等差数列与等比数列的证明方法

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1、等等差差数数列列与与等等比比数数列列的的证证明明方方法法-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1等差数列与等比数列的证明方法高考题中，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。一、一、 定义法定义法10.证明数列是等差数列的充要条件的方法：等差数列的充要条件的方法：an1an d(常数) an是等差数列a2n2 a2n d(常数) a2n是等差数列a3n3 a3n d(常数) a3n是等差数列20.证明数列是等差数列的充分条件的方法：等差数列的充分条件

2、的方法：anan1d(n2)an是等差数列an1ananan1(n2)an是等差数列30.证明数列是等比数列的充要条件的方法：等比数列的充要条件的方法：an1a q(q 0且为常数，a1 0) an为等比数列n40.证明数列是等比数列的充要条件的方法：等比数列的充要条件的方法：ana q（n2，q为常数且0）an为等比数列n1注意事项：用定义法时常采用的两个式子anan1 d和an1an d有差别，前者必须加上“n2”，否则n 1时a0无意义，等比中一样有：n2时，有an1a q（常数 0）；nN N时，有ann1a q（常数 0）n例 1. 设数列a1,a2,an,中的每一项都不为 0。证明

3、：an为等差数列的充分必要条件是：对任何nN N，都有1a a11n12a2aa。3nan1a1an1证明：先证必要性设an为等差数列，公差为 d，则2当d=0 时，显然命题成立当d0 时，11 11 anan1danan1再证充分性：111a1a2a2a3a3a4111a1a2a2a3a3a41nanan1a1an111n1anan1an1an2a1an2得：1n1nan1an2a1an2a1an1两边同以anan1a1得：a1 (n1)an1nan2同理：a1 nan(n1)an1得：2nan1 n(anan2)即：an2an1an1anan为等差数列例 2.设数列an的前 n 项和为Sn

4、，试证an为等差数列的充要条件是Snn(a1 an), (n N*)。2证：）若an为等差数列，则3a1 an a2 an1 a3 an2，故2Sn (a1 an) (a2 an2) . (an a1)Snn(a1 an)2（）当 n2 时，由题设，Sn1(n1)(a1 an1)n(a1 an),Sn22所以an Sn Sn1n(a1 a2)(n1)(a1 an1)22同理有an1(n1)(a1 an1)n(a1 an)22(n1)(a1 an1)(n1)(a1 an1)n(a1 an)22从而an1an整理得：an+1an=anan1，对任意 n2 成立.从而an是等差数列.例 3.已知数列

5、an是等比数列（q 1），Sn是其前 n 项的和，则Sk，S2kSk，S3kS2k，仍成等比数列。证明一：（1）当 q=1 时，结论显然成立；（2）当 q1 时，SkS2kSka11q2k1qa11qk1q,S2ka11q2k1q,S3ka11q3k1qa11qk1qa1qk1qk1q2S3kS2ka11q3k1q2a11q2k1qa1q2k1qk1qS2kSk2a12q2k1qk(1q)22a11qka1q2k1qka12q2k1qkSk(S3kS2k) (1q)21q1qS2kSk=Sk(S3kS2k)4Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列.证明二：S2kSk=(a1a2a3a2k)(

6、a1a2a3ak)=ak1ak2ak3a2k=qk(a1 a2 a3ak)=qkSk 0同理，S3kS2 k=a2k1a2k2a2k3a3k=q2kSk 0Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列。二、中项法(1).(充要条件)若2an1 anan2an是等差数列(注：三个数a,b,c为等差数列的充要条件是:2b ac)(充分条件)2an an1an1(n 2)an是等差数列，（2）.(充要条件)若anan2 an12(an 0)an是等比数列(充分条件)2an an1an1（n1）an是等比数列，注:b ac且(ac 0) 是a、b、c 等比数列的充分不必要条件b ac 是 a、b、c 等比

7、数列的必要不充分条件.b ac且(ac 0) 是a、b、c 等比数列的充要条件.任意两数 a、c 不一定有等比中项，除非有 ac0，则等比中项一定有两个.三、通项公式与前n项和法1.通项公式法通项公式法（1）.若数列通项an能表示成an anb（a，b为常数）的形式，5则数列an是等差数列。(充要条件)(2).若通项an能表示成an cqn(c，q均为不为 0 的常数，nN N)的形式，则数列an是等比数列(充要条件)2. 前前n项和法项和法(1).若数列an的前n项和 Sn能表示成Sn an2bn (a，b 为常数)的形式，则数列an是等差数列；(充要条件)(2).若 Sn能表示成Sn Aq

8、n A(A，q均为不等于 0 的常数且 q1)的形式，则数列an是公比不为 1 的等比数列 (充要条件)四、归纳归纳猜想猜想数学归纳证明法证明法先根据递推关系求出前几项，观察数据特点，猜想、归纳出通项公式，再用数学归纳法给出证明。这种方法关键在于猜想要正确，用数学归纳法证明的步骤要熟练，从“n k时命题成立”到“n k 1时命题成立”要会过渡五、反证法解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑六、等差数列与等比数列的一些常规结论若数列若数列an是公比为是公比为q的等比数列的等比

9、数列，则（1）数列anan（为不等于零的常数）仍是公比为q的等比数列；（2）若bn是公比为q的等比数列，则数列anbn是公比为qq的等比数列； 1 1（3）数列是公比为的等比数列；qan（4）an是公比为q的等比数列；6（5）在数列an中，每隔k(k N N)项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为qk1；（6）若m，n，p(m，n，pN N)成等差数列时，am，an，ap成等比数列；（7）Sn，S2nSn，S3nS2n均不为零时，则Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列；（8）若logban是一个等差数列，则正项数列an是一个等比数列若数列若数列an是公差为是公差为d等差数列等差数列，则（1）kanb成等差数列，公差为kd（其中k 0，k，b是实常数）；（2）S(n1)kSkn，（kN N，k为常数），仍成等差数列，其公差为k2d；， bn都是等差数列，公差分别为d1，d2，则anbn是等差数列，公差（3）若an为d1d2；（4）当数列an是各项均为正数的等比数列时，数列lgan是公差为lgq的等差数列；（5）m，n，p(m，n，pN N)成等差数列时，am，an，ap成等差数列7