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1、特殊平行四边形二初二数学主讲教师邓兰萍Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望正方形正方形一完美的正方形:.是更特殊的平行四边形:具有平行四边形的一般特征;.是特殊的矩形:有一组邻边相等的矩形;.是特殊的菱形:有一个角是直角的菱形;.是中心对称图形又是轴对称图形有四条对称轴 .如图:菱形菱形正方形正方形矩形矩形平行四边形平行四边形二.正方形的特征 .边:四条边相等;AB=BC=CD=DA.角:四个角相等; A=B=C=D=90.对角线:相等且互相垂直平分;AC=BD,ACBD
2、,AO=OC,BO=OD.O是正方形ABCD的对称中心, 直线AC.BD.EF.GH都是它的对称轴.三.正方形的识别:说明:根据正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系,遇到具体问题时,可以本着先判断是平行四边形,再判断是矩形或菱形,进而得到正方形.4个个2个个平行四平行四边形边形正方形正方形菱形菱形矩形矩形四边形四边形1个个1个个1个个1个个2个个四.其它:.与正方形相关的三角形:等腰直角三角形.图形分解:.正方形的面积:S正方形正方形=a 2 = l 23.正方形问题中常见的图形变换:（）（）五五.正方形知识的应用正方形知识的应用: 例例.已知已知:如图如图,E E是正方形是正方形ABCD中中
3、BD 上一点上一点,且且BEBC,求求:DCE的度数的度数.分析:正方形ABCD对角线BD平分ABC, 故BCD是等腰Rt,DBC45,由 条件可知BEC为等腰,BCE可求, 进而利用正方形特征可求DCE度数.EDCBA解正方形ABCD ABCBCD90 又BD平分ABC BEBC 在BEC中由内角和可知 DCEBCDBCE9067.522.5EDCBAFEDCBA例例. .如如图图, ,ABC中中, ,ACB=90,CD是是角角平平分分 线线 , ,DEAC于于 E,DFBC于于 F. .试试 说说 明明DFCE为正方形的理由为正方形的理由. . 分析:判断正方形可先确定四边DFCE为矩形或
4、菱形证明:ACB90 又DEAC于E,DF BC于FCEDCFD90四边形DFCE为矩形,（有三个角是直角的四边形是矩形）CD是ABC的角平分线 DEDF（角平分线上的点到角的两边距离相等）矩形DFCE为正方形（一组邻边相等的矩形是正方形） FEDCBA例例. .如图如图, ,E是正方形是正方形ABCD内一点内一点, ,且且ABE是等边三角形是等边三角形. .求求: :BED的度数的度数. .分析:由于正方形ABCD与正三角形ABE边等,因此可利用特殊四边形和三角形角的关系得到结论.解:正方形ABCD DAB90 ADAB 又ABE为等边三角形 EABAEB60 AEAB ADAE DAEDA
5、BEAB30 在ADE中,由内角和, 有 BEDAEBAED6075135点评:问题一:若等边ABE的E点落在正方形ABCD的外部 时,想一想图形是什么样,能画出来吗?这时 BED是多少度? 问题二:若E是平面内一点,且有它到正方形ABCD各顶 点的距离相等,问这样的E点存在吗?若存在, 有几个?你能画图示意吗?例例.已已知知: :如如图图, ,E、F、G分分别别是是正正方方形形ABCD中中BC、AB、CD上的点上的点, ,且且AEFG. .求证求证: :AE=FG. .ABCDEFG分析:若将线段FG,沿射线FB方向平移, 平移距离为线段FB的长.由于条件 给出的是正方形,因此可得到线段 B
6、P（如图）这样可利用正方形的特 征,得到ABE绕正方形对角线交点 逆时针旋转90能与BCP重合,对应 线段AEBPFG解答过程略.ABCDEFGp点评:是不是这个题目的条件还可以这样变更:如图, 若M、N分别是AD、BC上的点,E、F分别是AB、 DC上的点,且有MNEF,那MN与EF的数量关 系一定等吗?请说明你的理由.NEBFDCAM例例. .已知已知: :如图如图, ,E、F分别是正方形分别是正方形 ABCD中中AB、BC的中点的中点, ,且且CE交交 DF于于M点点. .求证求证: :AM=AB. .ABCDEFM分析:由基本图形的分析,BEC绕正方形 中心逆时针旋转90能与FCD重合
