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1、新课标高中一轮总复习新课标高中一轮总复习新课标高中一轮总复习新课标高中一轮总复习1第四单元第四单元三角函数与平面向量三角函数与平面向量2第第27讲讲三角函数模型及应用三角函数模型及应用31.从从实实际际问问题题中中抽抽象象出出一一个个或或几几个个三三角角形形，通通过过正正、余余弦弦定定理理解解这这些些三三角角形形，得得到到所所求求的的量量，从从而而得得到到实实际际问题的解问题的解.2.将将实实际际问问题题转转化化为为三三角角函函数数y=Asin(x+)模模型型，利利用用三三角角函函数数知知识，得到实际问题的解识，得到实际问题的解.41.若若P在在Q的北偏东的北偏东44，则，则Q在在P的的( )
2、CA.东偏北东偏北45 B.东偏北东偏北44C.南偏西南偏西44 D.西偏南西偏南44 由方位角的定义可知，由方位角的定义可知，Q应在应在P的南偏西的南偏西44.52.如如图图，单单摆摆从从某某点点开开始始来来回回摆摆动动，离离开开平平衡衡位位置置O的的距距离离s cm和和时时间间t s的的函函数数关关系系式式为为s=6sin(2t+ )，那那么么单单摆摆来来回回摆摆动动一次所需的时间为一次所需的时间为( )DA.2s B. s C.0.5 s D.1 sT= =1，故选，故选D.63.在在200米高的山顶上，测得山下一塔的塔米高的山顶上，测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别是顶和塔底的俯角分别
3、是30、60，则塔，则塔高为高为( )AA. 米米 B. 米米 B.C. 米米 D. 米米7 画出示意图画出示意图(如图如图)，由题意可知，由题意可知，DAC=60，OAC=DAB=30，在在AOC中，中，AO=200，所以所以OC= ,而而AD=OC= ,在在ABD中，中，BD= = ,因此塔高为因此塔高为200- = (米米)，故选，故选A.84.有有一一长长为为100米米的的斜斜坡坡，它它的的倾倾斜斜角角为为45，现现要要把把倾倾斜斜角角改改为为30，则则坡坡底底需需伸长伸长 米米.50( - ) 坡坡的的倾倾斜斜角角即即为为坡坡度度，依依题题意意知知，该该坡坡的的高高度度不不变变，即即
4、仍仍为为50 ，当当坡坡的的倾倾斜斜角角变变为为30时时，坡坡底底的的长长度度为为50 ,所所以以坡坡度改后，坡底伸长了度改后，坡底伸长了50( - )米米.95.如如图图，为为了了测测量量河河的的宽宽度度，在在一一岸岸边边选选定定两两点点A、B望望对对岸岸的的标标记记物物C，测测得得CAB=30， CBA=75， AB=120m，则这条河的宽度为，则这条河的宽度为 m.6010 如图，在如图，在ABC中，过中，过C作作CDAB于于D点，则点，则CD为所求宽度为所求宽度.在在ABC中，因为中，因为CAB=30，CBA=75，所以所以ACB=75，所以所以AC=AB=120 m.在在RtACD中
5、，中，CD=ACsinCAD=120sin30=60(m).因此，这条河宽因此，这条河宽60 m.11解解斜斜三三角角形形知知识识在在生生产产实实践践中中有有着着极极为为广广泛泛的的应应用用，如如测测量量、航航海海、几几何何、物物理理等等方方面面都都要要用用到到解解三三角角形形的的知知识识.解解斜斜三三角角形形有有关关的的实实际际问问题题的的思思维维过过程程可以用下图表示：可以用下图表示：12解斜三角形应用题的一般步骤是：解斜三角形应用题的一般步骤是：分分析析：准准确确理理解解题题意意，分分清清已已知知与与所所求求，尤尤其其要要理理解解应应用用题题中中的的有有关关名名词词术术语语，如如坡坡度度
