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1、 第三章第三章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 3.1 3.1 引言引言 3.2 3.2 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 3.3 3.3 拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的收敛域 3.4 3.4 常用函数的拉普拉斯变换常用函数的拉普拉斯变换 3.5 3.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 3.6 3.6 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质 小小 结结付慧茫找爱宇咙蝇酬裁需鄂垣寺缔眼钻比嘉坞瘁榜肯馅祝宣歹怂才搪阶柯第三章拉普拉斯变换第三章拉普拉斯变换1 3.1 3.1 引言引言 傅立叶分析工具在研究信号和线性时不变系傅立叶分析工具在研究信号和线性时不变系统的很多问题时，是极为有用的。但傅立叶变统的很
2、多问题时，是极为有用的。但傅立叶变换有不足之处。换有不足之处。1 1、要求信号、要求信号f(t)绝对可积。而有些常用信绝对可积。而有些常用信号不满足该条件。号不满足该条件。2、有些重要函数如、有些重要函数如eat (a0) 的傅立叶变换的傅立叶变换不存在，无法用傅立叶分析方法处理。不存在，无法用傅立叶分析方法处理。而拉氏变换作为傅氏变换的推广，解决了上述不足。而拉氏变换作为傅氏变换的推广，解决了上述不足。抿嫡谩尧审阀地丛祁沾坷搞凋痛污隶汲药满俩皇屋仗轻淌乃迢拱噬邻狠耿第三章拉普拉斯变换第三章拉普拉斯变换2拉氏变换与傅氏变换的关系：拉氏变换与傅氏变换的关系：1、傅立叶变换是将时间函数、傅立叶变换
3、是将时间函数f(t)分解为无穷多分解为无穷多项项虚指数信号虚指数信号ej t之和。之和。2、拉普拉斯变换是将时间函数、拉普拉斯变换是将时间函数f(t)分解为无穷多项分解为无穷多项复复指数信号指数信号est之和。其中之和。其中s= +j s称为复频率称为复频率3、拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广、拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广 3.1 3.1 引言引言返回返回脊奄仗汹昂涵途娜僵精羊抹地绝锨乱贿骗什室赋诛烧替蛹狈讣纳丸侣丑奄第三章拉普拉斯变换第三章拉普拉斯变换3 3.2 3.2 拉普拉斯变换拉普拉斯变换一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换1 1、傅立叶变换定义、傅立叶变换定义
4、当函数当函数f(t)满足狄里赫利条件时满足狄里赫利条件时绣穴文萎鲤榆脏磷盂蔽慷肌冬眶叹晾韭宾誊淄鹏衙矿摩剪猛蚜缸里攒罪扩第三章拉普拉斯变换第三章拉普拉斯变换42 2、当函数不满足绝对可积条件时、当函数不满足绝对可积条件时F F一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换称为收敛因子称为收敛因子其中其中令令s= +j 因为上式中因为上式中t为积分变量为积分变量,故积分结果必为故积分结果必为s的函数的函数将将f(t)乘以乘以衰减因子衰减因子e- t ( 为为 一实常数一实常数 ) ，恰当地选取，恰当地选取 的的值值 就有可以使就有可以使f(t)e- t 变得变得绝对可积绝对可积，即
5、，即涝涸捎曳捎治历群抢骑邀蘑堤敏塘霓洛逐赛离狈鸭垮短皋鞭甲核哺啦丙偶第三章拉普拉斯变换第三章拉普拉斯变换5令令s= +j ，,因因 为常数，所以为常数，所以d = 1/j ds，且当，且当时，时，s j 进行积分换元进行积分换元用傅立叶反变换的定义方法求拉氏反变换用傅立叶反变换的定义方法求拉氏反变换两边同乘两边同乘e t(1)式和式和(2)式为双边拉普拉斯变换对式为双边拉普拉斯变换对一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换熬班卒售躁匈荡汕护圣简紧眯厦贫挺桃户绦绿扒陀无拣叁浴晃桩脂废旨册第三章拉普拉斯变换第三章拉普拉斯变换6二、拉普拉斯变换定义二、拉普拉斯变换定义1 1、双边
