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1、选修修4-2 “矩矩阵与与变换全全书复复习江苏省白塔高级中学江苏省白塔高级中学 相武相武 经过几何几何变换讨论二二阶矩矩阵的乘法及性的乘法及性质、逆矩逆矩阵和矩和矩阵的特征向量，并以的特征向量，并以变换和映射的和映射的观念了解解念了解解线性方程性方程组的意的意义，初步展，初步展现矩矩阵运用的广泛性。运用的广泛性。主要内容主要内容2.1 二阶矩阵与平面向量二阶矩阵与平面向量2.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换2.3 变换的复合与矩阵的乘法变换的复合与矩阵的乘法2.4 逆矩阵与逆变换逆矩阵与逆变换2.5 特征值与特征向量特征值与特征向量2.6 矩阵的简单运用矩阵的简单运用 详细内容详细内容
2、 定位 低起点以初中数学知识为根底； 低维度以二阶矩阵为研讨对象； 形数以(几何图形)变换研讨二阶矩阵。 意图 在根本思想上对矩阵、变换等有一个初步了解，对进一步学习和任务打下根底。 本本专题的定位和意的定位和意图 主要数学思想1数学化思想； 2数学建模；3数形结合的思想；4算法思想。 重点 经过几何图形变换，学习二阶矩阵的根本概念、性质和思想。 难点 切变变换，逆变换(矩阵)，特征值与特征向量。本本专题重点、重点、难点及主要数学思想点及主要数学思想2.1 二阶矩阵与平面向量二阶矩阵与平面向量2.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换2.3 变换的复合与矩阵的乘法变换的复合与矩阵的乘法2.4
3、 逆矩阵与逆变换逆矩阵与逆变换2.5 特征值与特征向量特征值与特征向量2.6 矩阵的简单运用矩阵的简单运用详细内容解析内容解析2.1 二阶矩阵与平面向量二阶矩阵与平面向量2.在本章中点和向量不加区分在本章中点和向量不加区分.如如:1.1.本专题研讨的矩阵是二阶矩阵本专题研讨的矩阵是二阶矩阵, ,对高阶矩阵只是要对高阶矩阵只是要求学生初步了解求学生初步了解. .二阶矩阵如二阶矩阵如: :两行两列两行两列2.1 二阶矩阵与平面向量二阶矩阵与平面向量3.3.矩矩阵的概念的概念从表、网从表、网络图、坐、坐标平面上的点向平面上的点向量、生活量、生活实例等引出例等引出. . 即在大量即在大量举例的根底上引
4、出矩例的根底上引出矩阵的概念和表示方法的概念和表示方法. .如如: :某公司担任从两个某公司担任从两个矿区向三个城市送煤：区向三个城市送煤： 从甲从甲矿区向城市区向城市A,B,CA,B,C送煤的量分送煤的量分别是是200200万吨、万吨、240240万吨、万吨、160160万吨；万吨； 从乙从乙矿区向城市区向城市A,B,CA,B,C送煤的量分送煤的量分别是是400400万吨、万吨、360360万吨、万吨、820820万吨。万吨。 2.1 二阶矩阵与平面向量二阶矩阵与平面向量4.4.矩矩阵通常用大写黑体字母表示通常用大写黑体字母表示. .如如; ;矩矩阵A, A, 行矩行矩阵和列和列矩矩阵通常用
5、希腊字母通常用希腊字母、等表示等表示. .5.5.两个矩两个矩阵的行数与列数分的行数与列数分别相等相等, ,并且并且对应位置的元位置的元素也分素也分别相等相等时两矩两矩阵相等相等. .6.6.二二阶矩矩阵与列向量的乘法法那么与列向量的乘法法那么为: :2.1 二阶矩阵与平面向量二阶矩阵与平面向量7.7.强化学生对二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义强化学生对二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义了解了解. .使他们认识并了解矩阵是向量集合到向量集合使他们认识并了解矩阵是向量集合到向量集合的映射的映射, ,为后面学习几种常见的几何变换打下根底为后面学习几种常见的几何变换打下根底. .表示的几何表示的几
