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1、返回返回上页上页下页下页目录目录概率论与数理统计*大学理学院数学系伯努利（伯努利（Bernoulli）柯尔莫哥洛夫柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)8/5/20241第1页，共37页。返回返回上页上页下页下页目录目录第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征问题的提出：问题的提出： 在实际应用中，除了需要了解随机变量的分布函数外，在实际应用中，除了需要了解随机变量的分布函数外，我们更关心能够反映随机变量某些特征的指标。我们更关心能够反映随机变量某些特征的指标。考察广州市区居民的家庭收入情况，我们既要知道家庭的年考察广州市区居民的家庭收入情况，我们既要知道家庭的年平均收入，又要研究贫富
2、之间的差异程度。平均收入，又要研究贫富之间的差异程度。例如：例如：在评定某地区粮食产量水平时，最关心的是平均产量在评定某地区粮食产量水平时，最关心的是平均产量在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，又需要在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度。注意纤维长度与平均长度的偏离程度。8/5/20242第2页，共37页。返回返回上页上页下页下页目录目录第一节第一节 数学期望数学期望一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望三、数学期望的性质三、数学期望的性质8/5/2024
3、3第3页，共37页。返回返回上页上页下页下页目录目录一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望 定义：定义：设X是离散型随机变量，其分布律为若级数 收敛， 则称级数 为X的数学期望，记为E(X).即 例：例：设X表示掷一颗均匀的骰子的点数，求E(X). 解：解：因为X的分布律为所以8/5/20244第4页，共37页。返回返回上页上页下页下页目录目录例：例：在一个人数很多的团体中普查某种疾病，在一个人数很多的团体中普查某种疾病，N个人去验血，用两种个人去验血，用两种方法来化验血方法来化验血：（：（1）每个人的血分别化验，须验）每个人的血分别化验，须验N次；（次；（2）把）把k个人的
4、个人的血液混在一起化验，如果是阴性的，则对这血液混在一起化验，如果是阴性的，则对这k个人只需作一次化验，个人只需作一次化验，如果是阳性的，则对该如果是阳性的，则对该k个人再逐个分别化验，此时共需作个人再逐个分别化验，此时共需作k1次化验。次化验。假定对所有人来说，化验是阳性反应的概率都是假定对所有人来说，化验是阳性反应的概率都是p，且这些人的反应是，且这些人的反应是相互独立的。试说明按方法（相互独立的。试说明按方法（2）可减少化验次数，并说明）可减少化验次数，并说明k取何值时取何值时最为适当。最为适当。解：设q=1-p，则k个人的混合血呈阳性的概率为1-qk。对于方法（2），每个人的血需化验的
5、次数X是随机变量，其分布律为：8/5/20245第5页，共37页。返回返回上页上页下页下页目录目录关于最佳k的选择：例：例：在一个人数很多的团体中普查某种疾病，在一个人数很多的团体中普查某种疾病，N个人去验血，用两种方个人去验血，用两种方法来化验血法来化验血：（：（1）每个人的血分别化验，须验）每个人的血分别化验，须验N次；（次；（2）把）把k个人个人的血液混在一起化验，如果是阴性的，则对这的血液混在一起化验，如果是阴性的，则对这k个人只需作一次化验，个人只需作一次化验，如果是阳性的，则对该如果是阳性的，则对该k个人再逐个分别化验，此时共需作个人再逐个分别化验，此时共需作k1次化验。次化验。假
6、定对所有人来说，化验是阳性反应的概率都是假定对所有人来说，化验是阳性反应的概率都是p，且这些人的反应是相互，且这些人的反应是相互独立的。试说明按方法（独立的。试说明按方法（2）可减少化验次数，并说明）可减少化验次数，并说明k取何值时最为适当。取何值时最为适当。8/5/20246第6页，共37页。返回返回上页上页下页下页目录目录几种常见的离散型随机变量的数学期望几种常见的离散型随机变量的数学期望1. 0-1分布的数学期望E(X) =p.2. 二项分布的数学期望E(X) =np.8/5/20247第7页，共37页。返回返回上页上页下页下页目录目录8/5/20248第8页，共37页。返回返回上页上页
7、下页下页目录目录3. 泊松分布的数学期望4. 几何分布的数学期望8/5/20249第9页，共37页。返回返回上页上页下页下页目录目录一维离散型随机变量函数的数学期望一维离散型随机变量函数的数学期望 定义：定义：设X是离散型随机变量，其分布律为若级数 绝对收敛，则有对任一实值函数g(), 例：例：设X表示掷一颗均匀的骰子的点数，求E(X2). 解：解：8/5/202410第10页，共37页。返回返回上页上页下页下页目录目录 例：例：由自动线加工的某种零件的内径由自动线加工的某种零件的内径X (毫米毫米)服从正态分布服从正态分布N(,1),内径小于内径小于10或大于或大于12的零件为不合格品，其余
8、为合格品，销售每件的零件为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，设销售利润合格品获利，销售每件不合格品亏损，设销售利润L(元元)与零件的内与零件的内径的关系为径的关系为问平均内径问平均内径取何值时，销售一个零件的平均利润最大取何值时，销售一个零件的平均利润最大? 解：解：因为因为X (,1)，所以所以从而从而8/5/202411第11页，共37页。返回返回上页上页下页下页目录目录由销售利润L和X 的关系得因为8/5/202412第12页，共37页。返回返回上页上页下页下页目录目录E(L)取最大值。所以即故当 时，销售一个零件的平均利润最大 8/5/202413第13