6、、仰仰角角、俯俯角角、视视角角、方方向向角角、方方位位角角等等，必必要要时时，画画出出示示意意图图，化化实实际际问题为数学问题；问题为数学问题；建建模模：根根据据已已知知条条件件与与求求解解目目标标，把把已已知知量量与与求求解解量量尽尽量量集集中中在在有有关关三三角角形形中，建立一个解斜三角形的数学模型；中，建立一个解斜三角形的数学模型；13求求解解：利利用用正正弦弦定定理理或或余余弦弦定定理理有有序地解出三角形，求得数学模型的解；序地解出三角形，求得数学模型的解；检检验验：检检验验上上述述所所求求的的解解是是否否符符合合实际意义，从而得出实际问题的解实际意义，从而得出实际问题的解.解斜三角形
7、应用题常有以下几种情形：解斜三角形应用题常有以下几种情形：实实际际问问题题经经抽抽象象概概括括后后，已已知知与与未未知知量量全全部部集集中中在在一一个个三三角角形形中中，一一次次可可用用正弦定理或余弦定理解之；正弦定理或余弦定理解之；14实际问题经抽象概括后，已知量与未知实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形或多个三角形，这时需按顺量涉及两个三角形或多个三角形，这时需按顺序逐步在几个三角形中求出问题的解；序逐步在几个三角形中求出问题的解；实际问题经抽象概括后，涉及的三角形实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形，需只有一个，但由题目已知条件解此三角形，
8、需连续使用正弦定理或余弦定理连续使用正弦定理或余弦定理.运用正弦定理和余弦定理解决几何计算问运用正弦定理和余弦定理解决几何计算问题，要抓住条件和待求式子的特点，恰当地选题，要抓住条件和待求式子的特点，恰当地选择定理择定理.运用正弦定理一般是将边转化为角，运用正弦定理一般是将边转化为角，而条件中给出三边关系的往往考虑用余弦定理而条件中给出三边关系的往往考虑用余弦定理求和求和.15例例1题型一题型一 斜三角形模型在航海中的应用斜三角形模型在航海中的应用 海海中中小小岛岛A处处周周围围38海海里里内内有有暗暗礁礁，一一轮轮船船正正向向南南航航行行，在在B处处测测得得小小岛岛A在在船船的的南南偏偏东东
9、30，航航行行30海海里里后后，在在C处处测测得得小小岛岛在在船船的的南南偏偏东东45，如如果果该该船船不不改改变变航航向向，继继续续向向南南航航行行，有有无触礁的危险？无触礁的危险？16 船船继继续续向向南南航航行行，有有无无触触礁礁的的危危险险，取取决决于于小小岛岛A到到航航线线BC的的距距离离和和38海海里里的的大大小小，所所以以我我们们只只要要先先算算出出AC(或或AB)的的长长,再再算算出出A到直线到直线BC的距离的距离,将其与将其与38海里比较即可海里比较即可. 在在ABC中中,BC=30,ABC=30,ACB=135，所以所以BAC=15.由正弦定理知，由正弦定理知， = ,即即
10、 = ,17AC= =60cos15=60cos(45-30)=60(cos45cos30+sin45sin30)=15( + ).于是，于是，A到到BC所在直线的距离为：所在直线的距离为：ACsin45=15( + ) =15( +1)40.98(海里海里).它大于它大于38海里海里,所以船继续向南航行所以船继续向南航行,没有触礁没有触礁的危险的危险. 本题也可建立直角坐标系，利用本题也可建立直角坐标系，利用坐标法解决坐标法解决.18例例2题型二题型二 斜三角形模型在测量中的应用斜三角形模型在测量中的应用 为为了了竖竖一一块块广广告告牌牌，要要制制造造 三三 角角 形形 支支 架架 ， 如如
