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1、 n阶矩阵阶矩阵A与一个对角阵相似的充分必要条件与一个对角阵相似的充分必要条件是是A有有n个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。 第三节第三节 矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件 定理定理 如果一个矩阵能与一个对角阵相似如果一个矩阵能与一个对角阵相似, ,称该矩阵称该矩阵可以可以对角化对角化。 证证 必要性：必要性：设设A与一个对角阵相似与一个对角阵相似, ,即存在一个可逆即存在一个可逆阵阵P, ,使使即即即即即得即得必要性得证。必要性得证。上述步骤倒过来写上述步骤倒过来写, ,即得充分性证明。即得充分性证明。 推论推论1 如果矩阵如果矩阵A的特征值互不相同的特征值互不相同, ,则则A
2、必可对角化必可对角化. .因为属于不同特征值的特征向量是线性无关的因为属于不同特征值的特征向量是线性无关的. .注意注意: 这个这个条件是充分的而不是必要的条件是充分的而不是必要的. . 如果如果A的特征方程有的特征方程有重根重根，此时不一定有，此时不一定有n个线性个线性无关的特征向量，从而矩阵无关的特征向量，从而矩阵A不一定能对角化；但如不一定能对角化；但如果能找到果能找到n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量, A还是能对角化还是能对角化例例1解解设设求可逆阵求可逆阵P，特征向量特征向量特征向量特征向量特征向量特征向量特征向量特征向量特征向量特征向量令令则则例例2解解求可逆阵求可逆阵P，判断矩阵判断矩阵 能否对角化，若能，能否对角化，若能，特征向量特征向量特征向量特征向量可对角化可对角化,例例3解解求可逆阵求可逆阵P，只有一个线性无关的特征向量只有一个线性无关的特征向量, ,判断矩阵判断矩阵 能否对角化，若能，能否对角化，若能，所以不能对角化所以不能对角化. 一般来说，求矩阵的高次幂比较困难，但若矩阵一般来说，求矩阵的高次幂比较困难，但若矩阵A能对角化，即存在可逆阵能对角化，即存在可逆阵P，使得使得 则则于是于是转化为对角阵求幂转化为对角阵求幂.例例4解解设设
