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1、第2讲图形的相似1.了解比例的性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割.2.通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比.3.掌握两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.4.了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方.5.了解两个三角形相似的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似.6.了解图形的位似，知道利用位似将一个图形放大或缩小.7.会用图形的相似解决一些简单的实际问题.1.如图 521，在ABC 中，D，E 分别为 AB，AC 边上的点，DE
2、BC，BE 与 CD 相交于点 F，则下列结论一定正确的是()图 521答案：A2.如图 522，已知ABCDEF，ABDE12，则下列等式一定成立的是()图 522答案：D3.(2017 年湖南湘潭)如图 523，在ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 的中点，则ADE 与ABC 的面积比SADESABC_.图 523答案：144.(2017 年湖北恩施)如图 524，在ABC 中，DEBC，ADE EFC ，AD BD 5 3 ，CF 6 ，则 DE 的长为_.图 524答案：105.(2017 年四川宜宾)如图 525，O 的内接正五边形 ABCDE 的对角线 AD 与 BE 相交于
3、点 G，若AE2，则 EG 的长是_.图 525解析：在O 的内接正五边形 ABCDE 中，设 EGx，易知：AEBABEEAG36，BAGAGB72，ABBGAE2.AEGAEB，EAGEBA，AEGBEA.AE2EGEB.22x(x2)，解得x1知识点内容平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等黄金分割(续表)知识点内容相似三角形的性质与判定相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例；(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方；(3)相似三角形对应高的比、对应角平分
4、线的比和对应中线的比等于相似比(续表)知识点内容相似三角形的性质与判定相似三角形的判定(1)两角对应相等的两个三角形相似；(2)两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边对应成比例的两个三角形相似注意平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似位似图形概念如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心性质位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比(续表)相似三角形的判定与性质例 1：(2017 年湖北武汉节选)已知四边形的一组对边的延长线相交于点 E.(1)(2)图 526(1)如图526(1)，若
5、ABCADC90，求证EDEAECEB；思路分析(1)证明EABECD，即可得解.(2)过点C作CGAD于点G，过点A作AHBC于点H，在RtCDG中利用已知条件即可求出DG，CG的长，再根据CDE的面积即可求出ED的长，在ABH中可求出BH，AH的长，利用构造ECGEAH可求出EH的长，再利用S四边形ABCDSAEHSECDSABH即可求解.【点评】此题的关键是寻找相似三角形，构造相似三角形，利用相似三角形的判定与性质解决问题.(1)证明：ADC90，EDC90.ABECDE.又AEBCED，EABECD.EDEAECEB.(2)解：如图527，过点C 作CGAD 于点G，过点A 作AHBC
6、 于点 H，图 527DG3，CG4.SCED6，ED3.EG6.【试题精选】1.(2017 年甘肃白银)如图528，一张三角形纸片 ABC，C90，AC8 cm，BC6 cm.现将纸片折叠：使点 A 与点 B 重合，那么折痕长等于_cm.图 528解析：取 AB 的中点 M，过点 M 作 MNAB 交 AC 于点 N，因为 AC8，BC6，所以 AB10.则 AM5.因为AMN2.(2016 年四川巴中)如图 529，点 D，E 分别为ABC 的边 AB，AC 上的中点，则ADE 的面积与四边形 BCED 的面积的比为()图 529A.12B.13C.14D.11答案：B3.(2017 年山
7、东潍坊)如图5210，在ABC 中，ABAC.D，E 分别为边 AB，AC 上的点.AC3AD，AB3AE，点 F 为 BC边上一点，添加一个条件：_，可以使得FDB 与ADE 相似.(只需写出一个)图 5210解析：DFAC，或BFDA.ADEACB.当 DFAC 时，BDFBAC.BDFEAD.当BFDA 时，BAED，FBDAED.故答案为 DFAC，或BFDA.答案：DFAC，或BFDA解题技巧(1)相似的判定方法可类比全等三角形的判定方法，找对应边(角)时应遵循一定的对应原则，如长(大)对长(大)，短(小)对短(小)，或找相等的边(角)帮助确定.(2)利用相似三角形的性质可以证明有关
