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1、轴轴 测测 投投 影影 图图轴轴 测测 投投 影影 图图第第第第 5 5 章章章章1 第3章介绍的基本体投影图和第4章介绍的组合体三视图，都是采用正投影的方法，画出一组视图来表达一个形体，视图的最大优点是度量性好，但单个视图只反映了一个方向的结构形状和两个方向的大小尺寸，直观性差。为此，工程上常用轴测图作为辅助图样，来直观表达物体的空间形状。5.1 轴测图的基本知识轴测图的基本知识5.1.1 轴测图的形成及基本概念 将空间物体连同确定其位置的直角坐标系，沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法投射在某一选定的单一投影面上所得到的具有立体感的图形，称为轴测投影图，简称轴测图，即通常所说的立体图
2、，如图5-1所示。1轴测图的形成5.1 轴测图的基本知识轴测图的基本知识图5-1 轴测图的形成5.1 轴测图的基本知识轴测图的基本知识 如图5-1所示，在轴测图中，选定的投影面P称为轴测投影面；空间直角坐标轴OX，OY，OZ在轴测投影面上的投影 O1X1，O1Y1，O1Z1称为轴测轴；两正向轴测轴之间的夹角X1O1Y1 ， Y1O1Z1 ， X1O1Z 1称为轴间角；轴测轴上的单位长度与空间直角坐标轴上对应单位长度的比值，称为轴向伸缩系数，OX，OY，OZ的轴向伸缩系数分别用p，q，r表示，即p= O1A1/ OA， q= O1B1/ OB ， r= O1C1/ OC 。2轴测图的基本概念轴间
3、角与轴向伸缩系数是绘制轴测图的两个主要参数。5.1.2 轴测图的投影特性及分类轴测图的投影特性及分类 由于轴测图是用平行投影法形成的，因此它具有平行投影的全部特性，具体如下。1轴测面的投影特性 空间相互平行的直线，其轴测投影也相互平行。空间相互平行的线段，其轴测投影的伸缩系数相同。 空间同一线段上的各段长度之比等于其轴测投影上对应的各段长度之比。 与坐标面平行的平面，其轴测投影平行于对应的轴测坐标面。5.1.2 轴测图的投影特性及分类轴测图的投影特性及分类 按投射方向与轴测投影面是否垂直，轴测图可分为正轴测图和斜轴测图两类，如图5-2和图5-3所示。其中，正轴测图是指用正投影法得到的轴测图，斜
4、轴测图是指用斜投影法得到的轴测图。2轴测面的分类5.1.2 轴测图的投影特性及分类轴测图的投影特性及分类图5-2 正轴测图图5-3 斜轴测图5.1.2 轴测图的投影特性及分类轴测图的投影特性及分类 正轴测图又分为正等轴测图、正二等轴测图和正三轴测图；斜轴测图又分为斜等轴测图、斜二等轴测图和斜三轴测图。为了直观性好以及绘图方便，工程中常采用正等轴测图和斜二等轴测图。5.2 正等轴测图正等轴测图5.2.1 正等轴测图的特征 正等轴测图简称为正等测图，是指三个轴向伸缩系数均相等（ p=q=r）的正轴测图，如图5-4所示，其特征如下。三个轴间角相等，均为120。其中，OX轴表示长度，OY轴表示宽度，O
5、Z轴表示高度，且规定OZ轴画成铅垂线。5.2 正等轴测图正等轴测图图5-4 正等轴测图5.2.2 正等轴测图的画法正等轴测图的画法 根据三视图画轴测图的关键是要弄清直角坐标系与轴测坐标系间的对应关系。点是描述形体最基本的几何元素，因此，先介绍点正等轴测图的画法，然后再介绍其他形体正等轴测图的画法。5.2.2 正等轴测图的画法正等轴测图的画法 如图5-5（a）所示，A点的直角坐标用（xa ，ya ，za ）表示，为作图简便，简化伸缩系数取1，A点正等轴测图的画法如下。1点正等轴测图的画法按图5-5（b）所示的形式画出正等轴测坐标系O1 X1Y1Z1 ，如图5-5（c）所示。 在轴测轴O1X1上找