6、何变换为:纵坐坐标不不变,横坐横坐标变为原来的原来的2倍倍.8.8.二元一次方程组二元一次方程组 可以表示为可以表示为系数矩阵系数矩阵2.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换1.1.恒等变换矩阵恒等变换矩阵( (单位矩阵单位矩阵) )为为E:E:2.2.恒等变换是指对平面上任何一点恒等变换是指对平面上任何一点( (向量向量) )或图形施以或图形施以矩阵矩阵 对应的变换对应的变换, ,都把本人变为本人都把本人变为本人. .2.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换3.3.伸压变换矩阵是指将图形作沿伸压变换矩阵是指将图形作沿x x轴方向伸长或紧缩轴方向伸长或紧缩, ,或沿或沿y y轴方向伸长
7、或紧缩的变换矩阵轴方向伸长或紧缩的变换矩阵. .伸伸压变换不是不是简单地把平面上的点地把平面上的点( (向量向量) “) “向下向下压, ,而是向而是向x x轴或或y y轴方向方向紧缩. .2.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换4.4.反射变换矩阵是指将平面图形变为关于定直线或定反射变换矩阵是指将平面图形变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵点对称的平面图形的变换矩阵. .2.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换5.5.普通地普通地, ,二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线. .这种把直种把直线变为直直线的的变换叫做叫做线性性变换. .或点或
8、点2.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换6.6.旋旋转变换矩矩阵是指将平面是指将平面图形形围绕原点逆原点逆时针旋旋转的的变换矩矩阵. .其中其中称称为旋旋转角角, ,点点O O为旋旋转中心中心. .2.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换2.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换7.7.投影投影变换矩矩阵是指将平面是指将平面图形投影到某条直形投影到某条直线( (或某或某个点个点) )上的矩上的矩阵, ,相相应的的变换为投影投影变换. .7.7.投影投影变换矩矩阵是映射是映射, ,但不是一一映射但不是一一映射. .2.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换8.8.切切变变换矩矩阵是
9、指是指类似于似于对纸牌牌实施的施的变换矩矩阵. .2.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换9.9.切变变换矩阵切变变换矩阵 把平面上的点把平面上的点P(x,y)P(x,y)沿沿x x轴方轴方向平移向平移 个单位个单位. .10.10.研研讨平面上的多平面上的多边形或直形或直线在矩在矩阵的的变换作用后作用后构成的构成的图形形时, ,只需只需调查顶( (端端) )点的点的变化化结果即可果即可. .旋旋转矩矩阵2.3 变换的复合与矩阵的乘法变换的复合与矩阵的乘法1.1.矩阵乘法的法那么是矩阵乘法的法那么是: :2.2.矩矩阵乘法乘法MNMN的几何意的几何意义为对向量延向量延续实施的两次几施的两次