8、线段成比例、角相等，也可计算三角形中边的长度或角的大小.关键要注意相似三角形的对应边的确认及性质的综合运用，尤其是在运用相似图形的面积比等于相似比的平方时，不要漏了“平方”.相似三角形的综合应用例 2：(2015 年陕西)晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞.小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高.于是，两人在灯下沿直线 NQ 移动，如图 5211，当小聪正好站在广场的 A 点(距 N 点 5 块地砖长)时，其影长 AD 恰好为 1 块地砖长；当小军正好站在广场的 B 点(距 N 点 9 块地砖长)时，其影长 BF恰好为 2 块地砖长
9、.已知广场地面由边长为 0.8 米的正方形地砖铺成，小聪的身高 AC 为 1.6 米，MNNQ，ACNQ，BENQ.请你根据以上信息，求出小军身高 BE 的长.(结果精确到0.01米)图 5211思路分析先证明CADMND，利用相似三角形的性质求得 MN9.6，再证明EFBMFN，即可解答.解：由题意，得CADMND90，CDAMDN，MN9.6.又EBFMNF90，EFBMFN，EB1.75.小军身高约为 1.75 米.思想方法运用相似三角形解决实际问题时，关键是把实际问题转化为求证相似三角形和利用相似比求线段的长.【试题精选】4.(2017 年黑龙江齐齐哈尔)经过三边都不相等的三角形的一个
10、顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”.如图 5212，线段 CD 是ABC 的“和谐分割线”，ACD 为等腰三角形，CBD 和ABC 相似.若A46，则ACB 的度数为_.图 5212解析：BCDBAC，BCDA46.ACD 是等腰三角形，ADCBCD，ADCA，即 ACCD.ACB6746113.当 DADC 时，ACDA46，ACB464692.故答案为 113或 92.答案：113或 92图形的位似5.(2016 年山东东营)如图 5213，在平面直角坐标系中，已知点 A(3,6)，B(9
11、，3)，以原点 O 为位似中心，相似比为，把ABO 缩小，则点 A 的对应点 A的坐标是()A.(1,2)B.(9,18)C.(9,18)或(9，18)图 5213D.(1,2)或(1，2)答案：DA.23B.32C.45D.49答案：A图 52146.(2017年黑龙江绥化)如图5214，ABC是ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若ABC的面积与ABC的面积比是49，则OBOB为()图 5215A.B.C.D.答案：A2.(2015 年广东)若两个相似三角形的周长比为 23，则它们的面积比是_.答案：493.(2013 年广东)如图 5216，在矩形 ABCD 中，以对角线BD 为一
12、边构造另一个矩形 BDEF，使得另一边 EF 过原矩形的顶点 C.(1)设 RtCBD 的面积为 S1，RtBFC 的面积为 S2，RtDCE的面积为S3，则S1_S2S3；(用“”“”“”填空)(2)写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明.图 5216答案：(1)(2)BCDCFBDEC 证明 BCD.DEC.证明：EDCBDC90，CBDBDC90，EDCCBD.又BCDDEC90，BCDDEC.4.(2017 年广东)如图5217，AB 是O 的直径，AB点 E 为线段 OB 上一点(不与 O，B 重合)，作 CEOB，交O于点 C，垂足为点 E，作直径 CD，过点 C 的切线
13、交 DB 的延长线于点 P，AFPC 于点 F，连接 CB.(1)求证：CB 是ECP 的平分线；(2)求证：CFCE；(结果保留).图 5217(1)证明：OCOB，OCBOBC.PF 是O 的切线，CEAB，OCPCEB90.PCBOCB90，BCEOBC90.BCEBCP.CB 平分ECP.(2)证明：如图D72，连接AC.AB是直径，ACB90.图 D72BCPACF90，ACEBCE90.BCPBCE，ACFACE.FAEC90，ACAC，ACFACE.CFCE.(3)解：如图 D72，作 BMPF 于 M，则 CECMCF.设 CECMCF3a，PC4a，PMa.BM2CMPM3a
14、2.5.(2014 年广东)如图 5218，在ABC 中，ABAC，ADBC 于点 D，BC10 cm，AD8 cm.点 P 从点 B 出发，在线段 BC 上以每秒 3 cm 的速度向点 C 匀速运动，与此同时，垂直于 AD 的直线 m 从底边 BC 出发，以每秒 2 cm 的速度沿 DA 方向匀速平移，分别交 AB，AC，AD 于 E，F，H，当点 P 到达点C 时，点 P 与直线 m 同时停止运动，设运动时间为 t 秒(t0).(1)当 t2 时，连接 DE，DF，求证：四边形 AEDF 为菱形；(2)在整个运动过程中，所形成的PEF 的面积存在最大值，当PEF 的面积最大时，求线段 BP
15、 的长；(3)是否存在某一时刻t，使PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻 t 的值；若不存在，请说明理由.图 5218(1)证明：当 t2 时，DHAH4，则 H 为 AD 的中点，如图 D73.又EFAD，EF 为 AD 的垂直平分线.AEDE，AFDF.ABAC，ADBC 于点 D，ADBC，BC.图 D73EFBC.AEFB，AFEC.AEFAFE.AEAF.AEAFDEDF，即四边形 AEDF 为菱形.图 D74(3)解：存在.理由如下：若点 E 为直角顶点，如图 D75，此时 PEAD，PEDH2t，BP3t.此种情形不存在；若点 F 为直角顶点，如图 D76，此时 PFAD，PFDH2t，BP3t，CP103t.图 D75图 D76图 D77若点 P 为直角顶点，如图 D77.过点 E 作 EMBC 于点 M，过点 F 作 FNBC 于点 N，则EMFNDH2t，EMFNAD.
