模型模型运动方程运动方程 试探解试探解色散关系色散关系波矢波矢q范围范围B--K条件条件波矢波矢q取值取值一维问题的处理步骤一维问题的处理步骤:2n-222n+12n+22n-1Mman 晶格振动的波矢数目晶格振动的波矢数目 = =晶体的原胞数晶体的原胞数N，，格波振动频率数目格波振动频率数目= =晶体的自由度数，晶体的自由度数，格波的支数格波的支数= =原胞内原子的自由度数原胞内原子的自由度数一维单原子链，设晶体有N个原胞原胞内原子的自由度数原胞内原子的自由度数=11支格波支格波晶体的自由度数晶体的自由度数=N频率数为频率数为N一维双原子链，设晶体有N个原胞原胞内原子的自由度数原胞内原子的自由度数=22支格波支格波晶体的自由度数晶体的自由度数=2N频率数为频率数为2N 3.2.1 色散关系1.模型§3.2 三维晶格的振动 设三维无限大的晶体，每个原胞中有设三维无限大的晶体，每个原胞中有n个原子，各原子的个原子，各原子的质量分别为质量分别为m1，，m2，，m3，，…mn原胞以原胞以l(l1l2l3)标志，表明原标志，表明原胞的中心位置位于格点：胞的中心位置位于格点：则原胞中各原子的位置表示如下：则原胞中各原子的位置表示如下： 各原子偏离格点的位移表示如下：各原子偏离格点的位移表示如下：2.运动方程和解运动方程和解( =x,y,z；；k=1,2,3,···,n) 在简谐近似下，上式的右端是原子位移的线性齐次函，上式的右端是原子位移的线性齐次函数。
和一维完全相似，具有如下的试探解：数和一维完全相似，具有如下的试探解： 把试探解带入运动方程，得到以把试探解带入运动方程，得到以A1x，， A2x ，，… Anx ，， A1y，， A2y ，，… Any ，， A1z，， A2z ，，… Anz为未知数的为未知数的 3n 个个线性齐线性齐次方程 Ak 有非零解，必须其系数行列式为零，由此得到一个关于有非零解，必须其系数行列式为零，由此得到一个关于ω2的的3n次方程式，进而得到次方程式，进而得到ω的的3n个解具体分析证明：个解具体分析证明： 当当q→0时，有三个解时，有三个解ωj正比于正比于q，，与弹性波一致，与弹性波一致，这这3 3支格支格波称为波称为声学支格波声学支格波而且而且A1j，， A2j ，，… Anj趋于相同，说明在趋于相同，说明在长波极限整个原胞一起运动其余的长波极限整个原胞一起运动其余的(3n-3)个解的长波极限描个解的长波极限描述原子之间的相对振动，并且具有有限的振动频率，述原子之间的相对振动，并且具有有限的振动频率，比声学波比声学波的最高频率还要高，称之为的最高频率还要高，称之为光学支格波光学支格波。
结论：在三维晶格中，对于一定的波矢结论：在三维晶格中，对于一定的波矢q，，有三个声学波，有三个声学波， (3(3n- -3)3)个个光学波3.2.2 波矢q的取值和范围设晶体有设晶体有N个原胞个原胞,原胞的基矢为：原胞的基矢为：沿基矢方向各有沿基矢方向各有N1、、N2、、N3个原胞个原胞,在三维情况下，在三维情况下，q同样受到边界条件的限制同样受到边界条件的限制根据玻恩根据玻恩- -卡曼边界条件，有：卡曼边界条件，有： ( (h1、、h2、、h3为整数为整数) ) 所以上式代表波矢所以上式代表波矢q在在倒格空间的均匀分布，是一些均匀分倒格空间的均匀分布，是一些均匀分布的点子，称为布的点子，称为q空间三维格波的波矢不是连续的而是分立的，其中三维格波的波矢不是连续的而是分立的，其中为波矢的基矢，波矢的点阵亦具有周期性为波矢的基矢，波矢的点阵亦具有周期性 每个波矢代表点占有的每个波矢代表点占有的q空间体积为：空间体积为：晶体体积晶体体积正格子原胞体积正格子原胞体积波矢空间中单位体积的波矢数目波矢空间中单位体积的波矢数目波矢密度波矢密度：：波矢密度波矢密度=注意：注意：q空间体积的量纲具有正空间体积量纲的倒空间体积的量纲具有正空间体积量纲的倒数，因此数，因此波矢密度具有体积的量纲波矢密度具有体积的量纲。
波矢可取的数目：波矢可取的数目：另一方法：根据另一方法：根据可以知道可以知道aq改变改变2π，，振动情况一样，即振动情况一样，即同理同理 分别取分别取N2、、N3个不同的值导致个不同的值导致q取取N=N1 N2 N3 晶格振动的格波数目晶格振动的格波数目:3支声学波支声学波(3n-3)支光学波支光学波晶格振动的波矢数目晶格振动的波矢数目 = =晶体的原胞数晶体的原胞数N，，格波振动频率数目格波振动频率数目= =晶体的自由度数晶体的自由度数mNn，，晶体中格波的支数晶体中格波的支数= =原胞内原子的自由度数原胞内原子的自由度数mn总之总之，设晶体有，设晶体有N个原胞个原胞,每个原胞有每个原胞有n个原子个原子,晶体的维数是晶体的维数是m m支声学波，支声学波，m(n-1)支光学波支光学波.其中对每一个其中对每一个q，，存在以下格波数存在以下格波数 例例1：金刚石结构有几支格波：金刚石结构有几支格波?几支声学波几支声学波?几支光学波几支光学波?设晶设晶体有体有N个原胞，个原胞，晶格振动模式数为多少晶格振动模式数为多少?答答:金刚石结构为复式格子金刚石结构为复式格子,每个原胞有每个原胞有2个原子。
个原子有有6支格波，支格波，3支声学波，支声学波，3支光学波支光学波振动模式数为振动模式数为6N晶格振动的波矢数目晶格振动的波矢数目 = =晶体的原胞数晶体的原胞数N，，格波振动频率数目格波振动频率数目= =晶体的自由度数晶体的自由度数mNn，，晶体中格波的支数晶体中格波的支数= =原胞内原子的自由度数原胞内原子的自由度数mn。