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1、第五第五节数列的数列的综合合应用用考纲点击考纲点击能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题能用相关知识解决相应的问题. .热点提示热点提示1.1.以递推关系为背景，考查数列的通项公式与前以递推关系为背景，考查数列的通项公式与前n n项和公式项和公式. .2.2.等差、等比交汇，考查数列的基本计算等差、等比交汇，考查数列的基本计算. .3.3.数列与函数、不等式、解析几何交汇，考查数列的综合应数列与函数、不等式、解析几何交汇，考查数列的综合应用用. .4.4.以考查数列知识为主，同时考查以考查数列知识为主，
2、同时考查“等价转化等价转化”、“变量代变量代换换”思想思想. .1 1解答数列解答数列应用用题的步的步骤(1)审题仔细阅读材料，认真理解题意(2)建模将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么(3)求解求出该问题的数学解(4)还原将所求结果还原到原实际问题中2 2数列数列应用用题常常见模型模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比银行行储蓄蓄单利公式及复利公式是什么模型？利公式及复利公式是什么
3、模型？提示：单利公式设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an=a（1+rn），属于等差模型.复利公式设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an=a（1+r）n，属于等比模型.(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an1的递推关系，还是前n项和Sn与Sn1之间的递推关系1有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要()A6秒钟B7秒钟C8秒钟D9秒钟【解析解析】依题意121222n1100，100，2n101，n7，
4、则所求为7秒钟【答案答案】B2已知函数f(x)，其对称中心是，若an(nN*)，记数列an的前n项和为Sn，则使Sn0的n的最小值为()A10 B11C12 D13【解析解析】由题意可知 是其对称中心，a1a100，a2a90，即a1a2a100，即S100，而a11f(11)0，S110.【答案答案】B3等差数列an中，an0，nN*，有2a3a722a110，数列bn是等比数列，且b7a7，则b6b8等于()A2 B4C8 D16【解析解析】a722a32a112(a3a11)4a7，a70(舍)或a74，b7a74.b6b8b7216.【答案答案】D4已知三个数a、b、c成等比数列，则函
5、数f(x)ax2bxc的图象与x轴公共点的个数为_【解析解析】a、b、c成等比数列，b2ac，且b0.又b24acb24b23b20且a1)，设f(a1)、f(a2)、f(an)(nN)是首项为4，公差为2的等差数列(1)若a为常数，求证：an成等比数列；(2)设bnanf(an)，若bn的前n项和是Sn，当a时，求Sn；(3)令Cnanlg an问是否存在a，使得Cn中每一项恒小于它后面的项，若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由【解析解析】(1)证明：f(an)4(n1)22n2，即logaan2n2，可得ana2n2.a2，为定值an为等比数列(2)bnanf(an)a2n2logaa
6、2n2(2n2)a2n2.当a时，bn(2n2) 2n2(n1)2n2.Sn223324425(n1)2n2，2Sn224325426n2n2(n1)2n3.得Sn22324252n2(n1)2n3.16(n1)2n3162n324n2n32n3n2n3.Snn2n3.(3)Cnanlg ana2n2lg a2n2(2n2)a2n2lg a.要使Cn1Cn对一切n2成立即nlg a1时，即n(n1)a2，对一切n2成立当0a(n1)a2n 对一切n2成立只需2 ，0a .故a的范围为0a1. 气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为元
7、(nN*)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少)为止，一共使用了多少天？【自主探究自主探究】由第n天的维修保养费为 元(nN*)，可以得出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少而求得最小值成立时相应n的值设一共使用了n天，则使用n天的平均耗资为当且仅当 时，取得最小值，此时n800.答：一共使用了800天【方法点评方法点评】1.解等差数列应用题，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差数列问题，使关系明朗化、标准化然后用等差数列知识求解这其中体现了把实际问题数学化的能力，也就是所谓的数学建模能力2解等差数列
8、应用题的关键是建模，建模的思路是：从实际出发，通过抽象概括建立数列模型，通过对模型的解析，再返回实际中去，其思路框图为：2某公司按现有能力，每月收入为70万元，公司分析部门测算，若不进行改革，因竞争加剧收入将逐月减少分析测算得2009年第一个月收入将减少3万元，以后逐月多减少2万元，如果进行改革，即投入技术改造220万元，且2009年后每月再投入1万元进行员工培训，则测算得自2009年第一个月起累计收入Tn与时间n(以月为单位)的关系为Tnanb，且2009年第一个月时收入为90万元，第二个月时累计收入为170万元，问从2009年1月份开始，经过几个月，该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累
9、计纯收入【解析解析】改革后经过n个月累计纯收入为(Tn220n)万元不改革的累计收入为70n，由题意可得80n10220n70n3nn(n1)，即n211n2100，得n10或n0)，因此，历年所交纳的储备金数目a1，a2，an是一个公差为d的等差数列与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利这就是说，如果固定年利率为r(r0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1r)n1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1r)n2，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额(1)写出Tn与Tn1(n2)的递推关系式；(2)求证：TnAnBn，其中An是一个等比数列，Bn是一