11、 图图 .要要 求求ACB=60，BC的的长长度度大大于于1米米，且且AC比比AB长长0.5米米.为为了了广广告告牌牌稳稳固固，要要求求AC的的长长度度越越短短越越好好,求求AC最最短短为为多多少少米米?且且当当AC最最短时短时,BC的长度为多少米的长度为多少米?19 本本题题主主要要考考查查解解三三角角形形的的知知识识及及函函数数最最值值的的求求法法.在在ABC中中，已已知知c,b的的关关系系，再再结结合合余余弦弦定定理理，可可得得BC=a的的函函数数表表达达式，然后利用基本不等式可求其最值式，然后利用基本不等式可求其最值. 设设BC=a(a1),AB=c,AC=b,b-c= ,由余弦定理得
12、由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos60，将将c=b- 代入得：代入得：(b- )2=a2+b2-ab，化简得化简得b(a-1)=a2- ，20因为因为a1，所以，所以a-10，所以所以b= = =(a-1)+ +2 +2.当且仅当当且仅当a-1= 时取时取“=”号，号，即即a=1+ 时，时，b有最小值有最小值2+ ，答答:AC最短为最短为(2+ )米米,此时此时BC长为长为(1+ )米米. 先建立先建立AC长度的目标函数，再根长度的目标函数，再根据目标函数，求最值据目标函数，求最值.21例例3题型三题型三 斜三角形模型在决策中的应用斜三角形模型在决策中的应用 以以一一年年为为一一周周期
13、期调调查查某某商商品品的的出出厂厂价格和它的市场销售价格时发现价格和它的市场销售价格时发现: 信信息息1：该该商商品品出出厂厂价价格格是是在在6元元的的基基础础上上按按月月份份随随正正弦弦曲曲线线波波动动的的.已已知知3月月份份出出厂厂价价格格最最高高，为为8元元，7月月份份出出厂厂价价格最低，为格最低，为4元元.22信信息息2：该该商商品品在在市市场场销销售售价价格格是是在在8元元的的基基础础上上，按按月月份份也也是是随随正正弦弦曲曲线线波波动动的的.已已知知5月月份份销销售售价价格格最最高高，为为10元元，9月份销售价格最低，为月份销售价格最低，为6元元.(1)根根据据上上述述信信息息1和
14、和2，求求该该商商品品的的出出厂厂价价格格y1和和销销售售价价格格y2与与月月份份x之之间间的的函数关系式；函数关系式；(2)若若某某经经销销商商每每月月购购进进该该商商品品m件件，且且当当月月能能售售完完，则则在在几几月月份份盈盈利利最最大大？并说明理由并说明理由.23 (1)依据信息依据信息1、2可知，该商品的出厂可知，该商品的出厂价格价格y1和销售价格和销售价格y2与月份与月份x之间的关系都满之间的关系都满足正弦曲线，足正弦曲线，故可设故可设y1=A1sin(1x+1)+B1,y2=A2sin(2x+2)+B2,依题意，得依题意，得B1= =6,A1=2,T=2(7-3)=8,所以所以1
15、= = .所以所以y1=2sin( x+1)+6.4p4p24将点将点(3,8)代入函数代入函数y1=2sin( x+1)+6得得,1=- ,所以所以y1=2sin( x- )+6.同理，可得同理，可得y2=2sin( x- )+8.(2)因为利润函数是因为利润函数是y=m(y2-y1)=m2sin( x- )+8-2sin( x- )-6=m(2-2 sin x),所以当所以当x=6时，利润达到最大时，利润达到最大. 用待定系数法求出用待定系数法求出y=Asin(x+)+B的函数关系，是解题的关键的函数关系，是解题的关键.25 某某昆昆虫虫种种群群数数量量在在1月月1日日时时低低至至700只
16、只，而而在在当当年年7月月1日日时时高高达达900只只，其其数数量量在在这这两两个个值值之之间间按按正正弦弦曲曲线线呈呈规规律律性性变化变化. (1)求求出出种种群群数数量量y关关于于时时间间t的的函函数数解解析析式，式，t以月为单位；以月为单位； (2)画出种群数量画出种群数量y关于时间关于时间t的函数图象的函数图象.26 (1)设所求的函数解析式为设所求的函数解析式为y=Asin(t+)+B(A0)，则则B= =800,A=100，且，且T=12= ,所以所以= ,因为图象过点因为图象过点(1,700),故有故有100sin( 1+)+800=700,所以所以 1+=2k- ,得得=2k-
