极限的求法总结极限的求法总结简介：求极限方法举例，列举简介：求极限方法举例，列举21种种 求极限的方法和相关问题求极限的方法和相关问题 1.1.代入法求极限代入法求极限 多项式函数与分式函数多项式函数与分式函数( (分母不为分母不为0)0)用用代入法求极限代入法求极限; ;方法总结：方法总结：商的法则商的法则(代入法代入法) 2.2.由无穷大量和无穷小量的关系求极限由无穷大量和无穷小量的关系求极限解解商的法则不能用商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系, ,得得 解解例例4 4( (消去零因子法消去零因子法) )3.3.消去零因子法消去零因子法 例例解解( (无穷小因子分出法无穷小因子分出法) )4.4.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限 小结小结: :无穷小分出法无穷小分出法: :以分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次幂除分子子, ,分母分母, ,以分出无穷小量以分出无穷小量, ,然后再求极限然后再求极限. . 练习练习1练习练习2练习练习3练习练习4 例例解解先变形再求极限先变形再求极限. .5.5.先变形再求极限先变形再求极限( (利用求和化简，拆项技巧，合并化简等利用求和化简，拆项技巧，合并化简等) ) 对于求无穷多项的极限和不符合四则运对于求无穷多项的极限和不符合四则运算的极限，先通过变形在求极限算的极限，先通过变形在求极限; ;方法总结：方法总结： 2005年数学三考研试题 （第三大题15小题8分） 例例解解6.6.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限 例例解解左右极限存在且相等左右极限存在且相等,7.7.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限 例例 求极限求极限8.8.分子（母）有理化求极限分子（母）有理化求极限【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
( (分子分母有理化消去零因子分子分母有理化消去零因子) ) 9.9.利用夹逼准则（两边夹法）则求极限利用夹逼准则（两边夹法）则求极限说明：两边夹法则需要放大和缩小不等式，常用的方法是都换成最大的和最小的 例例解解由夹逼定理得由夹逼定理得说明：这种说明：这种n n项和的极限有时也可以转化为定积分来计算，项和的极限有时也可以转化为定积分来计算， 这道题是不可以的这道题是不可以的 解： 当时，（积分不容易计算）故因为所以例例 10. 10. 用等价无穷小量代换求极限用等价无穷小量代换求极限 例：求极限解练习：： 2005年数学三考研试题 (第一大题填空题第1小题4分) 2009年数学三考研试题 (第二大题填空题第9小题4分) 2008年数学三考研试题 (第三大题第15题10分) 11. 11. 应应用两个重要极限求极限用两个重要极限求极限两个重要极限是和第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现主要考第二个重要极限 例：求极限【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出1，再凑，最后凑指数部分解 例例解解练习 12，求 2012年数学三考研试题 (第二答题填空题第9小题)9. 12. 12. 应应用数列的单调有界收敛准则求极限用数列的单调有界收敛准则求极限例例 设，，（1）证明存在； （2）求【分析】一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在。
解: (1) 即有下界， 由此得 既单调下降，因此存在2）设，由（1）对递推公式两端取极限，得解得（舍去负值），所以 13.13.用对数恒等式用对数恒等式 求极限求极限例：求极限解法1: 解法2: 原式 解法3: 注注1：：对于型未定式的极限，也可用公式因为注注2：：对于于型未定式型未定式的极限也可以利用第的极限也可以利用第二个重要极限二个重要极限 例：求极限解法1: 原式 解法2: 原式 2011年数学一考研试题 (第三答题解答题第15题10分) 2013年数学二考研试题 (第二答题填空题第9小题) 14. 14. 将将数列极限转化成函数极限求解数列极限转化成函数极限求解 【说明】这是洛必达法则，若直接求解有一定难度，若转化成函数极限，可通过13提供的方法结合洛必达法则求解例：求极限形式的极限，由于数列极限不能使用 【解】考虑辅助极限所以根据:《数学分析》里面的归结原则，又称为海涅定理， 意思就是函数极限可以用数列极限刻画 15. 15. 求极限式中的常数求极限式中的常数 2010年数学三考研试题 (第三答题解答题第1题4分) 16. 16. 利利用导数的定义求极限用导数的定义求极限2013年数学一考研试题 (第二答题填空题第9小题)答案答案 １ １ 2013年数学一考研试题 (第一答题选择题第１小题)答案答案 1.1. Ｄ Ｄ 2013年数学三考研试题 (第二大题填空题第9小题)答案答案 -2-2 2013年数学三考研试题 (第一大题选择题第１小题)答案答案 1.1. Ｄ Ｄ 2013年数学二考研试题 (第一大题选择题第2小题) 17. 17. 应应用洛必达法则求极限用洛必达法则求极限【说明】 或型的极限，可通过洛必达法则来求。
例：求极限 【注】许多变上限函数的积分表示的极限，常用洛必达法则求解例：设函数连续，且，求极限【解】由于 于是， 2011年数学三考研试题 (第三大题解答题第15题10分) 2012年数学三考研试题(第三大题解答题第15小题10分) 18. 18. 应应用定积分的定义求极限用定积分的定义求极限【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分来计算，是把看成定积分 例：求极限解：原式 2012年数学二考研试题 (第二答题填空题第10小题) 练习：用定积分表示下列极限练习：用定积分表示下列极限:解解: 练习： 练习： 19. 19. 利利用中值定理求极限用中值定理求极限（（1 1））. . 利利用微分中值定理求极限用微分中值定理求极限 （（2 2）） 利利用积分中值定理求极限用积分中值定理求极限简单积分中值定理简单积分中值定理 积分中值定理积分中值定理 20. 20. 应应用泰勒公式求极限用泰勒公式求极限例：求极限解： 例：求极限解: 例：设，求解：解：错误做法做法（方法（方法1）） ，因此 （方法（方法2）） 因此 练习: 21. 21. 应应用级数的收敛性求极限用级数的收敛性求极限例例 解解 练习: 。