《复变函数与积分变换复数项级数与幂级数学习教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数与积分变换复数项级数与幂级数学习教案（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、会计学1复变函数复变函数(hnsh)与积分变换复数项级数与积分变换复数项级数与幂级数与幂级数第一页，共30页。21.1.1.1.复数列的收敛复数列的收敛复数列的收敛复数列的收敛(shulin)(shulin)(shulin)(shulin)与发散与发散与发散与发散设设设设an(n=1,2,.)an(n=1,2,.)an(n=1,2,.)an(n=1,2,.)为一复数列为一复数列为一复数列为一复数列,其中其中其中其中an=an+ibn,an=an+ibn,an=an+ibn,an=an+ibn,又又又又设设设设a=a+iba=a+iba=a+iba=a+ib为一确定的复数为一确定的复数为一确定的
2、复数为一确定的复数.如果任意给定如果任意给定如果任意给定如果任意给定e0,e0,e0,e0,相应地能找相应地能找相应地能找相应地能找到一个正数到一个正数到一个正数到一个正数N(e),N(e),N(e),N(e),使使使使|an-a|e|an-a|e|an-a|e|an-a|NnNnNnN时成立时成立时成立时成立,则则则则a a a a称为复数列称为复数列称为复数列称为复数列anananan当当当当n n n n时的极限时的极限时的极限时的极限,记作记作记作记作n n此时也称复数此时也称复数(fsh)(fsh)列列anan收敛于收敛于a.a.第1页/共29页第二页，共30页。3定理一定理一定理一
3、定理一复数复数复数复数(fsh)(fsh)(fsh)(fsh)列列列列an(n=1,2,.)an(n=1,2,.)an(n=1,2,.)an(n=1,2,.)收收收收敛于敛于敛于敛于a a a a的充要条件是的充要条件是的充要条件是的充要条件是n n 证证 小结论小结论(jiln)：第2页/共29页第三页，共30页。4推论：若实数列推论：若实数列anan与与bnbn中有一个发散，则中有一个发散，则复数复数(fsh)(fsh)列列nn一一定发散。定发散。例1. 下列(xili)数列是否收？如果收敛，求出其极限.第3页/共29页第四页，共30页。52222复数复数复数复数(fsh)(fsh)(fs
4、h)(fsh)项级数项级数项级数项级数 设设设设an=an+ibn(n=1,2,.)an=an+ibn(n=1,2,.)an=an+ibn(n=1,2,.)an=an+ibn(n=1,2,.)为一复数为一复数为一复数为一复数(fsh)(fsh)(fsh)(fsh)列列列列,表达式表达式表达式表达式n n称为无穷级数称为无穷级数,其最前面其最前面(qinmian)n(qinmian)n项的项的和和sn=a1+a2+.+ansn=a1+a2+.+ann n称为级数的部分和称为级数的部分和.如果部分和数列如果部分和数列snsn收收敛敛,第4页/共29页第五页，共30页。6n n小结论：若复数项级数1
5、+2+n+收敛，则其通项n极限(jxin)为零。n n例2.当|1,判断级数1+2+n+是否收敛？第5页/共29页第六页，共30页。7定理二定理二定理二定理二级数级数级数级数收敛收敛收敛收敛(shulin)(shulin)(shulin)(shulin)级数级数级数级数和和和和都收敛都收敛都收敛都收敛(shulin).(shulin).(shulin).(shulin). 证证证证sn=a1+a2+.+ansn=a1+a2+.+ansn=a1+a2+.+ansn=a1+a2+.+an=(a1+a2+.+an)+i(b1+b2+.+bn)=(a1+a2+.+an)+i(b1+b2+.+bn)=(
6、a1+a2+.+an)+i(b1+b2+.+bn)=(a1+a2+.+an)+i(b1+b2+.+bn)=sn+itn=sn+itn=sn+itn=sn+itn由定理一由定理一由定理一由定理一,sn,sn,sn,sn有极限存在的充要条件是有极限存在的充要条件是有极限存在的充要条件是有极限存在的充要条件是snsnsnsn和和和和tntntntn的极限存在的极限存在的极限存在的极限存在,即级数即级数即级数即级数和和和和都收都收都收都收敛敛敛敛(shulin).(shulin).(shulin).(shulin).第6页/共29页第七页，共30页。8定理二将复数项级数的收敛问题定理二将复数项级数的收
7、敛问题定理二将复数项级数的收敛问题定理二将复数项级数的收敛问题(wnt)(wnt)(wnt)(wnt)转化为实数项级数转化为实数项级数转化为实数项级数转化为实数项级数收敛问题收敛问题收敛问题收敛问题(wnt).(wnt).(wnt).(wnt).第7页/共29页第八页，共30页。9第8页/共29页第九页，共30页。10定理定理定理定理(dngl(dngl(dngl(dngl)三三三三n n 证证 定理定理(dngl)四四证第9页/共29页第十页，共30页。11例 下列(xili)数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.解解解解1)1)1)1)第10页/共29页第十一页，共30页。122)2)2
8、)2)由于由于由于由于(yuy)an=ncosin=nchn,(yuy)an=ncosin=nchn,(yuy)an=ncosin=nchn,(yuy)an=ncosin=nchn,因此因此因此因此,当当当当n n n n时时时时,an,an,an,an.所以所以所以所以anananan发散发散发散发散.例3 下列级数是否(sh fu)收敛? 是否(sh fu)绝对收敛?解 1) 因 发散(fsn) ; 收敛, 故原级数发散(fsn).第11页/共29页第十二页，共30页。132) 因 , 由正项级数(j sh)的比值收敛法知 收敛, 故原级数(j sh)收敛, 且为绝对收敛.3)3)3)3)
9、因因因因收敛收敛收敛收敛(shulin);(shulin);(shulin);(shulin);也收敛也收敛也收敛也收敛(shulin),(shulin),(shulin),(shulin),故原级数收敛故原级数收敛故原级数收敛故原级数收敛(shulin).(shulin).(shulin).(shulin).但因但因但因但因为条件收敛为条件收敛为条件收敛为条件收敛(shulin),(shulin),(shulin),(shulin),所以原级数不是绝对收敛所以原级数不是绝对收敛所以原级数不是绝对收敛所以原级数不是绝对收敛(shulin).(shulin).(shulin).(shulin).
