通过演绎与推理求解用数学理论通过演绎与推理求解力学
6、模型，其分析更为精确。力学模型，其分析更为精确。 Difference 2基本假设区别Material Mechanics Structural Mechanics Elasticity Mechanics例1 满载均荷简支梁Example 1:The Simply Supported Beam under Simply Supported Beam 公式成立的条件公式成立的条件 弹性力学的结果可以检验材料力学结果是否合理弹性力学的结果可以检验材料力学结果是否合理。例2 徐变截面杆的分析Example 2: Analysis of the bar with creep section材料力学计
7、算简单而结果往往是近似的，但不少情材料力学计算简单而结果往往是近似的，但不少情况下精度可以满足工程要求的况下精度可以满足工程要求的oPx?PDifference 3取分离体取分离体( (isolated body)方面方面材料力学材料力学弹性力学弹性力学一般截取一般截取部部分杆段分杆段研究研究一般截取一般截取微微单元体单元体研究研究得到得到力的平衡方程力的平衡方程得到得到偏微分方程偏微分方程Material Mechanics Elasticity MechanicsEquilibrium Equation Partial Differential Equations 材料力学材料力学Diff
8、erence 4从从微分单元体微分单元体入手，严格考虑入手，严格考虑静力学静力学、几何几何学学、物理学物理学三个方面的条件，边界上严格考三个方面的条件，边界上严格考虑受力和约束条件，虑受力和约束条件，三维数学问题三维数学问题，求解求解偏偏微分方程微分方程边值问题。边值问题。数学计算数学计算( (Numerical Computation)方面方面也考虑上述条件，但不是十分严格。常采也考虑上述条件，但不是十分严格。常采用近似的假设如平面截面假设来简化问题，用近似的假设如平面截面假设来简化问题，基本上是基本上是一维数学问题一维数学问题，基本方程是，基本方程是常微常微分方程分方程。 弹性力学弹性力学
9、Material Mechanics Elasticity Mechanics解析法解析法(Analytical Method )数值法数值法(Numerical Method)实验法实验法(Experimental Method )1.2 弹性力学的研究方法Study Method of the Elasticity Mechanics分离变量法分离变量法偏微分方程偏微分方程常微分方程常微分方程偏微分方程的边值问题偏微分方程的边值问题弹性力学问题弹性力学问题解析法解析法级数解法级数解法复变函数法复变函数法积分变换法积分变换法封闭的精确解封闭的精确解工程上的实工程上的实际问题能真际问题能真正获
10、得解析正获得解析解的情况实解的情况实属少数属少数数值法数值法有限单元法有限单元法有限差分法有限差分法边界单元法边界单元法无单元法无单元法DDA法法有限体积法有限体积法流形元法流形元法根据弹性力学的理论发展起来的根据弹性力学的理论发展起来的光光弹性力学方法弹性力学方法、电测法电测法等为求解弹等为求解弹性力学问题提供了一种有效的途径。性力学问题提供了一种有效的途径。实验法实验法1.3 弹性力学的基本假设Basic Hypothesis of Elasticity Mechanics物物质质属属性性假假设设连续性连续性Continuity 均匀性均匀性Uniformity 物质毫无空隙地充满物质毫无
11、空隙地充满了物体的几何空间了物体的几何空间物体内任取两点它们的物体内任取两点它们的物质构成及物性都相同物质构成及物性都相同各向同性各向同性Isotropic 物体内任一点材料沿着物体内任一点材料沿着各个方向的性质相同各个方向的性质相同完全弹性完全弹性Perfect Elastic 物体受力与变形之间的物体受力与变形之间的关系符合线性关系。引关系符合线性关系。引起变形的力消除，变形起变形的力消除，变形消失。消失。各变量为各变量为连连续函数续函数可取任意单可取任意单元体研究元体研究弹性常数不弹性常数不随方向变化随方向变化应力、应变应力、应变服从胡克定服从胡克定律律几几何何假假设设小变形小变形Sma
