自适应课件北航43

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1、4.3 4.3 多步预测自校正控制多步预测自校正控制 最小方差控制对非最小相位系统不适用，并且控制量无约束，最小方差控制对非最小相位系统不适用，并且控制量无约束，广义最小方差控制能改变这些状况，但也增加了设计难度，同时容广义最小方差控制能改变这些状况，但也增加了设计难度，同时容易产生稳态误差，所以，这两种控制方法在实际中应用非常有限。易产生稳态误差，所以，这两种控制方法在实际中应用非常有限。多步预测自校正控制是在最小方差自校正控制和广义最小方差自校多步预测自校正控制是在最小方差自校正控制和广义最小方差自校正控制的基础上发展起来的。它保留了最小方差自校正控制的优正控制的基础上发展起来的。它保留了

2、最小方差自校正控制的优点，同时增加了一些新亮点。如最小方差控制中的预测模型、控制点，同时增加了一些新亮点。如最小方差控制中的预测模型、控制优化和反馈控制在多步预测控制中都得到了继承，并且增加了多步优化和反馈控制在多步预测控制中都得到了继承，并且增加了多步预测、多步控制、实施一步、循环滚动等措施。因而控制效果更预测、多步控制、实施一步、循环滚动等措施。因而控制效果更好，系统的鲁棒性更强，更能适应复杂的过程或对象，使多步预测好，系统的鲁棒性更强，更能适应复杂的过程或对象，使多步预测控制升华为一种性能卓越、适应性强的控制策略。它不仅适用于稳控制升华为一种性能卓越、适应性强的控制策略。它不仅适用于稳定

3、的开环系统，而且还适用于开环不稳定系统，以及非线性系统。定的开环系统，而且还适用于开环不稳定系统，以及非线性系统。14.3.1 模型与最优多步预测估计 先延续4.1.1的约定： ：未来 时刻预测模型输出； ：基于 k 和以前时刻的输入/输出数据 对未来 时刻预测模型输出的最优估计，简称最优输出预测 估计； ：(输出) 预测误差。这里， ， N为预测长度。 用受控自回归积分滑动平均模型描述对象或过程即(4-37)2式中 为白噪声序列，且(4-38)这里假定被控对象的纯延时d=1，如果它大于1，则多项式 中d-1项系数为零。3 结论结论4.44.4 ：式（4-37）所示的对象或过程，使 最小的 j

4、 步最优预测估计为 预测模型输出为 且有式中(4-39)(4-40)4 证明过程与结论4.1相似，在此省略。4.3.2 Diophantine方程的递推求解 1. 和 的递推公式 由式（4-40）有两式相减，并将多项式中的 省去，则有 (4-41)上式左边的 最低次幂为j，所以左边从1到 次幂项应为零，从而(4-42)(4-43)将式（4-43）代入式（4-41），并移项5展开后，有比较两边相同幂次系数，有(4-44)(4-45) 初值确定：初值确定：由式（4-40）有比较两边系数得6若 ，则有 2. 和和 的递推公式的递推公式 从式（4-39）可知， 中包含有过去和未来的控制，为了便于控制律

5、的求取，现将这两部分分离开来，于是，引出了另一Diophantine方程：式中(4-46)令 ，由式（4-46）有7上式减去式（4-46），得 (4-47)由式（4-43）和上式应有所以式（4-47）可写为展开两边8比较两边系数可得(4-48)(4-49)在计算过程中，如果 和 实际不存在，则用零代替。 初始值确定：当 j = 1 时，由式（4-46）有所以当 时，有9 小结小结： 1）求 ：递推公式（4-42）-（4-44），初始 ； 2）求 ：递推公式（4-45），初始 ； 3）求 ：递推公式（4-48），初始 ； 4）求 ：递推公式（4-49），初始4.3.3 4.3.3 控制律与间接控

6、制算法控制律与间接控制算法 选取性能指标函数为式中， 为未来 时刻的期望输出， 为计算性能指标时实际输出与期望输出误差的起点，一般 。若知道纯延时d，则取 。一般情况下取 ，N为预测长度。前两节的预测是向前一(4-50)10步预测，跨距为 ，它大于或等于一个采样周期，即 ，而此时的预测为向前N步预测，每步跨距为 ，预测长度为 ，所以称它为多步预测。 为控制长度，且有： ，即应在N的范围之内。当时，有 (4-51)即在区间 内，不再有控制作用产生。 为控制加权系数，约束控制量。若将式（4-50）用矩阵形式表示，则有更为一般的形式：(4-52)式中11 为未来预测模型输出向量； 为未来期望输出向量

7、； 为未来控制增向量； 为控制加权矩阵； 为输出误差加权矩阵，当知道对象纯延时时，取 ，当取 时，式（4-52）中的J 即为式（4-50）的形式。 （1） 时的控制律与算法 由式（4-39）、（4-42）和式（4-46），有取 ，并考虑式（4-51），则有下列等式： 12写成矩阵形式：13式中， 为过去控制增向量； 为过去输出向量； 为不相关随即向量。(4-53)14其中 式（4-53）右边第一项为零状态预测，第二、三项为零输入预测，这三项加在一起即为最优预测估计，它们是结论4.4的最优预测矩阵形式。不过，其中关于控制的部分在此分为两块，即式（4-53）右边第一项和第二项。 将式（4-53）代