10、几何何变换( (先先TN,TN,后后TM)TM)的复合的复合变换. .3.3.矩矩阵乘法不乘法不满足交足交换率率, ,这能能够是学生第一次遇到乘是学生第一次遇到乘法不法不满足交足交换率的情况率的情况. .此此时, ,我我们可以从几何可以从几何变换角角度度进一步明确乘法普通不一步明确乘法普通不满足交足交换率率, ,在适当在适当时候候, ,有有些特殊几何些特殊几何变换( (如两次延如两次延续旋旋转变换) )满足交足交换率率. .2.3 变换的复合与矩阵的乘法变换的复合与矩阵的乘法4.4.要求学生从几何变换角度了解要求学生从几何变换角度了解AB.AB.5.5.要求学生从几何要求学生从几何变换角度了解
11、矩角度了解矩阵乘法不乘法不满足足销去去率率. .2.3 变换的复合与矩阵的乘法变换的复合与矩阵的乘法6.6.有关转移矩阵有关转移矩阵. .假设某市的天气分为晴和阴两种形状假设某市的天气分为晴和阴两种形状, ,假设今天晴假设今天晴, ,那那么明天晴的概率为么明天晴的概率为 , ,阴的概率为阴的概率为 , ,假设今天阴那么假设今天阴那么明天晴的概率为明天晴的概率为 , ,阴的概率为阴的概率为 , ,这些概率可以经过这些概率可以经过察看某市以往几年每天天气的变化趋势来确定察看某市以往几年每天天气的变化趋势来确定, ,通常通常将用矩阵来表示的这种概率叫做转移矩阵概率将用矩阵来表示的这种概率叫做转移矩阵
12、概率, ,对应对应的矩阵为转移矩阵的矩阵为转移矩阵, ,而将这种以当前形状来预测下一而将这种以当前形状来预测下一时段不同形状的概率模型叫做马尔可夫链时段不同形状的概率模型叫做马尔可夫链, ,假设清晨假设清晨天气预告报告今天阴的概率为天气预告报告今天阴的概率为 , ,那么明天的天气预那么明天的天气预告会是什么告会是什么? ?后天呢后天呢? ?2.3 变换的复合与矩阵的乘法变换的复合与矩阵的乘法2.3 变换的复合与矩阵的乘法变换的复合与矩阵的乘法2.3 变换的复合与矩阵的乘法变换的复合与矩阵的乘法7. 7. 转移矩移矩阵每列的元素的和每列的元素的和应该为1,1,否那么做乘法否那么做乘法时, ,容易
13、出容易出问题. .2.4 逆变换与逆矩阵逆变换与逆矩阵2 2课文从文从“走走过去、去、“走回来的生走回来的生动笼统的的话语中中引入了逆矩引入了逆矩阵和逆和逆变换这样安排安排让学生在学生在轻松气氛中掌松气氛中掌握握“找到回家的路的本找到回家的路的本质是知矩是知矩阵A A，能否找到一个，能否找到一个矩矩阵B B，使得延，使得延续进展的两次展的两次变换的的结果与恒等果与恒等变换的的结果一果一样也便于学生更好的了解逆矩也便于学生更好的了解逆矩阵，从而，从而为例例1 1的的顺利利处理打下根底理打下根底3 3例例1 1的的设计起着承上启下的作用，所起着承上启下的作用，所举的几个例子也是的几个例子也是学生熟
14、知的，学生可以从几何学生熟知的，学生可以从几何变换的角度借助直的角度借助直观找到答找到答案所以，例案所以，例1 1的目的在于的目的在于协助学生从几何的角度了解逆助学生从几何的角度了解逆矩矩阵的意的意义，并，并为后后续学学习积累丰富的感性累丰富的感性认识1.1.对于二阶矩阵对于二阶矩阵A,B,A,B,假设有假设有AB=BA=E,AB=BA=E,那么称那么称A A是可逆的是可逆的,B,B称为称为A A的逆矩阵的逆矩阵. .2.4 逆变换与逆矩阵逆变换与逆矩阵4 4既然有些矩阵存在逆矩阵，那么，什么样的矩阵存在既然有些矩阵存在逆矩阵，那么，什么样的矩阵存在逆矩阵呢？课本从映射角度给出解释，让笼统的问
15、题更逆矩阵呢？课本从映射角度给出解释，让笼统的问题更贴近学生实践贴近学生实践5 5矩阵矩阵 的行列式为的行列式为 , ,那么假设那么假设 那么矩阵那么矩阵 存在逆矩阵存在逆矩阵. .6.矩矩阵能否可逆的判能否可逆的判别 2.4 逆变换与逆矩阵逆变换与逆矩阵7.逆矩逆矩阵的求解的求解 8.矩矩阵的逆矩的逆矩阵为 2.4 逆变换与逆矩阵逆变换与逆矩阵9.“先穿袜子后穿鞋先穿袜子后穿鞋“先脱鞋子后脱袜子先脱鞋子后脱袜子处理了学生能理了学生能够会出会出现的的认知妨碍学生可以借助于此更好地了解公式知妨碍学生可以借助于此更好地了解公式AB-1=B-1A-1 10新教材的螺旋上升体系随新教材的螺旋上升体系随