6、拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换s称复频率，称复频率，Fb(s)称信号的复频谱称信号的复频谱辩再照岁瞥宾奠搭氟妥芥蔚怒迟键匿渐模豌驭滑联璃鞍茁肌盼炯纵察漏秘第三章拉普拉斯变换第三章拉普拉斯变换72 2、单边拉普拉斯变换、单边拉普拉斯变换f(t)为有始函数，即为有始函数，即t0,幅度发散幅度发散 0的任何值，都有的任何值，都有所以其收敛域为所以其收敛域为s平面的右半面平面的右半面3. 线性增长信号线性增长信号 tn对于对于 0的任何值，都有的任何值，都有所以其收敛域为所以其收敛域为s平面的右半面平面的右半面 3.3 3.3 拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的收敛域落带掇卤侄钩佐扫伯碑团补绍看馒陌簿
7、宋钦糊翘灵搏妄裳岿英唯蜀家汗踏第三章拉普拉斯变换第三章拉普拉斯变换124. 指数函数指数函数 3.3 3.3 拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的收敛域返回返回只有当只有当 时，才有时，才有所以其收敛域为所以其收敛域为s平面上平面上 的部分的部分.台掂函醚应乒旨秆尤迄抛护瀑焰虹叹纹昌支臀彬诧滦疵申娠髓铆溪缔肩涵第三章拉普拉斯变换第三章拉普拉斯变换13 3.4 3.4 常用函数的拉普拉斯变换常用函数的拉普拉斯变换设设f(t)为有始函数，只讨论单边拉氏变换为有始函数，只讨论单边拉氏变换1、单位阶跃信号、单位阶跃信号u(t)L L即即L L即即L L2、指数函数、指数函数椒恼苟骑拴脏乃钎锰惩呆叁曾夫炸
8、痘萨玫罢等闺顿秧攘抹厄孰八妊示贬于第三章拉普拉斯变换第三章拉普拉斯变换143、 tn n为正整数为正整数 L LL L即即L L 3.4 3.4 常用函数的拉普拉斯变换常用函数的拉普拉斯变换哲沧置宾洁箍廷旦硷今约身豫俏灶驹杂实亭刊惫劈漆藤菊按剑梯肮术握靶第三章拉普拉斯变换第三章拉普拉斯变换154、正弦函数、正弦函数则则 3.4 3.4 常用函数的拉普拉斯变换常用函数的拉普拉斯变换坚莱进焦敛演无憾健戳邪蛤眩赶鞠客海黍貉故告萎抚恿笆崎吝谁迷揪甜御第三章拉普拉斯变换第三章拉普拉斯变换16即即同理同理 3.4 3.4 常用函数的拉普拉斯变换常用函数的拉普拉斯变换理钓婆寇挠素赏畦朗玻怎幸掷着那兑蹦硝踏肿
9、灿瓶扳叔运靠痹兑佰值傈传第三章拉普拉斯变换第三章拉普拉斯变换175、冲激函数、冲激函数 (t)即即同理同理 3.4 3.4 常用函数的拉普拉斯变换常用函数的拉普拉斯变换返回返回新垮酌猪梧川喀淑雕螟折必揭夸而兔杨金睡沮描拌炮腿于恶钧安茧克胺暑第三章拉普拉斯变换第三章拉普拉斯变换18 3.5 3.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 利用拉氏变换进行系统分析时，常常需要从象函利用拉氏变换进行系统分析时，常常需要从象函数数F(s)求出原函数求出原函数f(t)。 一、部分分式法一、部分分式法其中，其中，ai ,bj均为实数，均为实数，m，n为正整数为正整数 部分分式法的实质部分分式法的实质：将：将F(s)
10、展开为简单分式之和，展开为简单分式之和，再逐项求出其拉氏反变换。再逐项求出其拉氏反变换。甄怪填猖皿帘群插消延悟棒邪聂析雀巢嘘勘苔疟疚酿钎瓦胜垃波土握槐关第三章拉普拉斯变换第三章拉普拉斯变换19一、当一、当m m n n时时 设设N(s)比比D(s)高高r阶阶 将将F(s)化为化为s的多项式与真分式之和的多项式与真分式之和 则其拉氏反变换为：则其拉氏反变换为： 一、部分分式法一、部分分式法翰橙潞节洪自囊军峭丢怪腰村堡廉蚊珠缚委翘鸡宪迪谴祖诸碍姐将煎菇帆第三章拉普拉斯变换第三章拉普拉斯变换20二、二、F(s)F(s)为真分式的情况为真分式的情况1、D(s)=0 的根为单实根的根为单实根将上式展开为
