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1、20-1质点(zhdin)和质点(zhdin)系的动量矩一质点(zhdin)的动量矩对点O 的动量矩说明：1矢量(shling)，方向2单位：Kg.m2/sxyzOMO(mv)mvr第1页/共44页第一页，共45页。对轴z的动量矩说明(shumng)：1、代数量2、xyzqOmvMO(mv)Mz(mv)r质点动量mv在oxy平面内的投影(mv)xy对于(duy)点O的矩，定义为质点动量对于(duy)z轴的矩，简称对于(duy)z轴的动量矩。类似于力对点之矩和力对轴之矩的关系(gunx)，质点对点O的动量矩矢在z轴上的投影，等于对z的动量矩。第2页/共44页第二页，共45页。二质点系的动量矩对点
2、的动量矩对轴的动量矩质点(zhdin)系对某点O的动量矩等于各质点(zhdin)对同一点O的动量矩的矢量和。质点系对某轴z的动量矩等于(dngy)各质点对同一z轴的动量矩的代数和。第3页/共44页第三页，共45页。三、定轴刚体(gngt)对转轴的动量矩转动惯量第4页/共44页第四页，共45页。20-2动量矩定理(dngl)一质点(zhdin)的动量矩定理设O为定点，有其中：xyzOMO(mv)mvrMO(F)F第5页/共44页第五页，共45页。投影(tuyng)式：称为质点的动量矩定理：质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。因此质点对某固定轴的动量矩对时间(shjin)
3、的一阶导数等于质点上的力对同一轴的矩。第6页/共44页第六页，共45页。若，则常矢量(shling)；若，则常量(chngling)。二质点(zhdin)动量矩守恒定律第7页/共44页第七页，共45页。三.质点系的动量矩定理(dngl)设由n个质点组成的质点系。其中第i个质点的动量为mivi，作用在该质点上的外力内力为，由质点的动量矩定理第8页/共44页第八页，共45页。由于得第9页/共44页第九页，共45页。说明(shumng)：1、投影式：2、内力(nil)不能改变质点系的动量矩。称为质点系的动量矩定理：质点系对某定点O的动量矩对时间的导数，等于(dngy)作用于质点系的外力对于同一点的矩
4、的矢量和。质点系对某固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一轴的矩的代数和。第10页/共44页第十页，共45页。四质点系动量矩守恒定律若，则常矢量(shling)；若，则常量(chngling)。第11页/共44页第十一页，共45页。例高炉运送矿石的卷扬机如图。已知鼓轮的半径为R，质量为m1，绕O轴转动(zhundng)。小车和矿石的总质量为m2。作用在鼓轮上的力偶矩为M，鼓轮对转轴的转动(zhundng)惯量为J，轨道倾角为a。设绳质量和各处摩擦不计，求小车的加速度a。MOv第12页/共44页第十二页，共45页。解：以系统为研究(ynji)对象，看作为质点系,受力如图。MO
5、m2gFNvm1gFOxFOy第13页/共44页第十三页，共45页。若Mm2gRsina，则a0，小车的加速度沿轨道(gudo)向上。必须(bx)强调的是：为使动量矩定理中各物理量的正负号保持协调，动量矩和力矩的正负号必须(bx)完全一致。MOv第14页/共44页第十四页，共45页。例一绳跨过定滑轮，其一端吊有质量为m的重物A，另一端有一质量为m的人以速度u相对细绳向上爬(shnp)。若滑轮半径为r，质量不计，并且开始时系统静止，求人的速度。mgmguAO第15页/共44页第十五页，共45页。解：以系统为研究(ynji)对象，受力如图。设重物A上升的速度(sd)为v，则人的绝对速度(sd)va
6、的大小为由于SMO(F(e)0，且系统初始(chsh)静止，由上可知，人与重物A具有相同的的速度，此速度等于人相对绳的速度的一半。如果开始时，人与重物A位于同一高度，则不论人以多大的相对速度爬绳，人与重物A将始终保持相同的高度。uvavevmgmguAOFOxFOy所以LO0。第16页/共44页第十六页，共45页。谁最先到达顶点(dngdin)第17页/共44页第十七页，共45页。20-3质点系相对(xingdu)于质心的动量矩定理动量矩定理只适用(shyng)于惯性参考系中的固定点或固定轴对于(duy)一般的动点或动轴，动量矩定理由比较复杂的形式第18页/共44页第十八页，共45页。如图所示
7、，O为固定点，C为质点系的质心(zhxn)，质点系对于固定点的动量矩为对于(duy)任一质点于是(ysh)由于ririrCmiyyxzCOxzvi质点系相对于质心的动量矩第19页/共44页第十九页，共45页。ririrCmiyyxzCOxzvi质点系对任一点O的动量矩等于集中(jzhng)于质心的系统动量mvC对于O点的动量矩再加上此系统对于质心的动量矩LC (应为矢量和)。若O为固定点第20页/共44页第二十页，共45页。第21页/共44页第二十一页，共45页。ririrCmiyyxzCOxzvi质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于(dngy)作用于质点系的外力对质心的主矩。第22页/
