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1、第十二章第十二章 概率概率1212. .1 1随机事件的概率随机事件的概率知识梳理考点自测1.事件的分类 可能发生也可能不发生知识梳理考点自测2.频率与概率(1)频率的概念:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的,称事件A出现的比例为事件A出现的.(2)随机事件概率的定义:在的条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件A发生的会在某个附近摆动,即随机事件A发生的频率具有稳定性.这时这个叫做随机事件A的概率,记作P(A),有0P(A)1.(3)概率与频率的关系:对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于
2、概率P(A),因此可以用来估计概率P(A).频数频率相同频率常数常数频率fn(A)知识梳理考点自测3.事件的关系与运算 发生一定发生BA(或AB) AB A=B 当且仅当事件A发生或事件B发生AB(或A+B)知识梳理考点自测当且仅当事件A发生且事件B发生AB(或AB)不可能AB=不可能必然事件AB=,且AB= 知识梳理考点自测4.互斥事件与对立事件的关系对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件.5.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围:.(2)必然事件的概率:P(A)=.(3)不可能事件的概率:P(A)=.(4)概率的加法公式:若事件A与事件B互斥,则P(AB)=.(5)对立事
3、件的概率:若事件A与事件B互为对立事件,则AB为必然事件.P(AB)=,P(A)=.0P(A)11 011-P(B)P(A)+P(B)知识梳理考点自测234151.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)事件发生的频率与概率是相同的.()(2)随机事件和随机试验是一回事.()(3)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值.()(4)两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生.()(5)若A,B为互斥事件,则P(A)+P(B)=1.() 答案 答案关闭(1)(2)(3)(4)(5)知识梳理考点自测234152.设甲:A1,A2是互斥事件;乙:A1,A2是对立事件,则 ()A.甲是乙的
4、充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件 答案解析解析关闭互斥事件不一定是对立事件,但对立事件一定是互斥事件. 答案解析关闭B知识梳理考点自测234153.下列说法:频率反映事件发生的频繁程度,概率反映事件发生的可能性大小;做n次随机试验,事件A发生m次,则事件A发生的频率就是事件A发生的概率;百分率是频率,但不是概率;频率是不能脱离n次试验的试验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值;频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.其中正确的是()A.B. C.D. 答案解析解析关闭由概率的相关定义知正确. 答案解析关闭B知识
5、梳理考点自测23415 答案解析解析关闭 答案解析关闭知识梳理考点自测234155.某射手在同一条件下进行射击,结果如下:这个射手射击一次,击中靶心的概率约是. 答案解析解析关闭击中靶心的频率依次为0.8,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91,易知击中靶心的频率在0.90附近摆动,故P(A)0.90. 答案解析关闭0.90考点1考点2考点3例1一枚均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次,设事件A表示向上的一面出现奇数,事件B表示向上的一面出现的数字不超过3,事件C表示向上的一面出现的数字不小于4,则 ()A.A与B是互斥而非对立事件B.
6、A与B是对立事件C.B与C是互斥而非对立事件D.B与C是对立事件 答案解析解析关闭根据互斥事件与对立事件的定义作答,AB=出现点数1或3,事件A,B不互斥更不对立;BC=,BC=(为必然事件),故事件B与C是对立事件. 答案解析关闭D考点1考点2考点3思考如何判断随机事件之间的关系?解题心得解题心得判断随机事件之间的关系有两种方法:(1)紧扣事件的分类,结合互斥事件、对立事件的定义进行分析判断;(2)类比集合进行判断,把所有试验结果写出来,看所求事件包含哪些试验结果,从而断定所给事件的关系.由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则事件互斥;事件A的对立事件所含的结果组成的集合,是全集
7、中由事件A所含的结果组成的集合的补集.考点1考点2考点3对点训练对点训练1从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,则互斥而不对立的事件有.(填序号)至少有一个红球,都是红球;至少有一个红球,都是白球;至少有一个红球,至少有一个白球;恰有一个红球,恰有两个红球. 答案解析解析关闭由互斥事件与对立事件的关系及定义知,不互斥,对立,不互斥,互斥不对立. 答案解析关闭考点1考点2考点3例2某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:考点1考点2考点3(1)记A
8、为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值;(3)求续保人本年度平均保费的估计值.考点1考点2考点3(3)由所给数据得调查的200名续保人的平均保费为0.85a0.30+a0.25+1.25a0.15+1.5a0.15+1.75a0.10+2a0.05=1.1925a.因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a.考点1考点2考点3思考随机事件的频率与概率有怎样的关系?如何求随机事件的概率?解题心得解题心得1.概率是频率的稳定值,它从数量上反映了随机事件发生的可能
9、性的大小,它是频率的科学抽象.当试验次数越来越多时,频率越稳定于概率.2.求解随机事件的概率的常用方法有两种:(1)可用频率来估计概率.(2)利用随机事件A包含的基本事件数除以基本事件总数.计算的方法有:列表法;列举法;树状图法.考点1考点2考点3对点训练对点训练2(2017浙江绍兴模拟)如图所示,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下:考点1考点2考点3(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可
10、能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.考点1考点2考点3解:(1)由已知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人.(2)选择L1的有60人,选择L2的有40人,故由调查结果得频率如下表.考点1考点2考点3(3)A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站.由(2)得P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(A1)P(A2),故甲应选择L1;P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.
11、1+0.4+0.4=0.9,P(B2)P(B1),故乙应选择L2.考点1考点2考点3例3(2017河南洛阳模拟)经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下:求:(1)至多2人排队等候的概率是多少?(2)至少3人排队等候的概率是多少? 答案 答案关闭记“0人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥.(1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=ABC,所以P(G)=P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3
12、=0.56.(2)(方法一)记“至少3人排队等候”为事件H,则H=DEF,所以P(H)=P(DEF)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.(方法二)记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.考点1考点2考点3思考求互斥事件的概率的一般方法有哪些?解题心得解题心得求互斥事件的概率一般有两种方法:(1)公式法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和,运用互斥事件的求和公式计算;(2)间接法:先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1-P()求出所求概率,特别是“至多”“至少”型题目,用间接求法就较简便
13、.考点1考点2考点3对点训练对点训练3某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求:(1)P(A),P(B),P(C);(2)1张奖券的中奖概率;(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率. 答案 答案关闭考点1考点2考点31.对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).2.利用集合方法判断互斥事件与对立事件:(1)若由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则事件互斥;(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.3.若某一事件包含的基本事件较多,而它的对立事件包含的基本事件较少,则可用“正难则反”思想求解.考点1考点2考点31.正确认识互斥事件与对立事件的关系:对立事件是互斥事件,是互斥中的特殊情况,但互斥事件不一定是对立事件.善于将事件转化为互斥事件的和或对立事件求解.2.注意概率加法公式的使用条件,在概率的一般加法公式P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)中,易忽视只有当AB=,即A,B互斥时,P(AB)=P(A)+P(B),此时P(AB)=0.