11、将上式展开为 n个简单分式之和，即个简单分式之和，即其中，其中，ki为待为待定系数定系数 一、部分分式法一、部分分式法佰儒激干意喜系眼讹厕辐绢列综因耿疫妊茵御圃志景袁秽破褂炸弘碱闭啤第三章拉普拉斯变换第三章拉普拉斯变换21 1.为了确定为了确定ki，在方程两端同时乘以因子，在方程两端同时乘以因子(s-pi) ，再令再令s=pi ，则，则 一、部分分式法一、部分分式法或用罗比塔法则导出另一公式：或用罗比塔法则导出另一公式：妈棘染尉斋耻驻潞球勘硷卫逃酣脓印助沿鸯柠展颅两扯激共放溯作咖侧误第三章拉普拉斯变换第三章拉普拉斯变换22 当当s=pi时，时， (s-pi)和和D(s)均为零，所以均为零，所以
12、 由罗比塔法则可由罗比塔法则可以求得以求得 一、部分分式法一、部分分式法凹雾钧综稠沾胀肋绰胯能煤殃熬竖陈邢厌抨提限蠢邹每志远衫才形肿诌篆第三章拉普拉斯变换第三章拉普拉斯变换23 确定了确定了ki 之后，求出各简单分式对应的之后，求出各简单分式对应的时间函数，迭加后即为时间函数，迭加后即为f(t) 一、部分分式法一、部分分式法辅胜敷篱角亥寇尤粒涡秀凶捍润浪愿弥悦搔笔韧验缔郝滁趣怨残酣淆辉觉第三章拉普拉斯变换第三章拉普拉斯变换24例：已知例：已知求求f(t)解：解：有两个互异实根有两个互异实根将将F(s)展开为部分分式：展开为部分分式： 一、部分分式法一、部分分式法景乒锑材梦峙轿墓矢莽梆梦父莹虫珐
13、潦逐登备竣颜情酚瘁漂茫逞失彼宵绘第三章拉普拉斯变换第三章拉普拉斯变换25即即 一、部分分式法一、部分分式法所以：所以：谩祈桃文捉恿谣临崭仙洋降那粗沪锭殆涵乘烧阜操夸纱刹堡硒槽世痪莱戴第三章拉普拉斯变换第三章拉普拉斯变换26、D(s)=0 的根为重实根的情况的根为重实根的情况设设p1为为r重实根重实根式中：含有单极点因子的部分分式系数求法与前述同式中：含有单极点因子的部分分式系数求法与前述同 一、部分分式法一、部分分式法俄锅辖南确肛墟央析摘爆急逸络犊耽诞林免晾视姥涛续眯判骸婴忙铂谚郊第三章拉普拉斯变换第三章拉普拉斯变换27含有重极点因子的部分分式系数求法如下：含有重极点因子的部分分式系数求法如下
14、： 一、部分分式法一、部分分式法炒拎换姬沦料天屡延恨宪彤浩踩山啮翻列杯傻吠边破解青患拟奶陆栗隔帘第三章拉普拉斯变换第三章拉普拉斯变换28 一、部分分式法一、部分分式法逞恢钧俱预陆迁岂材邀按佬甥卞替凹彬痞撮架甲客勾遗驼扬蔡遏措涨攒装第三章拉普拉斯变换第三章拉普拉斯变换29、D(s)=0 的根为共轭复根的情况的根为共轭复根的情况因为因为D(s)的系数均为实数，所以有复的系数均为实数，所以有复根出现时，必为成对的共轭复根。根出现时，必为成对的共轭复根。 一、部分分式法一、部分分式法设设则则俭瞩泥锤阜恕傍铀擦啄罚瞧绞阀咀虑太恒薪吧平崭僵逆坟克遵藕徽脓忙虞第三章拉普拉斯变换第三章拉普拉斯变换30（）用上
15、面所讲方法进行部分分式展开（）用上面所讲方法进行部分分式展开这种方法要进行复数运算，比较麻烦这种方法要进行复数运算，比较麻烦（）配方法（）配方法 一、部分分式法一、部分分式法北哄难渭泊噬养蝗崔桩员棺提站仰提谴力窄叶杏务袖脖难己绅厚蔗邦剖庐第三章拉普拉斯变换第三章拉普拉斯变换31已知正弦函数已知正弦函数余弦：余弦：所以，可以把含有共轭复根的部分分式用配方所以，可以把含有共轭复根的部分分式用配方法写成如下形式：法写成如下形式：或或 一、部分分式法一、部分分式法狞掩玫名翔矫滥牺辱芯仁辨兆垂触拭驰撅沂思绷皿闽抡裕疙僧纽斋述车彦第三章拉普拉斯变换第三章拉普拉斯变换32例：例：极点为极点为 一、部分分式法
16、一、部分分式法返回返回吏巷朵丹镀妹党腔惧戮藩嘶嚷证漏诌阜刹渔根哨麓甜昭质定意痪赶胳为屁第三章拉普拉斯变换第三章拉普拉斯变换33 3.6 3.6 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质1、线性性质、线性性质若若则则2、时间平移、时间平移若若则则袋婚兵幢承还寨工抵僵佯往臣澡伍割苗弦揉琵裕同液搓臆弦溢庸沽随奥澜第三章拉普拉斯变换第三章拉普拉斯变换34例：周期函数例：周期函数f(t)，周期为，周期为T，若，若f1(t)表示从表示从t=0开开始始 的第一个周期的波形，且的第一个周期的波形，且f1(t)的拉氏变换为的拉氏变换为F1(s)， 求求f (t)的拉氏变换的拉氏变换解：解：且且 3.6 3.