7、, 易证ECDF,将BCE绕E点旋转180,得到 EAP,由于是正方形ABCD,故P、A、D共线, APBC且APBC, MA是RtDPM斜边 中线,有APAMAB证明略FEBDCAM12P例例. .已知已知: :如图如图, ,P P是正方形是正方形ABCD中中AC上一点上一点, ,PEAD于于 E,PFCD于于F. .求证求证:OEOF;OE=OF. .ABCDEFPO分析:解决问题的关键是判断E点绕O点顺时针旋 转90后能与F点重合,关键是AEDF? 由条件不难知道AEP是等腰Rt,而四 边形EPFD易证为矩形,所以有AEEPDF, 问题得证:ABCDEFPO证明:正方形ABCD中,BAD
8、ADC90 OAOD且AOD90 OAEODF45 P是AC上一点,且PEAD于E,PFCD于F, 即PEDPFD90 四边形EPFD为矩形,EPDF 在AEP中, EPAPAE45, AEEP AEDF 将AOE绕O点顺时针旋转90,A点与D点重合,E点与F点重合OEOF由可知,E、F是 AOE与DOF关于O点旋转对称的点,OEOFABCDEFPO例例7.7.已知已知: :如图如图, ,E是正方形是正方形ABCD的对角线的对角线 BD上任意一点上任意一点, , AE的延长线交的延长线交CD于于G, ,交交BC的延的延 长线于长线于H,F是是GH的中点的中点. . 求证求证: :CFCE。FE
9、BDCAH2G341分析:由于正方形是轴对称图形,所以DAE与DCE关于直线 BD对称,12 又由于正方形ABCD中,ADBC,所以1H 在RtGCH中,由于F点是GH中点 所以CFFH,3H 所以23 因为3490 所以2490 故CFCE 证明过程略BCHFEDA2G341例例8.8.如如图图, ,正正方方形形ABCD中中, ,EBF=45,E、F分分别别在在边边AD和和CD上上. .求证求证: :EF=AE+FC. .ABCDEF分析:待证结论中EF与AE、FC比较分散,应想办法移动图形,相对集中,考虑到结论出现AEFC 不妨把FBC绕B点逆时针旋转90得到PBA,由于正方形ABCD,C
10、BAD90显然P、A、E共线,问题就转化为证明PEEFFEBDCAp由于对应点P、E与B点连线夹角为90,又EBF45,可知BE平分PBF,又因为BPBF,故BPE与BFE关于直线BE对称,问题得证.证明过程略.FEBDCAp点评:几何问题中有时会见线段和差问题,一般处理时 常用手段是“截长补短”即将每条短线段中的一条通 过 变换与另一条接在一起,证明其和等于长线段, 这叫补短,另一种情况是把长线段截出一段等于 一条短线段再证明剩下的部分与另一条短线段相 等,这叫截长.例例9.9.已知已知: :如图如图, ,正方形正方形ABCD的对角线的对角线AC、BD相交于点相交于点O,E是是AC上一点上一
11、点, ,过点过点A作作AGBE于于G,AG交交BD于于F. .（）说明（）说明OE=OF. .（）若点（）若点E在在AC的延长线上的延长线上, , AGBE交交DB的延长线于的延长线于F, ,其其他条件不变（如图）他条件不变（如图）, ,则结论则结论“OE=OF”还成立吗还成立吗? ?请说明理请说明理由由. .图2OABCDEFGBDCAOEFG12图1分析:（1）正方形ABCD中,ACBD,OAOB又因为AGBE,所以12,AOF绕O点逆时针旋转90后能与BOE重合,因此有OEOF（2）受（1）的启发,BOE绕O点顺时针旋转90后也能与AOF重合,因此OEOF结论仍能成立. 图2OABCDE
12、FGBDCAOEFG12图1点评:和有些题目类似,虽然E、F点的位置有变化,但 OEOF的结论确没有发生变化,由此可知许多图 形之间都存在这种内在联系.图2OABCDEFGBDCAOEFG12图1例例10.10.（）如图（）如图, ,若点若点P为正方形为正方形ABCD边边AB上一点上一点, ,以以PA为一为一边作正方形边作正方形AEFP, ,连连BE、DP, ,并延长并延长DP交交BE于点于点H. .求证求证: :DHBE。（）如图（）如图, ,若点若点P为正方形为正方形ABCD内任意一点内任意一点, ,其余条件不其余条件不变变, ,，（）的结论是否成立，（）的结论是否成立? ?若成立，请给出
13、证明若成立，请给出证明; ;若不成立若不成立, ,请请说明理由说明理由. .（1）由条件可知DAP绕A点顺时针旋转90就可与BAE重合, 12 又因为34,因此在 DAP和 BHP中DAPBHP, 因为DAB90,所以BHP90,故DHBH（2）与例9非常类似,正方形PAEF绕A点旋转过程中,实际一 直存在DAP绕A点顺时针旋转90能与BAE重合这一事实. 因此ADPABE不变,后面问题的解决同（1）过程略DAE342HBCFP1小结小结:.正方形是一个很美丽的图形,由它的对称性我们可以找到它的很多特征.正方形是特殊的矩形;特殊的菱形,它们都是特殊的平行四边形,因此在记忆它们的定义、特征和识别方法时,必须掌握它们的共性与个性. .注意用正方形的有关知识解决实际问题.