6、出投影图中ax的对应点 a1x1，即在O1X1 轴上截取 O1a1x1 = Oax =xa。5.2.2 正等轴测图的画法正等轴测图的画法 在 O1 X1Y1Z1 坐标系中，过a1x1作O1Y1的平行线，根据投影图在该平行线上截取a1x1a1 = axa =ya 。 在O1 X1Y1Z1坐标系中，过a1作O1Z1轴的平行线，在该平行线上截取a1A1 = axa =Za，所得 点即为空间点A的正等轴测图，如图5-5（c）所示。 a1称为A在水平轴测坐标面上的次投影。也可以先作出A在X1OZ1坐标面上的次投影a1或在Y1OZ1坐标面上的次投影a1 ，然后再作出A1。5.2.2 正等轴测图的画法正等轴
7、测图的画法图5-5 点正等轴测图的画法（a）点的投影图 （b）正等轴测图的轴测轴 （c）点的正等轴测图5.2.2 正等轴测图的画法正等轴测图的画法 画平面立体的正等轴测图时，先在立体上选定空间坐标系，根据坐标值和采用的简化轴向伸缩系数，将立体上的各定位点画到轴测坐标体系中，然后连接各顶点即得平面立体的轴测图。2平面立体正等轴测图的画法5.2.2 正等轴测图的画法正等轴测图的画法平面立体正等轴测图的画图步骤如下。1 确定坐标系。 在投影图中确定形体的空间直角坐标系，并在投影图中标出坐标轴的投影，坐标轴的方向不具有正负的含义，只表示截取线段的方向。画图时应根据形体特点选取坐标原点和坐标轴方向，常见
8、的对应轴测轴形式如图5-6所示。5.2.2 正等轴测图的画法正等轴测图的画法图5-6 正等轴测轴的常见形式（a）（b）（c）（d）5.2.2 正等轴测图的画法正等轴测图的画法 画轴测轴。2 画轴测图。 画轴测图的实质是画立体表面各个可见面的轴测投影，而面由多边形表示，多边形的边由端点确定，因此画出多边形各个顶点的轴测投影，依次连线，即可得到面的轴测投影。画各个面的顺序是从前向后、从上向下、从左向右依次画出各个可见面，这样可避免把不可见的面也画出来。35.2.2 正等轴测图的画法正等轴测图的画法 画这些面的过程中，应先画形体特征明显的面。这些形体特征明显的面一般为投影面平行面，比较容易画出。此外
9、，面与面之间有相关性，即具有公共边，画出了这些面也就画出了另一些面的某些边，最后补充某些未画的边，即可完成全图。 物体轴测图常用的画图方法有坐标法、叠加法、挖切法，其中，坐标法是最基本的画法，其余两种都是建立在坐标法基础上的画法。5.2.2 正等轴测图的画法正等轴测图的画法根据点的坐标作轴测投影图的方法称为坐标法。【例5-1】如图5-7（a）所示，已知正六棱柱的视图，求作其正等轴测图。 由图5-7（a）所示投影图可知，六棱柱只有前面、顶面和两个侧面可见，所以轴测图中只需画出这些面即可。从图中还可知顶面是形体特点最明显的面，应先画，然后再画其他面。5.2.2 正等轴测图的画法正等轴测图的画法作图
10、：作图步骤如下。在正六棱柱视图上选定空间直角坐标系，如图5-7（a）所示。 作正等轴测轴，如图5-7（b）所示。根据图5-7（a）所示投影图给出的点坐标，作正六棱柱顶面各顶点A，B，C，D，E，F的轴测投影点A1，B1，C1，D1，E1，F1 ，将相邻两点连线即可得到顶面的轴测投影，如图5-7（b）所示。5.2.2 正等轴测图的画法正等轴测图的画法过A1，B1，C1，D1，E1，F1 ，分别作Z1轴的平行线，并以各点为端点，在所作平行线上截取长度等于六棱柱高度H的线段，即可得到正六棱柱下底面可见侧棱上的各顶点。依次连接各可见对应顶点，即得正六棱柱的正等轴测图，如图5-7（b）所示。去掉不可见部
