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1、一阶微分方程一阶微分方程 习题课习题课基本概念基本概念一阶方程一阶方程 类类 型型1.1.直接积分法直接积分法2.2.可分离变量可分离变量3.3.齐次方程齐次方程4.4.可化为齐次可化为齐次方程方程5.5.全微分方程全微分方程6.6.线性方程线性方程7.7.伯努利方程伯努利方程可降阶方程可降阶方程线性方程线性方程解的结构解的结构定理定理1;1;定理定理2 2定理定理3;3;定理定理4 4欧拉方程欧拉方程二阶常系数线性二阶常系数线性方程解的结构方程解的结构特征方程的根特征方程的根及其对应项及其对应项f(x)f(x)的形式及其的形式及其特解形式特解形式高阶方程高阶方程待待定定系系数数法法特征方程法
2、特征方程法一、主要内容一、主要内容1 1、五种标准类型的一阶微分方程的解法、五种标准类型的一阶微分方程的解法(1) 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程解法解法分离变量法分离变量法(2) 齐次型方程齐次型方程解法解法作变量代换作变量代换一、主要内容一、主要内容 可化为齐次的方程可化为齐次的方程解法解法化为齐次方程化为齐次方程（其中（其中h和和k是待定的常数）是待定的常数）(3) 一阶线性微分方程一阶线性微分方程齐次齐次非齐次非齐次.解法解法齐次方程的通解为齐次方程的通解为（使用分离变量法）（使用分离变量法）非齐次微分方程的通解为非齐次微分方程的通解为（常数变易法）（常数变易法）(4) 伯努
3、利伯努利(Bernoulli)方程方程方程为线性微分方程方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程方程为非线性微分方程.解法解法 需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程(5) 全微分方程全微分方程形如形如其中其中注意：注意：解法解法应用曲线积分与路径无关应用曲线积分与路径无关.通解为通解为 用直接凑全微分的方法用直接凑全微分的方法. 可化为全微分方程可化为全微分方程形如形如公式法公式法: :观察法观察法: :熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出积分因子积分因子2。 各类方程的内在联系各类方程的内在联系三种三种基本类型基本
4、类型变量可分离变量可分离一阶线性一阶线性全微分方程全微分方程其余类型的方程可借助于变量代换或积其余类型的方程可借助于变量代换或积分因子化成基本类型分因子化成基本类型三种基本类型代表三种三种基本类型代表三种典型解法典型解法分离变量法分离变量法常数变易法常数变易法全微分法全微分法变量代换变量代换是解微分方程的重要思想和重要方法是解微分方程的重要思想和重要方法微分方程解题思路微分方程解题思路一阶方程一阶方程高阶方程高阶方程分离变量法分离变量法全微分方程全微分方程常数变易法常数变易法特征方程法特征方程法待定系数法待定系数法非非全全微微分分方方程程非非变变量量可可分分离离幂级数解法幂级数解法降降降降阶阶
5、阶阶作作变变换换作变换作变换积分因子积分因子3 3、一阶方程解题程序、一阶方程解题程序分离变量分离变量Y解方程解方程NY解方程解方程N积分因子积分因子YN齐次型齐次型 一阶线性一阶线性 Bernoulli二、典型例题二、典型例题例例1 求一微分方程使其通解为求一微分方程使其通解为解解 由由求导得求导得再求导再求导再求导再求导例例2 2解解原方程可化为原方程可化为代入原方程得代入原方程得分离变量分离变量两边积分两边积分所求通解为所求通解为例例3 3解解原式可化为原式可化为伯努利方程伯努利方程原式变为原式变为一阶线性非齐方程一阶线性非齐方程对应齐方通解为对应齐方通解为利用常数变易法利用常数变易法代
6、入非齐方程得代入非齐方程得原方程的通解为原方程的通解为例例4 4解解方程为全微分方程方程为全微分方程.(1) 利用原函数法求解利用原函数法求解:故方程的通解为故方程的通解为(2) 利用分项组合法求解利用分项组合法求解:原方程重新组合为原方程重新组合为故方程的通解为故方程的通解为(3) 利用曲线积分求解利用曲线积分求解:故方程的通解为故方程的通解为例例5 5解解非全微分方程非全微分方程.利用积分因子法利用积分因子法:原方程重新组合为原方程重新组合为故方程的通解为故方程的通解为例例6 解方程解方程分析分析 本题看起来简单本题看起来简单 但具体求解时发现但具体求解时发现不是变量可分离不是变量可分离也
7、不是齐次型也不是齐次型不是一阶线性不是一阶线性也不是全微分方程也不是全微分方程怎么办？怎么办？必须对方程进行必须对方程进行变形变形解一解一 分项组合分项组合通解为通解为解二解二 变量代换变量代换令令一阶非齐次线一阶非齐次线性微分方程性微分方程相应齐方程相应齐方程令令解三解三 由由存在关于存在关于 x 的积分因子的积分因子为全微分方程为全微分方程通解为通解为积分因子法积分因子法例例7 设曲线积分设曲线积分在右半平面内与路径无关在右半平面内与路径无关其中其中 f (x) 可可导导且且f(1)=1 求求f (x) 解解 由曲线积分与路径无关的条件知由曲线积分与路径无关的条件知即即一阶线性微分方程一阶线性微分方程代入代入f(1)=1 得得故故例例8 解方程解方程 并求此曲线并求此曲线 y = y (x) 和直线和直线 x = 0 ,x = 1 三者所围部分绕三者所围部分绕 x 轴旋转一周所成旋转体轴旋转一周所成旋转体的体积的体积解解特解为特解为