12、ll deformation弹性体的位弹性体的位移将远远小移将远远小于其宏观尺于其宏观尺寸，弹性体寸，弹性体的线应变及的线应变及角应变将远角应变将远远小于远小于1 1简化几何方程简化几何方程：在研：在研 究应变位移时，可忽究应变位移时，可忽略高阶微量，只保留略高阶微量，只保留应变的一次幂项应变的一次幂项 简化平衡微分方程简化平衡微分方程：在建立平衡条件时，在建立平衡条件时，仍采用变形前尺寸，仍采用变形前尺寸，忽略载荷位置的改变忽略载荷位置的改变保证所研究的问题是保证所研究的问题是线性问题，可以应用线性问题，可以应用叠加原理。叠加原理。自自然然状状态态假假设设初始无应力初始无应力应变应变Init
13、ial Unstressed -Strain假设物体在未受荷载之前处假设物体在未受荷载之前处于一种无应力和应变状态，于一种无应力和应变状态，称为称为初始无应力、应变状态初始无应力、应变状态实际上物体如金属材料，早在实际上物体如金属材料，早在受载之前其内部就不可避免地受载之前其内部就不可避免地存在着应力，除此之外，由于存在着应力，除此之外，由于结构物的制造或装配难免不准结构物的制造或装配难免不准确，上述情况也会存在。确，上述情况也会存在。构件的破坏主要是由外载引起构件的破坏主要是由外载引起的，所产生的应力远非初应力的，所产生的应力远非初应力可比，同时，如果要考虑上述可比，同时，如果要考虑上述因素
14、引起的初应力也非弹性力因素引起的初应力也非弹性力学的范畴学的范畴1.4 弹性力学的发展史Development History of Elastic Mechanics回顾历史，弹性力学是在不断解决工回顾历史，弹性力学是在不断解决工程实际问题的过程中逐步发展起来的。程实际问题的过程中逐步发展起来的。16381638年由于建筑工程的需要，迦里略年由于建筑工程的需要，迦里略（GalileoGalileo，G G）首先研究了梁的弯曲）首先研究了梁的弯曲问题问题, ,得出了一些正确的结论得出了一些正确的结论英国力学家胡克英国力学家胡克（Hooke, R.Hooke, R.）根据金属）根据金属丝，弹簧和
15、悬臂木梁的丝，弹簧和悬臂木梁的实验结果于实验结果于16781678年发表年发表了弹性体的变形与作用了弹性体的变形与作用力（更准确地说，应变力（更准确地说，应变与应力）成正比的物理与应力）成正比的物理定律，为弹性理论打下定律，为弹性理论打下了坚实的物理基础。但了坚实的物理基础。但当时仅局限于处理梁，当时仅局限于处理梁，杆，柱拱等一维工程结杆，柱拱等一维工程结构问题。构问题。BernoullisJacob Bernoulli 1654-1705Johann Bernoulli1667-1748Daniel Bernoulli 1700-17821821-18221821-1822年纳维（年纳维（N
16、avier,L.M.HNavier,L.M.H）和柯西）和柯西( (Cauchy,A.LCauchy,A.L) )导出了弹性理论的普遍方程，为弹性理导出了弹性理论的普遍方程，为弹性理论奠定了严密的数学基础论奠定了严密的数学基础Augustin-Louis Cauchy 法国数学家柯西法国数学家柯西 于于1805年进入巴黎综合年进入巴黎综合工科学校，工科学校，1807年入桥梁公路学校，年入桥梁公路学校，1809年毕业后成为军事工程师，负责港年毕业后成为军事工程师，负责港口、碉堡等方面的设计工作。他提出弹口、碉堡等方面的设计工作。他提出弹性体平衡和运动的一般方程，给出应力性体平衡和运动的一般方程，
17、给出应力和应变的的严格定义，提出它们可以用和应变的的严格定义，提出它们可以用六个分量表示。他还给出了应变和位移六个分量表示。他还给出了应变和位移之间的关系式。之间的关系式。Clande-Louis-Marie-Henri Navier (1821)法国力学家、工程师纳维生于法国力学家、工程师纳维生于17851785年，早期进巴黎综合工科学校和桥年，早期进巴黎综合工科学校和桥梁公路学校学习，梁公路学校学习，18191819年起在桥梁年起在桥梁公路学校教授应用力学，公路学校教授应用力学，18241824年当年当选为法国科学院院士选为法国科学院院士纳维的主要贡献是为流体力学和弹纳维的主要贡献是为流体