8、共44页第二十二页，共45页。20-4刚体(gngt)对轴的转动惯量一定义(dngy) v vi irimiy yx xz zO在国际单位制中，转动惯量的单位是:kgm2。同一(tngy)刚体对不同轴的转动惯量是不同的，因此在谈及转动惯量时，必须指明它是对哪一轴的转动惯量。对于质量连续分布的刚体，上式可写成积分形式第23页/共44页第二十三页，共45页。(1).均质细杆z1dxxxCzdxxxOl设均质细杆长l，质量(zhling)m二转动惯量的计算(jsun)积分法取微段dx, 则第24页/共44页第二十四页，共45页。(3)半径(bnjng)为R，质量为m的均质薄圆环(2)半径为R，质量(
9、zhling)为m的均质薄圆盘第25页/共44页第二十五页，共45页。在工程上常用回转半径来计算(jsun)刚体的转动惯量，其定义为如果(rgu)已知回转半径，则物体的转动惯量为2.惯性(gunxng)半径（或回转半径）第26页/共44页第二十六页，共45页。mdzCz13、平行(pngxng)轴定理C式中:ZC轴为过质心(zhxn)且与Z1轴平行的轴，d 为Z与 ZC 轴之间的距离(jl)。定理：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积.4试验法对于几何形状复杂的物体第27页/共44页第二十七页，共45页。例：质量(zh
10、ling)均为m长度均为l的直杆OD和AB在D点刚接,且AD=DB,如图所示.求系统对垂直于图面且过O点的轴的转动惯量.OABD第28页/共44页第二十八页，共45页。解：JO =JOD + JABOABD第29页/共44页第二十九页，共45页。 一、刚体(gngt)定轴转动微分方程xyzFN1FN2FnF1F2质点系动量矩定理(dngl)12-6刚体(gngt)定轴转动和平面运动微分方程第30页/共44页第三十页，共45页。转动惯量是刚体转动惯性(gunxng)的度量。刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积(chngj)，等于作用于刚体上的力对该轴的矩的代数和。刚体(gngt)定轴转动微分方程
11、第31页/共44页第三十一页，共45页。例题：AB绳剪断(jindun)的瞬时：杆件OB的角加速度和O处的约束力OW=mgOW=mg第32页/共44页第三十二页，共45页。这时， 0， 0。应用质心运动(yndng)定理解:剪断(jindun)后，OB杆作定轴转动OOF FOxOxF FOyOyWW= =mgmg第33页/共44页第三十三页，共45页。刚体的平面运动随质心随质心(zhxn)(zhxn)的平移的平移绕质心绕质心(zhxn)(zhxn)的转动的转动刚体的平面运动可分解为随基点的平移(pny)和绕基点的转动。二、刚体的平面运动微分方程第34页/共44页第三十四页，共45页。投影(tu
12、yng)形式刚体(gngt)的平面运动微分方程第35页/共44页第三十五页，共45页。例一均质圆柱(yunzh)，质量为m，半径为r，初速度为零地放在倾角为q的斜面上，纯滚动，求其质心C的加速度。qC第36页/共44页第三十六页，共45页。解：圆柱为研究(ynji)对象，作纯滚动解得F由纯滚动条件qCxyaCOFNmg第37页/共44页第三十七页，共45页。例 如图质量为m的均质杆AB用细绳吊住，已知两绳与水平(shupng)方向的夹角为j。求B端绳断开瞬时，A端绳的张力。jjAB第38页/共44页第三十八页，共45页。jAxCB解：取杆分析(fnx)，作平面运动AB作平面(pngmin)运动
13、，以A为基点jjABFTanCAatCAatAanAjAxCBaCxmg大小(dxio)：方向：?0?0向x方向投影得：第39页/共44页第三十九页，共45页。jAxCBjjABFTanCAatCAatAanAjAxCBaCxmg解得：第40页/共44页第四十页，共45页。例均质圆柱体A和B质量均为m，半径(bnjng)均为r。圆柱A可绕固定轴O转动。一绳绕在圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上。求B下落时，质心C点的加速度。摩擦不计。第41页/共44页第四十一页，共45页。解：取A分析(fnx)，A作定轴转动，受力如图。AFTmgFOxFOyOAFTmgBCDBaC取 B分 析 ， B作 平 面
14、(pngmin)运动,受力如图。第42页/共44页第四十二页，共45页。由运动学关系(gunx)FTmgBCDBaCAFTmgFOxFOyOA以D为基点(jdin)，求C的加速度第43页/共44页第四十三页，共45页。谢谢您的观看(gunkn)！第44页/共44页第四十四页，共45页。内容(nirng)总结20-1质点和质点系的动量矩。时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。其中第i个质点的动量为mivi，作用在该质点上的外力。说明：1、投影式：。称为质点系的动量矩定理：质点系对某定点(dn din)O。已知鼓轮的半径为R，质量为m1，绕O轴转动。若滑轮半径为r，质量不计，并且开始时系统静止，求人的速度。由于SMO(F (e)0，且系统初始静止，。对于一般的动点或动轴，动量矩定理由比较复杂的形式。例题：AB绳剪断的瞬时：第四十五页，共45页。
