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1、Boltzmann线性叠加原理和时间温度换算法则指导老师：樊教授指导老师：樊教授 组员：汪胜、王丹、王金辉组员：汪胜、王丹、王金辉主要内容uBoltzmann线性叠加原理和时间温度换算法线性叠加原理和时间温度换算法则概念则概念u Boltzmann线性叠加原理和时间温度换算线性叠加原理和时间温度换算法则的用途及如何应用法则的用途及如何应用u工程实例工程实例一Boltzmann线性叠加原理u粘弹性分析的基本元件在研究沥青材料的粘弹性时我们习惯上采用在研究沥青材料的粘弹性时我们习惯上采用如图如图1 1所示的粘弹性元件。所示的粘弹性元件。其中其中a a图中所示的弹簧代表弹性体，其应图中所示的弹簧代表
2、弹性体，其应力应变关系满足虎克定律，力应变关系满足虎克定律， 弹性变弹性变形为瞬时变形，外力撤销后变形完全恢复。形为瞬时变形，外力撤销后变形完全恢复。b b图中所示的粘壶代表牛顿流体，其应力与图中所示的粘壶代表牛顿流体，其应力与应变关系满足牛顿定律，剪应力与剪变率间应变关系满足牛顿定律，剪应力与剪变率间具有比例关系。即具有比例关系。即 uKelvin元件和元件和Maxwell元件元件 1.1.将弹将弹簧与粘壶类似于电路进行并联，得到如图簧与粘壶类似于电路进行并联，得到如图2所示的所示的kelvin元件，元件， Kelvin元件是粘弹性理论的最基本的模型，我们常用它表示蠕变和元件是粘弹性理论的最
3、基本的模型，我们常用它表示蠕变和延迟弹性。当元件受到应力延迟弹性。当元件受到应力 作用时，弹簧和粘壶的变形相同，作用时，弹簧和粘壶的变形相同，元件总体承受的应力为弹簧和粘壶应力之和。在刚加载应力时，由于元件总体承受的应力为弹簧和粘壶应力之和。在刚加载应力时，由于粘壶的限制，粘壶的限制，kelvin元件不能立即产生应变，应力完全由元件不能立即产生应变，应力完全由 粘壶承担。随着时间的增加，粘壶发生粘性流动，弹粘壶承担。随着时间的增加，粘壶发生粘性流动，弹 簧也相应的发生变形。当应变增加到最大时，弹簧变形簧也相应的发生变形。当应变增加到最大时，弹簧变形 达到极限，应变不在增加。这种应力输入恒定、应
4、变响达到极限，应变不在增加。这种应力输入恒定、应变响 应随时间逐渐增加的力学行为称为蠕变。卸去应力后，由于应随时间逐渐增加的力学行为称为蠕变。卸去应力后，由于 弹簧变形恢复到粘壶的限制，应变随时间增加而逐渐减少。弹簧变形恢复到粘壶的限制，应变随时间增加而逐渐减少。当时间经历无限长时，应变可以全当时间经历无限长时，应变可以全部恢复。与虎克弹性体不同，尽管部恢复。与虎克弹性体不同，尽管其变形可以完全恢复，其变形可以完全恢复，kelvin元件元件的变形是时间历程的函数，我们把的变形是时间历程的函数，我们把这样的变形特性称为延迟弹性。类这样的变形特性称为延迟弹性。类似地，称变形恢复为蠕变恢复或延似地，
5、称变形恢复为蠕变恢复或延迟弹性恢复。迟弹性恢复。2.将弹簧和粘壶串联，可得到如图将弹簧和粘壶串联，可得到如图4的的 Maxwell元件。在元件。在Maxwell元件承受应元件承受应力时，弹簧和粘壶承受的应力相同，元力时，弹簧和粘壶承受的应力相同，元件总变形等于弹簧和粘壶的变形之和。件总变形等于弹簧和粘壶的变形之和。在零时刻，给元件施加一个恒定不变的在零时刻，给元件施加一个恒定不变的应变应变 ，由于粘壶不能产生瞬时应变，由于粘壶不能产生瞬时应变，应变发生于弹簧，此时的应力应变发生于弹簧，此时的应力在零时刻应变完全由弹簧承担，随着时在零时刻应变完全由弹簧承担，随着时间历程的增加，粘壶逐渐变形，弹簧
6、承间历程的增加，粘壶逐渐变形，弹簧承担的应变减小导致元件承受的应力逐渐担的应变减小导致元件承受的应力逐渐减小。当时间历程无限长时，应力趋向减小。当时间历程无限长时，应力趋向于零，变形完全由粘壶承担。我们把这于零，变形完全由粘壶承担。我们把这种输入应变恒定不变、响应应力逐渐减种输入应变恒定不变、响应应力逐渐减小的力学行为称为应力松弛。小的力学行为称为应力松弛。u应力松弛函数和蠕变数应力松弛函数和蠕变数1.松弛函数松弛函数 我们将足够多的单个松弛元件我们将足够多的单个松弛元件MaxwellMaxwell元件以图元件以图6 6的形式并联起来，得到一的形式并联起来，得到一组广义组广义MaxwellMa