18、力学和弹性力学建立了基本方程。纳维还最性力学建立了基本方程。纳维还最早采用双三角级数求解简支矩形板早采用双三角级数求解简支矩形板的四阶偏微分方程的四阶偏微分方程Navier equation此后，许多学者致力于解决二维、三维的典型此后，许多学者致力于解决二维、三维的典型工程结构问题，例如平面问题，柱体扭转与弯工程结构问题，例如平面问题，柱体扭转与弯曲问题，接触问题，板壳问题以及开孔，缺口曲问题，接触问题，板壳问题以及开孔，缺口附近的应力集中问题，附近的应力集中问题，GreenGreen从拉格郎日分析从拉格郎日分析力学形成建立了弹性理论的能量形式，即所谓力学形成建立了弹性理论的能量形式，即所谓虚
19、位移原理，并首次决定出最一般弹性关系的虚位移原理，并首次决定出最一般弹性关系的2121个弹性常数，对弹性理论作出贡献的科学家个弹性常数，对弹性理论作出贡献的科学家还有还有EulerEuler，G.LameG.Lame，Saint-Saint-VerantVerant，AiryAiry，MaxwellMaxwell，MichellMichell ，KelvinKelvin，木什海立什维，木什海立什维立，莱维立，莱维(Levy), (Levy), 基儿霍夫基儿霍夫(Kirchhoff)(Kirchhoff)，TimoshenkoTimoshenko，RitzRitz，InglisInglis，钱学
20、森，钱伟长，钱学森，钱伟长等。等。Simon Denis PoissonPoissons ratio（1829）Saint-Venant Saint-Venant Principle uSemi-inverse solution(1853)法国力学家圣维南对弹性力学的研究也做出法国力学家圣维南对弹性力学的研究也做出了重要贡献。他用半逆解法分别求解了柱体了重要贡献。他用半逆解法分别求解了柱体的扭转和弯曲问题，他提出，如果柱体端部的扭转和弯曲问题，他提出，如果柱体端部两种外荷载是静力等效的，则端部以外区域两种外荷载是静力等效的，则端部以外区域内两种情况中的应力场差别甚小。这一思想内两种情况中的应力
21、场差别甚小。这一思想后来称为圣维南原理。圣维南原理长期以来后来称为圣维南原理。圣维南原理长期以来在工程力学中活得了广泛的应用，但它在数在工程力学中活得了广泛的应用，但它在数学上的精确表述和严格证明却是在一百年后。学上的精确表述和严格证明却是在一百年后。泊松在泊松在1829年曾发表了题为年曾发表了题为弹性体平衡和弹性体平衡和运动研究报告运动研究报告的科学论文，文中认为：从的科学论文，文中认为：从理论上推演出的各向同性弹性杆在受到纵向理论上推演出的各向同性弹性杆在受到纵向拉伸时，横向收缩应变与纵向伸长应变之比拉伸时，横向收缩应变与纵向伸长应变之比是一常数，其值为四分之一。这一结论显然是一常数，其值
22、为四分之一。这一结论显然是不正确的。因为后来实验证明，这一比例是不正确的。因为后来实验证明，这一比例系数是与具体材料有关的。但后来人们仍将系数是与具体材料有关的。但后来人们仍将这一比例系数称为泊松比。这一比例系数称为泊松比。Helmholtz Helmholtz free energyHelmholtz transformation S.P.Timoshenko Beams on elastic foundationTimoshenko beam theoryMechanics of plates and shellsElastic vibration 为了满足土木，机械，航空，造船，原子能，
23、为了满足土木，机械，航空，造船，原子能，石油化工等一系列工程需要，石油化工等一系列工程需要，2020世纪以来弹性理论取世纪以来弹性理论取得了重大进展，已成为工程结构强度设计的重要理论得了重大进展，已成为工程结构强度设计的重要理论依据。由于弹性理论取得了重大进展，已成为工程结依据。由于弹性理论取得了重大进展，已成为工程结构强度设计的重要理论依据。由于弹性理论基本方程构强度设计的重要理论依据。由于弹性理论基本方程的复杂性，能够精确求解的工程结构的问题实属少数，的复杂性，能够精确求解的工程结构的问题实属少数，里茨里茨迦辽金分别于迦辽金分别于19081908年和年和19151915年提出基于能量原年提