8、入式（4-52），由 得到最优控制律第 k 拍的控制为式中， 为 的第一行。(4-54)15由于 ，由式（4-37）有式中按渐消记忆递推最小二乘公式有(4-55)16间接控制算法： 1）已知 ，根据被控对象和要求确定 和 ，初始化 等值； 2）读取 ，用式（4-55）估计 ； 3）用 中的 和 代替 和 ，并求 ； 4）递推法求 和 ； 5）构成矩阵 和 ； 6）求 的第一行 ； 7）由式（4-54）求 ，并执行；17 8） ，转步骤2）。例4.3.1 设被控对象为取 ，试求控制增量的表达式。 j = 1时，由初值可得 j = 2时，由递推公式得18 j = 3时，19 (2) 时的控制与算法

9、 此时的情况比 时复杂，一是要对预测模型的输出进行处理，二是增加了对 参数的估计。 将式（4-46）代入式（4-39），令则上式可以表达为取 ，用与 相同的方法，可得预测模型输出的矩阵形式20式中其他的含义同式（4-53）。 相应的最优控制为剩下的问题是参数估计。由式（4-37）有式中21按递推最小二乘法对参数进行估计式中22 按滤波形式给出 控制算法基本同 的情况，但是增加了 和 等的计算，具体计算顺序要根据相关值求出的先后进行安排，在此不作进一步叙述。 从控制算法步骤看，这种间接控制方式计算量比较大，除了求控制参数外，还有矩阵运算。当然，也有直接控制算法，其计算量要小些，本节不准备介绍。

10、对象参数估计收敛的条件与2.3节相同，要求输入持续激励，即输入充分丰富。 预测长度预测长度 和控制长度和控制长度 的选取。的选取。23 式（4-50）中，N 表示基于时刻K，在未来N步时间长度内，输出预测要达到期望输出（参考输入）。N应该在稳定性和快速性方面综合考虑。一般地说，N应包括大部分动态过程，大于 的阶次，如果对象有纯延时或者非最小相位系统，N应超过纯延时或者非最小相位特性引起的反向部分。 表示在未来 N步预测中，改变多少步控制量才能使输出跟上参考输入，所以有 。若 过小，难使复杂系统输出在 之前跟上参考输入；如果 过大，虽可增加控制的机动性和灵活性，但使系统稳定性和鲁棒性变差，并增大

11、了计算量。一般说来，对 “S” 形的响应对象，可选 ，对含振荡形的响应对象，可选 。244.4 4.4 多步预测自校正控制的仿真多步预测自校正控制的仿真 例4.4.1 设有某非最小相位系统：式中， 为零均值白噪声信号。假设已知并且系统参数变化，试按多步预测自校正控制方案设计系统并做仿真，具体考察系统的跟踪能力、抗对象参数变化能力，以及研究预测长度 、控制长度 和矩阵 对系统动态性和稳定性的影响。 由于是一个非最小相位系统，加上开环不稳定，所以预测长度 N 应大于2，不妨取为3，控制长度 因有1个极点不稳定而取为1。 参考输入信号取方波，为使被估参数收敛，施加 参考输入幅值的随机25干扰信号 ，

12、用带遗忘因子的递推最小二乘法估计参数，取 ,被估计参数向量初始值并取 ，按4.3.3中 的控制算法编程序仿真。 跟踪能力考察：经编程、调试后，得到系统输出跟踪参考输入的图形（如图4-4所示），相应的控制量如图4-5所示，被估计的对象参数变化情况如图4-6所示。图4-4 系统输出 跟踪参考输入 图形26图4-5控制量 图形 图4-6 被估计的对象参数27 当对象参数变化时系统的自适应能力考察： 在其他条件与前面相同的情况下，假定时对象参数发生变化，具体为：系统输出变化如图 4-7 所示，控制量变化如图 4-8 所示，被估计的对象参数变化如图 4-9 所示。图4-7 对象参数变化前后系统输出 图形

13、28图4-8 对象参数变化前后控制量 图形图4-9 实际对象参数变化前后参数被估计的图形29 从图 4-4图 4-9 可知：系统具有良好的跟踪能力，无稳态误差；当对象参数变化时，系统有自适应调节能力，以维持原控制性能不变；被估的对象参数收敛于它的真实值，控制量变化正常。所设计的系统满足控制要求，该控制策略行之有效。 下面就有关参数 和 与动态性能的关系作初步的探讨。 1）性能指标函数中的矩阵 对控制幅度直接起限制作用，而控制幅度的大小影响系统的快速性和超调量，甚至稳定性，但是在设计系统时，不能依靠用 中的元 来稳定系统，而应考虑改变和 来实现。 一般将 中的元 取为同一值。 越大，相应的控制在

14、性能指标中受重视的程度越大， 较小的增加，将引起J大幅增加，为使J为极小，必须让 的幅度减小，从而响应变慢；相反，减小 ，30 的幅度将增加，响应也加快，容易引起超调。 当取 时，其他条件同跟踪能力考察的情况，系统的输出和控制分别如图4-10和图4-11所示，与 时的图4-4和图4-5相比可知：输出有较大超调，控制幅度也增加了不少。图4-10 时的系统输出 图4-11 时的控制量 2）预测长度N应在稳定性和快速性之间选择。由于本系统为最小相位系统，加上开环不稳定，所以N不能选得过小。应选得超31过对象的纯延时，或非最小相位特性引起的反向部分，并覆盖大部分对象动态响应。本例如果选 ，其他条件同跟踪能力考察的情况，系统的输出和控制分别如图4-12和图4-13所示，可见系统不稳定，无法工作。 图4-12 时系统的输出 图4-13 时的控制量 3）控制长度 的选择除了4.3节末尾所述的原则外，还应取对象不稳定的极点和欠阻尼极点之和，对于本例来说，由于32有一个不稳定零点（对被控对象来说是不稳定极点），所以取是合理的。过大的 虽然可增加控制的机动性，但对稳定性和鲁棒性不利，且增加了计算量。33