7、xwell模型。广义的模型。广义的MaxwellMaxwell模型各模型各元件的变形相等，模型承受的应力为各元件元件的变形相等，模型承受的应力为各元件承受的应力之和。可以得到此模型下的松弛承受的应力之和。可以得到此模型下的松弛应力应力记记则则上式是由广义的上式是由广义的Maxwell模型积分得到的应力松弛条件下的本构方程。模型积分得到的应力松弛条件下的本构方程。根据这一本构方程，类似于弹性模量的定义，上式中根据这一本构方程，类似于弹性模量的定义，上式中 被称为被称为松弛弹性模量；松弛弹性模量； 为恒定的常数，代表残余的松弛应力水平，通为恒定的常数，代表残余的松弛应力水平，通常称为静弹性模量；常
8、称为静弹性模量； 则称为松弛函数。则称为松弛函数。的应力松弛曲线和松弛的应力松弛曲线和松弛弹性模量曲线如图弹性模量曲线如图7 7松弛弹性模量普遍认为沥青路面材料的松弛弹性模量具有如下特点：普遍认为沥青路面材料的松弛弹性模量具有如下特点： 在时间历程趋近于零时，松弛弹性模量具有极限值，一般称为极在时间历程趋近于零时，松弛弹性模量具有极限值，一般称为极限弹性模量。根据极限弹性模量的定义，必须在极短的时间条件下测限弹性模量。根据极限弹性模量的定义，必须在极短的时间条件下测定，难度相当大。许多研究者采用定，难度相当大。许多研究者采用 量级进行测定，并以量级进行测定，并以理论换算方式推算理论换算方式推算
9、 或更短时间条件下的松弛弹性模量来代或更短时间条件下的松弛弹性模量来代表极限弹性模量。图表极限弹性模量。图7所示的时间所示的时间 被认为是材料力学行为由弹性向被认为是材料力学行为由弹性向粘性转换的过度时间，并认为在相同的条件下，这一过渡时间越短，粘性转换的过度时间，并认为在相同的条件下，这一过渡时间越短，材料的应力松弛性能越好。材料的应力松弛性能越好。2.2.蠕变函数蠕变函数类似于广义的类似于广义的MaxwellMaxwell模型，我们可以把若干个模型，我们可以把若干个KelvinKelvin元元件串联组合，得到被称为广义件串联组合，得到被称为广义KelvinKelvin模型的蠕变模型图模型的
10、蠕变模型图8 8。在此蠕变模型中，各元件承受的应力相等，模型响应的在此蠕变模型中，各元件承受的应力相等，模型响应的总应变为各元件应变之和。有此模型可以得到蠕变应变总应变为各元件应变之和。有此模型可以得到蠕变应变的表达式如下的表达式如下记 则则记记上式是由广义上式是由广义KelvinKelvin模型积分得到的蠕变条件下的蠕变变形本构方程式。模型积分得到的蠕变条件下的蠕变变形本构方程式。其中其中 为蠕变柔量，为蠕变柔量， 为蠕变函数为蠕变函数 为瞬时弹性模量的倒为瞬时弹性模量的倒数，称平衡蠕变柔量。数，称平衡蠕变柔量。积分型蠕变方程的蠕变、蠕变恢复和蠕变柔量如图积分型蠕变方程的蠕变、蠕变恢复和蠕变
11、柔量如图9 9积分型蠕变方程的蠕变、蠕变恢复和蠕变柔量如图积分型蠕变方程的蠕变、蠕变恢复和蠕变柔量如图9 9蠕变柔量 波尔兹曼叠加原理波尔兹曼叠加原理 Bolztmann叠加原理是解决叠加原理是解决线性弹性行为线性弹性行为的一种数学处理方式，它是描述不同时间加上的一种数学处理方式，它是描述不同时间加上不同荷载时材料的形变特性。不同荷载时材料的形变特性。 线性粘弹性行为线性粘弹性行为：较小形变、较小应力：较小形变、较小应力的情况下，也就是在相当温和的条件下。的情况下，也就是在相当温和的条件下。 在较大形变或较大应力下，材料内部已经在较大形变或较大应力下，材料内部已经发生了质变，发生了质变，Bol