24、出基于能量原理的直接解法。到理的直接解法。到2020世纪世纪5050年代发展成为了有限单元年代发展成为了有限单元法，边界单元法等数值计算的方法，使对各种工程结法，边界单元法等数值计算的方法，使对各种工程结构进行弹性分析成为现实。构进行弹性分析成为现实。 本教材着重论述线性弹性力学的基本理论，方本教材着重论述线性弹性力学的基本理论，方法和典型问题的求解，不涉及实验和数值计算方法。法和典型问题的求解，不涉及实验和数值计算方法。1.5 张量简介Introduction of Tensor 在弹性力学、塑性力学和有限单元法中，在弹性力学、塑性力学和有限单元法中，经常采用矢量和张量，其特点是简洁扼要，全
25、经常采用矢量和张量，其特点是简洁扼要，全部列出所有分量而不遗漏，而且排列有序，便部列出所有分量而不遗漏，而且排列有序，便于公式推导和编制计算机程序。因此，掌握指于公式推导和编制计算机程序。因此，掌握指标符号、求和约定以及张量的基本知识对于学标符号、求和约定以及张量的基本知识对于学习弹性力学及有限单元法是十分重要的。下面习弹性力学及有限单元法是十分重要的。下面将具体介绍指标符号、求和约定以及矢量、张将具体介绍指标符号、求和约定以及矢量、张量的基本知识。量的基本知识。 1.5.1 指标符号(Index Symbol)与求和约定(Summation Convention )求和式为求和式为 : (1
26、-1)(1-1)可以应用求和符号写成可以应用求和符号写成: : (1-2)(1-2) 我们约定，当在同一项中有一个下标出现两次我们约定，当在同一项中有一个下标出现两次时，则对此下标从时，则对此下标从1 1到到3 3求和，这叫做求和，这叫做求和约定求和约定，也称为也称为爱因斯坦求和约定爱因斯坦求和约定。并且我们把同一项中。并且我们把同一项中重复出现的指标称为重复出现的指标称为哑指标哑指标( (dummy index) )。 因此，因此，(1-2)(1-2)式可以写成式可以写成: :(1-3)又例如方程组又例如方程组( (System Equations) )： 可以写成可以写成 : : (1-6
27、) 式中：式中：i为为自由指标自由指标( (free index) )，同一项中只，同一项中只出现一次，同一方程中，各项的自由指标应相同。出现一次，同一方程中，各项的自由指标应相同。j：为：为哑指标哑指标( (dummy index) )，表示，表示求和求和，同一，同一项中重复出现。项中重复出现。一方面通过哑指标对求和起缩写一方面通过哑指标对求和起缩写的作用，另一方面，通过自由指标可将方程组缩的作用，另一方面，通过自由指标可将方程组缩写为一个指标符号方程写为一个指标符号方程。 1.5.2 1.5.2 克罗内克符号克罗内克符号ij与符号与符号eijkKronecker符号的定义是符号的定义是 :
28、 :定义式表明它的指标和是对称的，即定义式表明它的指标和是对称的，即克罗内克符号写成矩阵形式为克罗内克符号写成矩阵形式为: : 符号符号ij在运算中起到在运算中起到指标置换指标置换的作用，当的作用，当ij的某的某一指标与任意一个指标符号的一个指标构成哑指一指标与任意一个指标符号的一个指标构成哑指标时，所起的作用是将该指标符号的这个指标换标时，所起的作用是将该指标符号的这个指标换成成ij的另一指标。的另一指标。 且：且： 所以所以, ,ij也称为也称为换标符号换标符号。 另另一一个个常常用用的的特特定定指指标标符符号号是是排排列列符符号号，最最常常用用的的三三指指标标的的排排列列符符号号，指指标
29、标取取值值范范围围为为123123，123123是是这这三三个个数数的的顺顺序序排排列列，其其中中任任意意两两数数交交换换一一次次称称为为一一次次置置换换，比比如如将将1212交交换换成成2121，或或者者将将2323交交换换成成3232。由由顺顺序序排排列列经经奇奇数数次次置置换换所所得得称称为为奇奇排排列列，如如213213是是奇奇排排列列，由由顺顺序序排排列列经经偶偶数数次次置置换换所所得得称称为为偶偶排排列列，如如：312312为为偶偶排排列列。其其它它所所有有不不能能由由顺顺序序排排列列经经置置换换得得到到的的称称为为非非排排列列序序列列，如：如：121121，111111。利用上述
30、概念，。利用上述概念，eijk可以定义为：可以定义为： eijk适适用用于于三三阶阶行行列列式式( (Determinant) )的的展展开开，如如将将行行列列式式的的元元素素记记作作amn，则则三三阶阶行行列列式式的的展展开开式式简简写写为为: :1.5.3 矢量的坐标变换The Vectorial Coordinate Transformation 矢矢量量A A的的分分量量在在新新坐坐标标系系中中的的分分量量Ai与与在在旧旧坐坐标标系中的分量系中的分量Ai有如下关系式：有如下关系式：aij表示表示xi和和xj之间的方向余弦之间的方向余弦: :x1x2x3图图1-11-1x1x2ox3（1