16、处可可见，课本在本本在本节中就通中就通过证明命明命题“知知A，B，C为二二阶矩矩阵，且，且AB=AC，假，假设矩矩阵A存在逆矩存在逆矩阵，那么，那么B=C而既做到前后章而既做到前后章节间的呼的呼应，又要求学生会用逆矩又要求学生会用逆矩阵的知的知识解解释二二阶矩矩阵的乘法何的乘法何时满足消去率足消去率11.11.逆矩逆矩阵与二元一次方程与二元一次方程组亲密相关，用逆矩密相关，用逆矩阵的知的知识了解二元一次方程了解二元一次方程组的求解的求解过程是程是为了了让学生更好的学生更好的认识两者，了解它两者，了解它们间的相互的相互为用、相用、相辅相成相成. .2.4 逆变换与逆矩阵逆变换与逆矩阵12.2.4
17、 逆变换与逆矩阵逆变换与逆矩阵12.AX=B X= A-1B 13.AXC=B X= A-1BC-1 14.2.4 逆变换与逆矩阵逆变换与逆矩阵15.用二阶矩阵和行列式研讨二元一次方程组的解的情用二阶矩阵和行列式研讨二元一次方程组的解的情况并不比消元法优越多少况并不比消元法优越多少.但是但是,当方程组中的未知元当方程组中的未知元很多时很多时,矩阵就变成了研讨它的一个强有力的工具矩阵就变成了研讨它的一个强有力的工具.2.5 特征值与特征向量特征值与特征向量1.在本在本节开开场部分，部分，课本安排了两个学生熟知的伸本安排了两个学生熟知的伸压变换，并，并给出了出了变换前后的前后的图形，其目的在于形，
18、其目的在于让学生借助于感学生借助于感性了解在矩性了解在矩阵的作用下某些向量的的作用下某些向量的“不不变性，从而性，从而为学生学生学学习特征特征值和特征向量打下和特征向量打下坚实根底根底2.3.将矩将矩阵的特征的特征值与特征向量概念与特征向量概念转换成矩成矩阵与列向量的与列向量的乘法表示来了解，其目的在于引出矩乘法表示来了解，其目的在于引出矩阵的特征多的特征多项式式课本没有本没有对特征多特征多项式作展开式作展开讨论，其意，其意图是是仅仅让学生将学生将之作之作为一个工具一个工具2.5 特征值与特征向量特征值与特征向量4.5.2.5 特征值与特征向量特征值与特征向量2.5 特征值与特征向量特征值与特
19、征向量6.一个特征值对应着多个特征向量一个特征值对应着多个特征向量.7.有了特征有了特征值和特征向量的知和特征向量的知识,我我们就可以方便地就可以方便地计算算多次多次变换的的结果果.2.5 特征值与特征向量特征值与特征向量2.5 特征值与特征向量特征值与特征向量投影投影变换2.6 矩阵的简单运用矩阵的简单运用1.只需求学生对高阶矩阵有一个感性认识只需求学生对高阶矩阵有一个感性认识.2.经过本本节的学的学习,让学生了解到矩学生了解到矩阵来源于来源于实践生活需求践生活需求.3.课本引本引见了矩了矩阵在数学在数学领域内的运用域内的运用,也引也引见了它在了它在经济学学领域、密域、密码学学领域、生物学域
20、、生物学领域的运用域的运用.2.6 矩阵的简单运用矩阵的简单运用2.6 矩阵的简单运用矩阵的简单运用2.6 矩阵的简单运用矩阵的简单运用2.1 二阶矩阵与平面向量二阶矩阵与平面向量2.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换2.3 变换的复合与矩阵的乘法变换的复合与矩阵的乘法2.4 逆矩阵与逆变换逆矩阵与逆变换2.5 特征值与特征向量特征值与特征向量2.6 矩阵的简单运用矩阵的简单运用 学习总结报告学习总结报告主要内容主要内容l教学建教学建议1.本本专题只只对详细的二的二阶方方阵加以加以讨论,而不而不讨论普通普通mn阶矩矩阵以及以及(aij)方式的矩方式的矩阵.教学建议教学建议2.矩矩阵的引入