10、个等差数列【思路点拨思路点拨】(1)中关系式容易列出；(2)中利用Tn与Tn1，Tn1与Tn2的关系以此类推，逐步得Tn的表达式，再利用错位相减法求得Tn，即不难得出An与Bn.【自主探究自主探究】(1)由题意可得TnTn1(1r)an(n2)(2)T1a1，对n2反复使用上述关系式，得TnTn1(1r)anTn2(1r)2an1(1r)ana1(1r)n1a2(1r)n2an1(1r)an在式两端同乘1r，得(1r)Tna1(1r)na2(1r)n1an1(1r)2an(1r)，得rTna1(1r)nd(1r)n1(1r)n2(1r)an(1r)n1ra1(1r)nan.即Tn.如果记An(
11、1r)n，Bnn，则TnAnBn.其中An是以(1r)为首项，以1r(r0)为公比的等比数列；Bn是以为首项，以为公差的等差 【方法点评方法点评】1.函数的实际应用问题中，有许多问题以等比数列为模型，此类问题往往从应用问题给出的初始条件入手，推出若干项，逐步探索数列通项或前n项和，或前后两项的递推关系，从而建立等比数列模型，要注意题目给出的一些量的结果，合理应用 .2与等比数列联系较大的是“增长率”、“递减率”的 概念，在经济上多涉及利润、成本、效益的增减问题；在人口数量的研究中也要研究增长率问题；金融问题更多涉及复利的问题这都与等比数列有关3某市2008年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划
12、于2009年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：(1)该市在2015年应该投入多少辆电力型公交车？(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的？(lg 6572.82，lg 20.30，lg 30.48)【解析解析】(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列an，其中a1128，q1.5，则在2015年应该投入的电力型公交车为a7a1q61281.561 458(辆)所以到2016年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的.1(2009年湖北高考)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数比如：他们研究过图1中的1,3
13、,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A289B1 024C1 225 D1 378【解析解析】观察三角形数：1,3,6,10，记该数列为an，则：a11，a2a12，a3a23，anan1n.a1a2an(a1a2an1)(123n)an123n，观察正方形数：1,4,9,16，记该数列为bn，则bnn2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有1 225，故选C.2(2009年湖南高考)将正ABC分割成n2(n2，nN*)个全等的小正三角形(图1，
14、图2分别给出了n2,3的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别依次成等差数列若顶点A，B，C处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)2，f(3)_，f(n)_【解析解析】设三个顶点A，B，C处放的数分别为a，b，c，则边AB中间两个顶点上的两个数分别为a(ba)，a(ba)；边AC中间两个顶点上的两个数分别为a(ca)，a(ca)，与边BC平行的直线共有2条，每条直线上的顶点上的数的个数分别为2,3，顶点上的数之和分别为a (ba)a(ca)a，BC边上的四个顶点上的数之和为2b2c，
15、故f(3)aa12b2c2(abc)1.对于分割成n2的情形，则除A，B，C三个顶点外，AB，BC，AC三边上各有n1个顶点，AB边上的第k个(从上到下)顶点上的数为a(ba)，AC边上的第k个(从上到下)顶点上的数为a(ca)，平行于BC的直线共有n1条，从上到下依次有2,3，n个顶点，平行于BC的第k条直线上的k1个顶点上的数成等差数列，其和为【答案答案】 (n1)(n2)3(2009年天津高考)已知等差数列an的公差为d(d0)，等比数列bn的公比为q(q1)设Sna1b1a2b2anbn，Tna1b1a2b2(1)n1anbn，nN*.(1)若a1b11，d2，q3，求S3的值；(2)
16、若b11，证明(1q)S2n(1q)T2n，nN*；(3)若正整数n满足2nq，设k1，k2，kn和l1，l2，ln是1,2，n的两个不同的排列，c1ak1b1ak2b2aknbn，c2al1b1al2b2alnbn，证明c1c2.【解析解析】(1)由题设，可得an2n1，bn3n1，nN*.所以，S3a1b1a2b2a3b311335955.(2)由题设，可得bnqn1，则S2na1a2qa3q2a4q3a2nq2n1，T2na1a2qa3q2a4q3a2nq2n1.式减去式，得S2nT2n2(a2qa4q3a2nq2n1)式加上式，得S2nT2n2(a1a3q2a2n1q2n2)式两边同乘
17、q，得q(S2nT2n)2(a1qa3q3a2n1q2n1)所以，(1q)S2n(1q)T2n(S2nT2n)q(S2nT2n)2d(qq3q2n1)，nN*.(3)c1c2(ak1al1)b1(ak2al2)b2(aknaln)bn(k1l1)db1(k2l2)db1q(knln)db1qn1.因为d0，b10，所以(k1l1)(k2l2)q(knln)qn1.若knln，取in.若knln，取i满足kili，且kjlj，i1jn.由及题设知，1in，且(k1l1)(k2l2)q(ki1li1)qi2(kili)qi1.当kili时，同理可得1，因此c1c2.综上，c1c2. 1等价转化和分类讨论的思想方法在本节中也有重要体现，复杂的数列问题总是要转化为等差、等比数列或常见的特殊数列问题来解决2解决数列的应用问题必须准确探索问题所涉及的数列类型：(1)如果问题所涉及的数列是特殊数列(如等差数列、等比数列，或与等差、等比有关的数列，等等)，应首先建立数列的通项公式(2)如果问题所涉及的数列不是某种特殊数列，一般应考虑先建立数列的递推关系(即an与an1的关系)(3)解决数列的应用问题必须准确计算项数，例如与“年数”有关的问题，必须确定起算的年份，而且应准确定义an是表示“第n年”还是“n年后”课时作业课时作业点击进入链接点击进入链接