11、分，描深图线，即可完成作图，如图5-7 （c）所示。 5.2.2 正等轴测图的画法正等轴测图的画法图5-7 用坐标法绘制正六棱柱的正等轴测图（a）在视图上选定坐标系（b）作图过程（c）图线加深后的正等轴测图5.2.2 正等轴测图的画法正等轴测图的画法 对于叠加形式的组合体，可采用叠加法绘制组合体的轴测图，即先采用坐标法逐个画出基本体的轴测图，然后按相对坐标位置将它们叠加，即可得到组合体的轴测图。5.2.2 正等轴测图的画法正等轴测图的画法【例5-2】如图5-8（a）所示，已经组合体的三视图，求作其正等轴测图。 组合体由三部分组成，且都是规则的平面立体，坐标轴的取法如图5-8（a）所示。先利用点
12、的轴测投影作图方法作出特殊点的轴测投影，再利用平行性作面，依次作出各基本立体，从而得到组合体的轴测图。5.2.2 正等轴测图的画法正等轴测图的画法作图：作图步骤如图5-8（b）至图5-8（e）所示。图5-8 用叠加法绘制组合体的正等轴测图（a）在视图中定出空间坐标系（b）画正等轴测轴（c）作底板的正等轴测图5.2.2 正等轴测图的画法正等轴测图的画法图5-8 用叠加法绘制组合体的正等轴测图（d）作后侧竖板的正等轴测图 （e）作右测三棱柱的正等轴测图并描深5.2.2 正等轴测图的画法正等轴测图的画法 对于切割形式的组合体，可采用切割法绘制组合体的轴测图，即先画出基本体的轴测图，然后再逐步挖切出孔
13、、槽等结构，形成给定的形体。5.2.2 正等轴测图的画法正等轴测图的画法【例5-3】如图5-9（a）所示，已知形体的三视图，求作其正等轴测图。 形体经一系列平面的组合切割而得到。画轴测图就是要画出这些面及切割过程中产生的交线。画切割方式生成形体的轴测图时，应先作反映实形的面，即平行于坐标面的平面，再作一般位置平面。 作图5-9中V形槽的投影时，应先作槽的底面和形体两侧的顶面，再作两侧面。作底面时应根据投影图中的定位坐标，确定其在轴测投影图中的位置。5.2.2 正等轴测图的画法正等轴测图的画法作图：作图步骤如图5-9（b）至图5-9（e）所示。图5-9 用切割法绘制切割体的正等轴测图（a）视图中
14、选定空间直角坐标系 （b）画正等轴测轴 （c）作基本体的正等轴测图5.2.2 正等轴测图的画法正等轴测图的画法图5-9 用切割法绘制切割体的正等轴测图 （d）用侧垂面切除一个三棱柱（e）中间切出一个V形槽，并描深5.2.2 正等轴测图的画法正等轴测图的画法 在正等轴测投影中，由于空间各坐标面相对于轴测投影面都是倾斜的，且倾角相等，所以平行于各坐标面的圆，在轴测图中的投影均为大小相等、方向不同的椭圆。椭圆的方向取决于其长、短轴的方向，如图5-10所示。3回转体正等轴测图的画法5.2.2 正等轴测图的画法正等轴测图的画法图5-10 三个不同坐标平面的圆的正等轴测图5.2.2 正等轴测图的画法正等轴
15、测图的画法 轴测图中椭圆常用的画法有弦线法和四心圆弧法。 弦线法的实质为坐标法，先作出椭圆上若干点的投影，然后连成光滑的曲线，其作图过程如图5-11所示。图中X1轴上的各点与x轴上的各点对应相等，过X1轴上各点所作的弦仍保持平行，且长度仍等于过x轴上对应点的弦长。弦线法所作椭圆较为准确，但作图过程繁琐。5.2.2 正等轴测图的画法正等轴测图的画法图5-11 弦线法作椭圆（a）在圆上作与Y（X）轴平行的弦（b）作轴测轴，确定各弦端点的轴测投影（c）依次光滑连接各端点5.2.2 正等轴测图的画法正等轴测图的画法 四心圆弧法是先画圆外切正方形的正等轴测投影，然后定出四个圆心，画四段相切的圆弧代替椭圆