21、要从的引入要从详细的的实例开例开场,经过详细的的实例例让学生学生认识到到,某些几何某些几何变换可以用矩可以用矩阵表示表示,丰富学生丰富学生对矩矩阵几几何意何意义的了解的了解,并引并引导学生用映射的学生用映射的观念来念来认识矩矩阵,解解线性方程性方程组.不提倡先不提倡先讲矩矩阵,后后讲变换.3.要求从要求从图形的形的变换直直观地了解矩地了解矩阵的乘法的乘法,并并经过详细的的实例例让学生了解矩学生了解矩阵乘法的运算率乘法的运算率.4.在新课讲解过程中适当地复习映射和一一映射在新课讲解过程中适当地复习映射和一一映射.教学建议教学建议5.应经过大量大量实例例,借助立体几何借助立体几何图形的三形的三视图
22、来研来研讨平面平面图形的几何形的几何变换,这样会会让学生感到生学生感到生动,单纯的平面几何的平面几何变换比比较笼统.6.可以将伸可以将伸压变换与数学与数学4中的三角中的三角变换结合起来合起来,表达知表达知识的螺旋上升的螺旋上升.7.留意伸留意伸压变换和伸和伸缩变换的异同的异同.8.在证明二阶非零矩阵对应的变换把直线变为直线在证明二阶非零矩阵对应的变换把直线变为直线(或点或点)时时,学生能够会感到困难学生能够会感到困难,教师可以先复习定比分点的有关教师可以先复习定比分点的有关知识知识.自一部分内容不要求掌握自一部分内容不要求掌握,只需求学生可以直观地了只需求学生可以直观地了解线性变换把直线变成直
23、线解线性变换把直线变成直线(或点或点).教学建议教学建议9.切切变变换从几何上可以从几何上可以这样了解了解:坚持持图形面形面积大小不大小不变,而点而点间间隔和隔和线间角可以改角可以改动,且点沿坐且点沿坐标轴运运动的的变换.这些不要求学生掌握些不要求学生掌握,只需求学生能只需求学生能结合合图形形,用用书上的方上的方式直式直观描画描画.10.对于矩阵乘法满足结合率对于矩阵乘法满足结合率,可让学生本人动手验证可让学生本人动手验证.教学建议教学建议11.行列式知行列式知识只限于二只限于二阶行列式，它行列式，它仅仅是作是作为一个工一个工具来运用，不作具来运用，不作为重点，不重点，不应展开展开讨论12.对
24、二元一次方程二元一次方程组来来说，用求逆矩，用求逆矩阵的方法来解方程的方法来解方程组并不并不简便，便，这里里强调的是其思想，无需做大量的是其思想，无需做大量练习13.从从详细伸伸压变换引入引入“不不变性不可短少，只需在建立感性不可短少，只需在建立感性性认识后才干后才干对学生提出更高要求，不学生提出更高要求，不应该从定从定义上方式上方式地了解特征地了解特征值和特征向量和特征向量教学建议教学建议14.14.课本引本引见了特征多了特征多项式，只是将它作式，只是将它作为求解特征求解特征值的的一个工具运用，不需求展开一个工具运用，不需求展开讨论但是但是对如何得到如何得到这个公个公式要作出解式要作出解释，
25、即要向学生，即要向学生阐明明为何何有不全有不全为零的解零的解时要要D=0D=015.将直将直观察看特征察看特征值与特征向量和利用特征多与特征向量和利用特征多项式来解特式来解特征征值与特征向量与特征向量结合起来思索，相互合起来思索，相互验证，这也是数学研也是数学研究的一种常用思究的一种常用思绪和方法，用形的直和方法，用形的直观探求解探求解题的道路，的道路，用数的用数的严谨求解求解问题教学建议教学建议16.网络图是图论的根底，我们可以鼓励有兴趣的学生学习网络图是图论的根底，我们可以鼓励有兴趣的学生学习选修选修4-8，在此不要展开与扩展有关知识对于例，在此不要展开与扩展有关知识对于例5，我们，我们也可以引导有兴趣的学生去学习选修也可以引导有兴趣的学生去学习选修4-6中的公开密钥中的公开密钥17.讲解例解例6种群种群问题时可以适当可以适当变换问题背景例如两个背景例如两个商商场间的的顾客量等，客量等，经过这个个变化来化来阐明特征明特征值和特征和特征向量运用的多向量运用的多样性、多方位性、多方位谢谢!