31、.14）式（式（1.141.14）可以写成：）可以写成： 或者反过来写成：或者反过来写成： 式中式中aij ,aji代表方向余弦，即代表方向余弦，即 (1-15)(1-16)x1x2x3图图1-11-1x1x2ox31.5.4 正交关系orthogonality relationship 应用克罗内克符号应用克罗内克符号ij ，任何一个矢量的分量可以写成任何一个矢量的分量可以写成(1-18)从方程从方程(1-15)和和(1-16)，可以得到，可以得到(1-19)将将(1-19)(1-19)式代入式代入(1-18)(1-18)式可以得到下列形式式可以得到下列形式: : (1-20) 由由于于矢矢
32、量量的的分分量量Aj的的任任意意性性，于于是是得得到到如如下下正正交交关关系：系： (1-21)同理可得：同理可得： (1-22)(1-22)方程方程(1-21)(1-21)和和(1-22)(1-22)称为方向余弦之间的正交关系。称为方向余弦之间的正交关系。1.5.5 直角坐标张量Rectangular Coordinates Tensor1. 张量的坐标变换定义： 张量即某些依赖坐标轴方向选择的量，随坐标的张量即某些依赖坐标轴方向选择的量，随坐标的方向变换以某种指定的形式作变换，则这些量的总称方向变换以某种指定的形式作变换，则这些量的总称为为张量张量。 现在分析二阶张量，如物体中一点的应力状
33、态现在分析二阶张量，如物体中一点的应力状态ij为为二阶张量，共有二阶张量，共有9个分量，对应于每一个坐标方向有个分量，对应于每一个坐标方向有3个分量，如在个分量，如在x x轴方向有轴方向有11 、 12、 13三个分量为一三个分量为一阶张量，阶张量， ij在两个不同的直角坐标系间的坐标变换用在两个不同的直角坐标系间的坐标变换用张量表示为：张量表示为： (1-23) 当当坐坐标标变变换换按按照照(1-23)(1-23)式式变变换换时时，式式(1-23)(1-23)称称为为二二阶阶张张量量的的解解析析定定义义式式。 Q Qimim、Q Qjnjn式式中中为为新新老老坐坐标标之之间间的的方方向向余余
34、弦弦， ijij 为为新新坐坐标标系系的的应应力力状状态态； mnmn为为同同一一点点在在旧旧坐坐标标系系的的应应力状态。这种坐标变换可以推广到更高阶张量，即力状态。这种坐标变换可以推广到更高阶张量，即 (1-24) (1-25) 张张量量的的阶阶数数就就是是自自由由指指标标的的个个数数，如如式式(1-24)(1-24)中中，自自由由指指标标共共三三个个，所所以以，ijkijk为为三三阶阶张张量量。在在三三维维空空间间中中，张张量量的的分分量数分别为量数分别为。2.2.张量的性质张量相等是指各相应分量相等，记为张量相等是指各相应分量相等，记为 (1-26)同阶张量的和与差仍为同阶张量，记为同阶
35、张量的和与差仍为同阶张量，记为 (1-27)张量相乘，其自由指标数目增加，即张量张量相乘，其自由指标数目增加，即张量增阶增阶，如：，如： 式式(1-28)(1-28)中中，一一阶阶张张量量与与二二阶阶张张量量相相乘乘，变变为为三三阶张量。这种增阶的张量相乘称为张量的阶张量。这种增阶的张量相乘称为张量的外积外积。张量相乘遇到相同指标，即哑指标时，张量缩阶，如 缩阶是由于有这种相同指标，故这种张量相乘缩阶是由于有这种相同指标，故这种张量相乘称为张量的称为张量的内积内积。 1.5.6 格林理论The Theory of Green 如如果果B表表示示的的是是任任意意标标量量或或矢矢量量、张张量量的的标标量量分分量量，格格林林理理论论的的线线、面面积积分分转转换换的的关关系系式式( (又又称称为为奥奥- -高公式高公式) )为为 另另外外，方方程程(1-30)(1-30)也也可可以以应应用用于于矢矢量量的的分分量量Bi和二阶张量的分量和二阶张量的分量Bji，即，即和和 (1-31) (1-32) (1-30)(1-30) 这里这里ni表示了面积上的单位法向矢量的分量。方程右边表示了面积上的单位法向矢量的分量。方程右边的的“，”表示对求偏导数。表示对求偏导数。