16、曲线的方法。此法是一种近似画法，画图简便，易于确定长、短轴方向，便于徒手画图，但长、短轴误差较大。 实际画图时，一般不要求准确地画出椭圆的曲线，因此，常采用四心圆弧法画近似椭圆。如图5-12所示，四心圆弧法画近似椭圆的步骤如下。5.2.2 正等轴测图的画法正等轴测图的画法1 作圆的外切正方形abcd，如图5-12（a）所示。2 作轴测轴 O1X1， 和切点A1 ，B1，C1，D1，然后过这些点作轴测轴的平行线，即可得到外切正方形的轴测菱形，如图5-12（b）所示。3 连接菱形的对角线，然后将短对角线的顶点4与对边的中点B1和 C1连接起来，分别与长对角线交于点2和点3，如图5-12（c）所示。
17、5.2.2 正等轴测图的画法正等轴测图的画法4 分别以短对角线的顶点4，5为圆心，以 R2（即B14 ）为半径作圆弧 和 ，接着以点2和点3为圆心，以 R1 （即C13 ）为半径作圆弧 和 ，这四段圆弧连成的近似椭圆即为所求，如图5-12（d）所示。图5-12 四心圆弧法作近似椭圆（a）（b）（c）（d）5.2.2 正等轴测图的画法正等轴测图的画法【例5-4】如图5-13（a）所示，已知圆柱体的视图，求作圆柱体的正等轴测图。作图：作图步骤如下。1 用四心圆弧法作顶圆的正等轴测图，如图5-13（b）所示。5.2.2 正等轴测图的画法正等轴测图的画法图5-13 圆柱正等轴测图的画法（a）（b）5.
18、2.2 正等轴测图的画法正等轴测图的画法2 将顶圆椭圆各段圆弧的圆心沿Z1 轴向下移动一个圆柱高的距离，即可得到底圆椭圆各段圆弧的圆心位置，然后判别可见性，只画出底圆可见部分的轮廓，如图5-13（c）所示。3 作两椭圆的公切线，去掉多余线条，按要求描深图线，如图5-13（d）所示。5.2.2 正等轴测图的画法正等轴测图的画法图5-13 圆柱正等轴测图的画法（c）（d）5.2.2 正等轴测图的画法正等轴测图的画法 作回转体的正等测轴测图时，需注意端面圆所平行的坐标面，应用互相垂直的两条中心线的轴测投影确定圆所在平面的位置，在中心线投影上找出对应的切点，然后再用四心圆弧法作出椭圆，这样才能正确地作
19、出回转体的正等测轴测图。 例如，图5-14中，圆柱体端面与不同坐标面平行，圆柱体的轴测图也不同。5.2.2 正等轴测图的画法正等轴测图的画法图5-14 不同方向圆柱体的轴测图画法5.2.2 正等轴测图的画法正等轴测图的画法 如图5-15（a）所示，当形体上有1/4圆弧组成的圆角轮廓时，其在轴测图上为1/4椭圆弧，为了作图简便，可用圆弧代替椭圆弧，该圆弧可通过作各切点的垂直线来绘制。4圆角正等轴测图的画法5.2.2 正等轴测图的画法正等轴测图的画法图5-15（a）所示视图的正等轴测图的作图步骤如下。1 画长方形板的正等轴测图，接着在顶面上截得圆角的四个切点1，2，3，4，如图5-15（b）所示。
20、2 分别过各切点作其所在棱边的垂线，其交点分别为O1，O2 ，如图5-15（c）所示。5.2.2 正等轴测图的画法正等轴测图的画法3 以点O1为圆心，以O11为半径连接切点1，2；以点O2为圆心，以O23为半径连接切点3，4，即可得到顶面的两个圆角，如图5-15（d）所示。4 将圆心O1，O2以及切点1，2，3，4沿竖直方向向下移动h（板的高度），即可得到底面两圆弧的圆心和切点，按照相同的方法画出底面圆角的正等轴测图，如图5-15（e）所示。5 擦去多余线条，描深其余图线，结果如图5-15（f）所示。5.2.2 正等轴测图的画法正等轴测图的画法（a）（b）（c）（d）（e）（f）图5-15 带