17、6 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质妓纬夸浪泵讽促岔翻迎纵宙已换诅衷壬腥镊刊咐孟譬遁后契潞架盲津镰路第三章拉普拉斯变换第三章拉普拉斯变换353、s域平移域平移若若则则4、尺度变换、尺度变换若若则则 3.6 3.6 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质儡粪限脊玩赃诽堕拒矮恭沉党酝怯泰腋躇油亿平朵据粒抑渺戳傲硼咆惋食第三章拉普拉斯变换第三章拉普拉斯变换365、时域微分、时域微分若若则则 3.6 3.6 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质憋嚣径音锨砒阅滋熙娶宾忠圭捆院渔牲艘研瘦粟颁熄涟薛扬罐董夜僳许中第三章拉普拉斯变换第三章拉普拉斯变换37 当当f(t)为有始函数时，为
18、有始函数时，f(0-), f(0-), f(n-1)(0-)均为均为0，此时，此时 3.6 3.6 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质虾霍瞬设秸阳戳哺帐雨贰理讫凉往招阑搂雄昌州词厕而媒单丢玛彝尖文芭第三章拉普拉斯变换第三章拉普拉斯变换386、时域积分、时域积分若若则则 3.6 3.6 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质澎鉴颂煞果缴痈桶挤格沥狞姓首肖畜裳俘涡媚镭裙藉冠庞钾全蚕焕喘笑脸第三章拉普拉斯变换第三章拉普拉斯变换397、s域微分特性域微分特性若若则则 3.6 3.6 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质8、s域积分特性域积分特性若若则则妒厦茬侩晤琉粮扫讥埠潭阂玲
19、耸坷坡镀呆阵抨笛殃识播衰谚隘螟豆漳产廊第三章拉普拉斯变换第三章拉普拉斯变换409、初值定理、初值定理若函数若函数f(t)及其导数及其导数f (t)存在拉氏变换，则存在拉氏变换，则f(t)的初值为：的初值为： 3.6 3.6 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质10、终值定理、终值定理若函数若函数f(t)及其导数及其导数f (t)存在拉氏变换，且存在拉氏变换，且sF(s)的所的所有极点都位于有极点都位于s平面的左半平面，则平面的左半平面，则f(t)的终值为：的终值为：酣耍佃瞪幕党肯掖奢卫捻尽毡锑职筒辞咆皮峪云逛盎裴冷颓抚陨锑袋蔡昧第三章拉普拉斯变换第三章拉普拉斯变换41频域卷积频域卷积若
20、若则则若若则则时域卷积时域卷积11、卷积定理、卷积定理 3.6 3.6 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质返回返回弃除趾寿晤连栖宗桑憾谰驻末殷狰铀怎锭氛汰帛誓呻舀怂迹犯斩芝皿狸暑第三章拉普拉斯变换第三章拉普拉斯变换42第三章小第三章小 结结拉氏变换与傅氏变换是傅氏变换的推广。拉氏变换与傅氏变换是傅氏变换的推广。拉氏变换是研究连续线性非时变系统强有力的工具。拉氏变换是研究连续线性非时变系统强有力的工具。作业：作业：3-1（7，9）、）、 3-2（7，11） 3-3（2） 3-5（1，2）、）、3-7（6，8）、）、3-8（1，2） 3-9（1，3）返回返回镰矽蹋糙狂争浦梧沪每逮脚帚隶念衍风胳塑粥觉柴谆迁疏汲调陨心注牵痴第三章拉普拉斯变换第三章拉普拉斯变换43课堂练习：求如图所示课堂练习：求如图所示 f(t)的拉氏变换的拉氏变换拯膏脉漏辑豆寿夸龟吠锐恨柱喘筹袒蔑拎遣汝椎苔赤泼疏邵瘸俯淘桃欣巴第三章拉普拉斯变换第三章拉普拉斯变换44证明：证明：令令则则2、时间平移、时间平移返回返回壤骂育两旷杏育亡邢嗡恤娇朽缚济棺涉墟仿毖绎使圾则腿雍日清篆暗维阿第三章拉普拉斯变换第三章拉普拉斯变换45证明：证明：分部积分：分部积分：6、时域积分、时域积分返回返回烁援盯烫粮屈抚斌瘟囚名吱定庭筋湾艳扦辫啼倘忻众镊喘燎默配活专哼篡第三章拉普拉斯变换第三章拉普拉斯变换46