17、 ,kZ.取绝对值最小的，故取绝对值最小的，故=- .所以所求的函数解析式为所以所求的函数解析式为y=100sin( t- )+800.27(2)其图象为：其图象为：28 面面对对实实际际问问题题时时，能能够够迅迅速速地地建建立立数数学学模模型型是是一一项项重重要要的的基基本本技技能能.这这个个过过程程并并不不神神秘秘，就就像像前前面面的的几几个个例例题题，在在读读题题时时把把问问题题提提供供的的“条条件件”逐逐条条地地“翻翻译译”成成“数数学学语语言言”，这这个个过过程程就就是是数数学学建建模模的的过过程程，在在高高考考中中，将将实实际际问问题题转转化化为为与与三三角角函函数数有有关关的的问
18、问题题的的常常见见形形式式有有：求求出出三三角角函函数数的的解解析析式式；画画出出函函数数的的图图象象以以及及利利用用函函数数的的性性质质进进行行解解题题.29学例1 (2009宁宁夏夏/海海南南卷卷)如如图图，为为了了测测量量两两山山顶顶M,N间间的的距距离离，飞飞机机沿沿水水平平方方向向在在A,B两两点点进进行行测测量量.A,B,M,N在在同同一一个个铅铅垂垂平平面面内内（如如图图所所示示）,飞飞机机能能够够测测量量的的数数据据有有俯俯角角和和A,B间间的的距距离离.请请设设计计一一个个方方案案，包包括括：指出需要测量的数指出需要测量的数 据（用字母表示，并据（用字母表示，并 在图中标出）
19、；在图中标出）；用用 文字和公式写出计算文字和公式写出计算 M,N间的距离的步骤间的距离的步骤.30 (方案一方案一)需需要要测测量量的的数数据据有有：A点点到到M,N点点的的俯俯角角分分别别为为1,1;B点点到到M,N点点的的俯俯角角分分别别为为2,2;A,B的的距离距离d.第第一一步步:计计算算AM.由由正正弦弦定定理理得得AM= ; 第第二二步步:计计算算AN.由由正正弦弦定定理理得得AN= ; 第三步第三步:计算计算MN.由余弦定理得由余弦定理得 MN= .31(方案二方案二)需要测量的数据有：需要测量的数据有：A点到点到M,N点的俯角分别点的俯角分别为为1,1;B点到点到M,N点的俯
20、角分别为点的俯角分别为2,2;A,B的的距离距离d.第一步第一步:计算计算BM.由正弦定理得由正弦定理得BM= ; 第二步第二步:计算计算BN.由正弦定理得由正弦定理得BN= ; 第三步第三步:计算计算MN.由余弦定理得由余弦定理得 MN= .32 (2009辽辽宁宁卷卷)如如图图，A,B,C,D都都在在同同一一个个与与水水平平面面垂垂直直的的平平面面内内，B，D为为两两岛岛上上的的两两座座灯灯塔塔的的塔塔顶顶.测测量量船船于于水水面面A处处测测得得B点点和和D点点的的仰仰角角分分别别为为，于于水水面面C处测得处测得B点和点和D点点 的仰角均为的仰角均为， AC=0.1km.试探究图中试探究图
21、中B， D间距离与另外哪两点间间距离与另外哪两点间 距离相等，然后求距离相等，然后求B，D 的距离的距离(计算结果精确到计算结果精确到 0.01km, 1.414， 2.449).学例233 先先从从草草图图中中分分离离出出可可解解、易易解解、应应解解三角形，再用正弦定理求解三角形，再用正弦定理求解. 在在ACD中中,DAC=30, ADC=60-DAC=30,所以所以CD=AC=0.1.又又BCD=1806060=60，故故CB是是CAD底边底边AD的中垂线，所以的中垂线，所以BD=BA.在在ABC中中, = .即即AB= = ,因此因此,BD= 0.33.故故B,D的距离约为的距离约为0.33 km.34本节完，谢谢聆听立足教育，开创未来立足教育，开创未来