12、ztmann叠加原理可能就不能叠加原理可能就不能适用了。适用了。u粘弹函数的线性叠加原理 有前面的知识知，粘弹函数事实上可以分成蠕变函数和松弛函数两有前面的知识知，粘弹函数事实上可以分成蠕变函数和松弛函数两大类。在这两类函数间可以推导出许多有用的换算关系，从而揭示材大类。在这两类函数间可以推导出许多有用的换算关系，从而揭示材料展现弹性力学行为的本质。但是，在这两类函数之间关系方面最重料展现弹性力学行为的本质。但是，在这两类函数之间关系方面最重要的是以要的是以BoltzmannBoltzmann经验方法为基础发展起来的线性叠加原理。经验方法为基础发展起来的线性叠加原理。BoltzmannBolt
13、zmann线性叠加原理由许多表现形式，这里介绍以蠕变积分方程和应线性叠加原理由许多表现形式，这里介绍以蠕变积分方程和应力松弛积分方程为基础的推演方法。力松弛积分方程为基础的推演方法。如图如图1010所示，对于所示，对于 所示的蠕变积分方程，在时刻所示的蠕变积分方程，在时刻t=0施加应力施加应力 ，则：，则：在时刻在时刻 施加第二个应力增加量施加第二个应力增加量 ，相应的，相应的应变响应为：应变响应为：如果这两个应变可以叠加，那么如果这两个应变可以叠加，那么在更一般的情况下，在时刻在更一般的情况下，在时刻 ， ，. ，分别施加应力增量，分别施加应力增量 再有积分关系得：再有积分关系得：或对于应力
14、松弛函数，类似地也可以得到：对于应力松弛函数，类似地也可以得到：或以上四个公式即是以蠕变积分方程和应力松弛积分方程推演得到的以上四个公式即是以蠕变积分方程和应力松弛积分方程推演得到的Boltzmann线性叠加原理表达式。以这种方式描述的线性叠加原理表达式。以这种方式描述的Boltzmann线线性叠加原理也称为应力或应变的履历积分。满足性叠加原理也称为应力或应变的履历积分。满足Boltzmann线性叠线性叠加原理的力学行为称为线粘弹性力学行为，呈现这种力学行为的材加原理的力学行为称为线粘弹性力学行为，呈现这种力学行为的材料称为线粘弹性材料。料称为线粘弹性材料。Boltzmann线性叠加原理应注意
15、以下一些问题：线性叠加原理应注意以下一些问题：1. Boltzmann线性叠加原理表明，材料在现时刻以前的应力、应变线性叠加原理表明，材料在现时刻以前的应力、应变履历对现时刻的力学行为具有影响，现时刻后的力学响应式以往全履历对现时刻的力学行为具有影响，现时刻后的力学响应式以往全部时间历程内力学行为影响的总和。部时间历程内力学行为影响的总和。 2. 2.过去各时刻应力或应变履历对现时刻的应力或应变行为的影过去各时刻应力或应变履历对现时刻的应力或应变行为的影 响可以简单可以简单地进行线性叠加，因此，尽管以上四个式子是由响可以简单可以简单地进行线性叠加，因此，尽管以上四个式子是由蠕变履历和应力松弛履
16、历的积分方程式推演得到的，但是利用蠕变履历和应力松弛履历的积分方程式推演得到的，但是利用Boltzmann线性叠加原理，它们也可以分别用来计算任意应力输入方线性叠加原理，它们也可以分别用来计算任意应力输入方式或任意应变输入方式下的应变响应或应力响应，线粘弹性力学行为式或任意应变输入方式下的应变响应或应力响应，线粘弹性力学行为的研究由此变的相当简单。的研究由此变的相当简单。 3. 3.尽管上面四式是从负无穷开始积分的，所有的应力或应变履尽管上面四式是从负无穷开始积分的，所有的应力或应变履历都对现时刻的应力或应变行为产生影响，但是由于经历了相当长的历都对现时刻的应力或应变行为产生影响，但是由于经历
17、了相当长的时间，这些影响可能已经变得相当微弱。可以选择适当的时刻作为研时间，这些影响可能已经变得相当微弱。可以选择适当的时刻作为研究的零时刻，以上各式的积分下限也可以取为零。究的零时刻，以上各式的积分下限也可以取为零。 4. 4.由上述四个线性叠加原理表达式，我们可以进一步推演两大由上述四个线性叠加原理表达式，我们可以进一步推演两大函数之间换算关系得数学描述函数之间换算关系得数学描述： 通过这样的换算关系，我们可以由某一类函数的测定结果计算通过这样的换算关系，我们可以由某一类函数的测定结果计算 得到另一类函数的力学特性。在工程研究中，有时也近似地假定得到另一类函数的力学特性。在工程研究中，有时