10、第12页/共29页第十三页，共30页。14三、三、三、三、 幂级数幂级数幂级数幂级数 设设设设fn(z)(n=1,2,.)fn(z)(n=1,2,.)fn(z)(n=1,2,.)fn(z)(n=1,2,.)为区域为区域为区域为区域D D D D上的上的上的上的( ( ( (复变复变复变复变) ) ) )函数函数函数函数(hnsh)(hnsh)(hnsh)(hnsh)序列序列序列序列, , , ,表达式表达式表达式表达式n n称为称为( (复变复变) )函数函数(hnsh)(hnsh)项级数项级数.最前面最前面n n项的和项的和n nSn(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z)Sn(z)=
11、f1(z)+f2(z)+.+fn(z)n n称为这级数的部分和称为这级数的部分和. .第13页/共29页第十四页，共30页。15n n存在存在,则称复变函数项级数则称复变函数项级数(4.1.2)(4.1.2)在在z0z0收敛收敛,而而f(z0)f(z0)称为它的和称为它的和.如果函数项级数如果函数项级数(4.1.2)(4.1.2)在在D D内处处收敛内处处收敛,则它的和一定则它的和一定(ydng)(ydng)是是z z的一个的一个函数函数f(z):f(z):n nf(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z)+.f(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z)+.如果对于如果对于如果对于如果
12、对于(duy)D(duy)D(duy)D(duy)D内的某一点内的某一点内的某一点内的某一点z0,z0,z0,z0,极限极限极限极限称为(chn wi)级数 的和函数.第14页/共29页第十五页，共30页。16n n这种级数称为这种级数称为(chnwi)(chnwi)幂级数幂级数. .n n如果令如果令z-a=z,z-a=z,则则(4.1.3)(4.1.3)成为成为,这是这是n n(4.1.4)(4.1.4)的形式的形式,为了方便为了方便,今后常就今后常就(4.1.4)(4.1.4)讨论讨论当当当当f f f fn n n n( ( ( (z z z z)=)=)=)=c c c cn n n
13、 n( ( ( (z z z z- - - -a a a a) ) ) )n n n n时时时时,第15页/共29页第十六页，共30页。17定理定理定理定理(dngl)(dngl)(dngl)(dngl)五五五五( ( ( (阿贝尔阿贝尔阿贝尔阿贝尔AbelAbelAbelAbel定理定理定理定理(dngl)(dngl)(dngl)(dngl)z0xyO第16页/共29页第十七页，共30页。18 证证 第17页/共29页第十八页，共30页。19第18页/共29页第十九页，共30页。20第19页/共29页第二十页，共30页。21n n幂级数的收敛性只有三种情况：n n(1)当0R+时，幂级数在|
14、z|R内发散；但在|z|=R上，幂级数可能收敛也可能发散。n n(2)当R=+时，幂级数在复平面上每一点绝对(judu)收敛。n n(3)当R=0时，幂级数在复平面上出去原点外处处发散。第20页/共29页第二十一页，共30页。22例例22求下列幂级数的收敛求下列幂级数的收敛(shulin)(shulin)半径半径第21页/共29页第二十二页，共30页。23第22页/共29页第二十三页，共30页。24第23页/共29页第二十四页，共30页。25第24页/共29页第二十五页，共30页。26四四.幂级数的性质幂级数的性质(xngzh)(xngzh)n n在以原点为中心在以原点为中心,r1,r2,r1
15、,r2中较小的一个为半径中较小的一个为半径的圆内的圆内,这两个幂级数可以像多项式那样进这两个幂级数可以像多项式那样进行相加行相加,相减相减,相乘相乘,所得到的幂级数的和函所得到的幂级数的和函数分别数分别(fnbi)(fnbi)就是就是f(z)f(z)与与g(z)g(z)的和的和, ,差与差与积积.第25页/共29页第二十六页，共30页。27第26页/共29页第二十七页，共30页。28第27页/共29页第二十八页，共30页。293)f(z)3)f(z)在收敛圆内在收敛圆内可以可以(ky)(ky)逐项积分逐项积分,即即第28页/共29页第二十九页，共30页。内容(nirng)总结会计学。复变函数与积分变换复数项级数与幂级数。推论：若实数列an与bn中有一个发散，则复数列n一定发散。称为级数的部分和. 如果部分和数列sn收敛(shulin),。+n+。定理二将复数项级数的收敛(shulin)问题转化为实数项级数收敛(shulin)问题.。称为(复变)函数项级数. 最前面n项的和。定理五(阿贝尔Abel定理)。(1) 当0R+时，幂级数在|z|R内发散。29第三十页，共30页。