21、有圆角形体的正等轴测图画法5.3 斜二等轴测图斜二等轴测图5.3.1 斜二等轴测图的形成及特征1斜二等轴测图的形成 如图5-16所示，当空间物体上的坐标平面XOZ平行于轴测投影面，且将OZ轴置于铅垂位置时，用斜投影法将物体连同其坐标系一起向V面投射，所得到的轴测图称为斜二等轴测图。在斜二等轴测图中，由于物体上的坐标平面XOZ与轴测投影面平行，因此物体上平行于XOZ坐标平面的直线和图形在轴测投影面上均反映实长和实形，常用于绘制有较多圆或圆弧的物体。5.3 斜二等轴测图斜二等轴测图2斜二等轴测图的特征 斜二等轴测图的主要特征如下。12轴间角： Z1O1X1=90， Y1O1Z1=X1O1Y1=13
22、5 ，如图5-17所示轴向伸缩系数：p = r =1，q = 1/2。5.3 斜二等轴测图斜二等轴测图 图5-16 斜二等轴测图的形成 图5-17 斜二等轴测图的轴间角5.3.2 斜二等轴测图的画法斜二等轴测图的画法 在斜二等轴测图中，形体上凡是平行于XOZ坐标面的平面，其轴测投影的形状和线段的长度均不变；凡是平行于Y轴的线段，其轴测投影长度变为1/2，对应轴测轴的平行性不变。因此，斜二测特别适合画轴线方向相同的回转体所构成的组合体。5.3.2 斜二等轴测图的画法斜二等轴测图的画法 画斜二等轴测图时，因平行于V面的面反映实形，且容易作图，故先画此面轴测图；然后沿Y1轴方向作出形体上各平行于Y轴
23、的棱线，按伸缩系数1/2截取各点，将对应点相连即得形体的斜二等轴测图。5.3.2 斜二等轴测图的画法斜二等轴测图的画法 如图5-18（a）所示圆柱体的视图，在斜二等轴测坐标系O1 X1Y1Z1中的Y1轴上截取两端面圆中心距长度的一半，分别以两个端点为圆心，以圆柱体端面圆的半径为半径画圆，然后作两圆的公切线，去掉后底圆的不可见部分，描深剩余图线，即得圆柱体的斜二等轴测图，如图5-18（b）、图5-18（c）所示。5.3.2 斜二等轴测图的画法斜二等轴测图的画法（a）（b）（c）图5-18 圆柱体的斜二等轴测图画法5.3.2 斜二等轴测图的画法斜二等轴测图的画法【例5-5】如图5-19（a）所示，
24、已知带孔圆台的两个视图，求作其斜二等轴测图。 圆台具有同轴圆柱孔，圆台的前后端面及孔口都是圆，因此将前、后端面平行于正面放置，以后端面作为X1O1Z1坐标面，作图比较方便。5.3.2 斜二等轴测图的画法斜二等轴测图的画法作图：作图步骤如下。 画出轴测轴，在Y1轴上量取L/2，定出前端面的圆心，如图5-19（b）所示。画出前、后端面上的四个圆，如图5-19（c）所示。 作前、后端面上两个大圆的公切线，如图5-19（d）所示。 擦去作图线并描深，完成带孔圆台的斜二等轴测图，如图5-19（e）所示。5.3.2 斜二等轴测图的画法斜二等轴测图的画法（a）（b）（c）图5-19 带孔圆台的斜二等轴测图画
25、法5.3.2 斜二等轴测图的画法斜二等轴测图的画法（d）（e）图5-19 带孔圆台的斜二等轴测图画法5.4 轴测图草图画法轴测图草图画法 轴测图草图也是设计人员必须具备的一项基本技能。下面以图5-20所示为例，介绍轴测图草图的画图步骤，具体如下。为使三视图与轴测图之间有明确的对应关系，首先应在三视图的适当部位取一点作为坐标原点，如图5-20（a）中的点O（o，o，o），并确定坐标轴的方向。 在轴测坐标网格线上取一格点作为对应轴测图的坐标原点 O 1。根据形体特点选择合适的坐标轴，如图5-20（b）所示。5.4 轴测图草图画法轴测图草图画法为方便作图，用方格作图形单位，使视图中坐标系下的正交网格数和轴测坐标系下的轴测网格数相同，利用这种对应关系作出全部图形。 加深可见轮廓线，完成后的图形如图5-20（b）所示。5.4 轴测图草图画法轴测图草图画法（a）（b）图5-20 由三视图画轴测图草图本章小结 1.掌握正等测、斜二测两种常用轴测图的画法，熟悉其各自特点及应用场合。能熟练绘制基本体的正等轴测图。 2.能绘制正面带有较多圆或圆弧形体的斜二等轴测图。 3.