18、也近似地假定尽管存在误差，这样的近似为工程研究提供了相当的方便尽管存在误差，这样的近似为工程研究提供了相当的方便。二、时间温度换算法则u时间温度换算的原理 由于粘弹性材料的力学行为受到粘性分量的影响，粘性流动变形是时间的函数，因此这类材料的力学响应也为时间的函数。同样的，由于粘性材料的流动特性也是依赖于温度的函数，粘弹性材料的力学行为也和温度有关。现在我们来研究特征函数与温度之间的关系。 在沥青混合物这类材料的实验研究中，常常需要改变温度条件来测定材料的特征函数。在研究工作中不难发现，不同温度、不同时间条件下实验测定得到的特征函数曲线具有大致相同的形状。以图11中所示的松弛弹性模量实测曲线为例
19、，在温度 条件下分别得到图示的实测松弛弹性模量曲线得到图示的实测松弛弹性模量曲线和和 。如果将温度。如果将温度 为为 时的测定曲线向左移时的测定曲线向左移动，不同温度下测得的松弛弹性模量曲线动，不同温度下测得的松弛弹性模量曲线 则将与则将与 曲线重合。类似地，也可以将曲线曲线重合。类似地，也可以将曲线 向左移动，同样向左移动，同样可以得到两条曲线大致重叠。采用更一般的记法：可以得到两条曲线大致重叠。采用更一般的记法： 上述的叠合关系可以记作：上述的叠合关系可以记作：上式表明，粘弹性材料的特征函数既是时间的函数，也是温度的函数，上式表明，粘弹性材料的特征函数既是时间的函数，也是温度的函数，在时间
20、因子和温度因子之间存在一定的换算关系，这样的换算关系称在时间因子和温度因子之间存在一定的换算关系，这样的换算关系称为时间为时间温度换算法则。温度换算法则。 有了这样的换算方法，我们就可以将粘弹性力学中应有了这样的换算方法，我们就可以将粘弹性力学中应力力应变应变时间时间温度的四维空间问题简化为应力温度的四维空间问题简化为应力应变应变时间或应力时间或应力应变应变温度的三维空间问题。温度的三维空间问题。 换句话说，在粘弹性材料力学行为的数学空间中，时换句话说，在粘弹性材料力学行为的数学空间中，时间和温度是可以互相代换的非独立变量。间和温度是可以互相代换的非独立变量。 由于时间由于时间温度可以互相换算
21、，着为实验研究提供了温度可以互相换算，着为实验研究提供了极大的方便。特别是在沥青路面技术研究领域中，这一换极大的方便。特别是在沥青路面技术研究领域中，这一换算关系有着很重要的工程应用。算关系有着很重要的工程应用。uWLF公式公式时间时间温度换算法则最早是依赖于实验观测结果和经验方法建立起来的。温度换算法则最早是依赖于实验观测结果和经验方法建立起来的。那么是否能够找到它的一般数学关系，是否能在它的数学表现与所依那么是否能够找到它的一般数学关系，是否能在它的数学表现与所依据的理论之间建立必要的联系呢？据的理论之间建立必要的联系呢？19951995年，由化学家年，由化学家、和和共同提出了共同提出了W
22、LFWLF公式：公式：此式以无定型聚合物的玻璃态脆化点温度此式以无定型聚合物的玻璃态脆化点温度 作为基准温度，在玻璃态作为基准温度，在玻璃态脆化点处脆化点处 =1=1， =0=0。在。在WLFWLF公式中确定公式中确定 =17.4=17.4， =51.6=51.6。WLFWLF公式是依赖于公式是依赖于DolittleDolittle公式及高于玻璃态脆化点时自由体积膨公式及高于玻璃态脆化点时自由体积膨胀的假定建立的，它是一个半经验、半理论的公式。特别需要指出的胀的假定建立的，它是一个半经验、半理论的公式。特别需要指出的是，只有在略微低于玻璃态脆化点的低温范围内才能使用这一公式进是，只有在略微低于玻璃态脆化点的低温范围内才能使用这一公式进行时间行时间温度换算。温度换算。WLFWLF公式的使用温度范围为：公式的使用温度范围为： 并不是所有的高分子材料都满足上述的时间并不是所有的高分子材料都满足上述的时间温度换算法则，在温度换算法则，在粘弹性材料力学性能研究中，满足粘弹性材料力学性能研究中，满足WLFWLF公式、可以进行时间公式、可以进行时间温度换温度换算的材料称为单纯流变物质。算的材料称为单纯流变物质。三、时间温度换算的工程实例长大纵坡对沥青路面产生车辙的影响分析.caj 谢谢观赏！谢谢观赏！谢谢观赏！