9、页，共37页。返回返回上页上页下页下页目录目录 定义：定义：设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为若级数 绝对收敛，则有二维离散型随机变量函数的数学期望二维离散型随机变量函数的数学期望8/5/202414第14页，共37页。返回返回上页上页下页下页目录目录 例：例：设(X,Y)的分布律为求E (XY). 解：解：8/5/202415第15页，共37页。返回返回上页上页下页下页目录目录二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望 定义：定义：设X是连续型随机变量，其概率密度为f (x).若积分 绝对收敛， 则称级数 为X的数学期望，记为E(X).即 例：例：设X的概率密度为 解
10、：解：求E(X).8/5/202416第16页，共37页。返回返回上页上页下页下页目录目录 例：例：设X的概率密度为 解：解：求E(X).8/5/202417第17页，共37页。返回返回上页上页下页下页目录目录例：例： 设随机变量X的密度函数为：已知E(X)=2，试求a，b的值。所以：a=1/4, b=18/5/202418第18页，共37页。返回返回上页上页下页下页目录目录几种常见的连续型随机变量的数学期望几种常见的连续型随机变量的数学期望1. 均匀分布的数学期望2. 指数分布的数学期望8/5/202419第19页，共37页。返回返回上页上页下页下页目录目录3. 正态分布的数学期望8/5/2
11、02420第20页，共37页。返回返回上页上页下页下页目录目录一维连续型随机变量函数的数学期望一维连续型随机变量函数的数学期望 定义：定义：设X是连续型随机变量，其概率密度为f (x).则有 例：例：设一根长度为1的木棍被在(0，1)上服从均匀分布的点X所截，求包含点p的那段木棍的期望长度，其中0 p 1. 解：解： X的概率密度为若积分 绝对收敛，8/5/202421第21页，共37页。返回返回上页上页下页下页目录目录令L(X)表示包含点p的那段木棍的长度，则有于是即当p=0.5时，期望长度EL (X)最大.8/5/202422第22页，共37页。返回返回上页上页下页下页目录目录例：例： 设
12、随机变量XN(0,1)，求E(X2), E(X3), E(X4).解：解：8/5/202423第23页，共37页。返回返回上页上页下页下页目录目录 例：例： 设长途汽车起点站于每时的10分、30分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客的平均候车时间。解：解：设乘客于每时X分到达车站,候车时间为Y,则于是=10分25秒8/5/202424第24页，共37页。返回返回上页上页下页下页目录目录 定义：定义：设连续型随机变量(X,Y) 的概率密度为f (x,y).二维连续型随机变量函数的数学期望二维连续型随机变量函数的数学期望若积分 绝对收敛，则有8/5/20242
13、5第25页，共37页。返回返回上页上页下页下页目录目录 解：解： 例：例：设(X,Y) 的概率密度为求E(Y), E(XY).8/5/202426第26页，共37页。返回返回上页上页下页下页目录目录 解：解： 例：例：设(X,Y) 的概率密度为求E(Y), E(1/XY).X=18/5/202427第27页，共37页。返回返回上页上页下页下页目录目录X=18/5/202428第28页，共37页。返回返回上页上页下页下页目录目录 例：例：设(X,Y) 的概率密度为求E(X-Y), E(XY). 解：解：8/5/202429第29页，共37页。返回返回上页上页下页下页目录目录三、数学期望的性质三、
14、数学期望的性质1. E(C)=C, C为常数;证明:2. E(CX)=CE(X), C为常数;3. 设X和Y是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y).证明:8/5/202430第30页，共37页。返回返回上页上页下页下页目录目录4. 设X和Y是两个相互独立的随机变量，则有E(XY)=E(X)E(Y)证明:8/5/202431第31页，共37页。返回返回上页上页下页下页目录目录例：设XB(n, p)，求E(X).解：设其中因此，每个 服从0-1分布，且有于是8/5/202432第32页，共37页。返回返回上页上页下页下页目录目录 例：设N个人将他们的帽子抛向屋子的中央，将帽子充分混合
15、后，每人随机地从中取出一顶，求刚好拿到自己帽子的人数的数学期望解：设X表示帽子和人刚好配对的人数，则有其中因此，每个 服从0-1分布，且有于是8/5/202433第33页，共37页。返回返回上页上页下页下页目录目录 例：例：一民航送客车载有一民航送客车载有2020位旅客自机场出发，旅客有位旅客自机场出发，旅客有1010个车站个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以X表示停车的表示停车的次数，求次数，求E(X).( (设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立下车相
16、互独立) )解：解：令从而 本题是将本题是将X分解成数个随机变量之和，然后利用随机变量和的分解成数个随机变量之和，然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望，这种处理方数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望，这种处理方法具有一定的普遍意义。法具有一定的普遍意义。8/5/202434第34页，共37页。返回返回上页上页下页下页目录目录概率密度分别为例：设X和Y是两个相互独立的随机变量，且它们的求E(XY).解：因为X和Y相互独立，所以8/5/202435第35页，共37页。返回返回上页上页下页下页目录目录内容小结内容小结8/5/202436第36页，共37页。返回返回上页上页下页下页目录目录习题习题A8/5/202437第37页，共37页。
