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1、自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型系系统统的的数数学学模模型型是是描描述述系系统统输输入入、输输出出变变量量以以及及内内部部各各个个变变量量之之间间关关系系的的数数学学表表达达式。式。 描描述述各各变变量量动动态态关关系系的的表表达达式式称称为为动动态态数数学模型。学模型。常用的数学模型为微分方程。常用的数学模型为微分方程。 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型建建立立系系统统数数学学模模型型的的方方法法，一一般般采采用用解解析法析法和和实验法实验法 。所所谓谓解

2、解析析法法，即即依依据据系系统统及及元元部部件件各各变变量量之之间间所所遵遵循循的的物物理理、化化学学定定律律列列写写出出变变量量间间的的数数学学表表达达式式，并并经经实实验验验验证证，从从而而建建立系统的数学模型。立系统的数学模型。 实实验验法法是是对对系系统统或或元元件件输输入入一一定定形形式式的的信信号号（阶阶跃跃信信号号、单单位位脉脉冲冲信信号号、正正弦弦信信号号等等），根根据据系系统统或或元元件件的的输输出出响响应应，经经过过数据处理而辨识出系统的数学模型。数据处理而辨识出系统的数学模型。自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型微分方程微分方程传递

3、函数传递函数频率特性频率特性自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型控制系统微分方程的建立控制系统微分方程的建立 首首先先必必须须了了解解系系统统的的组组成成、工工作作原原理理，然然后后根根据据支支配配各各组组成成元元件件的的物物理理定定律律，列列写写整整个个系系统统输输入入变变量量与与输输出出变变量量之之间间的的动动态关系式，即微分方程。态关系式，即微分方程。列写微分方程的一般步骤：列写微分方程的一般步骤：分分析析系系统统和和各各个个元元件件的的工工作作原原理理，找找出出各各物物理理量量（变变量量）之之间间的的关关系系，确确定定系系统统和和各各元件的输入、

4、输出变量。元件的输入、输出变量。自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型从从输输入入端端开开始始，按按照照信信号号的的传传递递顺顺序序，根根据据各各变变量量所所遵遵循循的的物物理理（或或化化学学）定定律律，列列写写动动态态关关系系式式，一一般般为为一一个个微微分分方程组。方程组。对对已已建建立立的的原原始始方方程程进进行行处处理理，忽忽略略次次要要因因素素，简简化化原原始始方方程程，如如对对原原始始方方程进行线性化等。程进行线性化等。消消除除中中间间变变量量，写写出出关关于于输输入入、输输出出变变量量之之间间关关系系的的数数学学表表达达式式，即即微微分分方方

5、程。程。自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型根据电路理论中的基尔霍夫定理，建立根据电路理论中的基尔霍夫定理，建立RC无源网络的微分方程。无源网络的微分方程。输入量为电压输入量为电压ur(t),输出量为电压输出量为电压uc(t)i( (t) )为流经电阻为流经电阻R和电容和电容C的电流，消去中的电流，消去中间变量间变量i( (t) )，可得可得自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型令令RC=T，则上式又可写为则上式又可写为式中：式中：T称为无源网络的时间常数称为无源网络的时间常数,单位为秒单位为秒(s)一般情况下把输出

6、变量写在等式的左边一般情况下把输出变量写在等式的左边, ,输输入变量写在等式的右边。入变量写在等式的右边。自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.1 拉氏变换拉氏变换拉拉普普拉拉斯斯变变换换简简称称为为拉拉氏氏变变换换，它它是是一一种种函函数数之之间间的的积积分分变变换换。拉拉氏氏变变换换是是研研究究控控制制系系统统的的一一个个重重要要数数学学工工具具,它它可可以以把把时时域域中中的的微微分分方方程程变变换换成成复复域域中中的的代代数数方方程程，从从而而使使微微分分方方程程的的求求解解大大为为简简化化。同同时时还还引引出出了了传传递函数、频率特性等概念。

7、递函数、频率特性等概念。自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型用拉氏变换解微分方程示意图用拉氏变换解微分方程示意图自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型一、一、 拉氏变换的定义和存在定理拉氏变换的定义和存在定理1. 定义定义设函数设函数f(t)在在t0时有定义，如果线性积分时有定义，如果线性积分 存在，则由此积分所确定的函数可写为存在，则由此积分所确定的函数可写为自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型F(s)称为称为f(t)的象函数，而的象函数，而f(t)称为称为F(s)的原函的原

8、函数，由象函数求原函数的运算称为拉氏反变数，由象函数求原函数的运算称为拉氏反变换，记作换，记作 称其为函数称其为函数 f(t)的拉普拉斯变换，并记作的拉普拉斯变换，并记作自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2. 拉普拉斯变换的存在定理拉普拉斯变换的存在定理若函数若函数f(t)满足下列条件：满足下列条件：在在t0的任一区间上分段连续。的任一区间上分段连续。在在t充充分分大大后后满满足足不不等等式式|f(t)|Mect，其其中中M、c都是实常数。则都是实常数。则f(t)的拉氏变换的拉氏变换在在平平面面上上Re(s)c一一定定存存在在，此此时时右右端端的的积积

9、分分绝绝对对而而且且一一定定收收敛敛，并并且且在在这这半半平平面面内内F(s)为解析函数。为解析函数。自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型二、几种典型函数的拉氏变换二、几种典型函数的拉氏变换1. .单位阶跃函数单位阶跃函数1(t)数学表达式为数学表达式为其拉氏变换为其拉氏变换为 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2. .单位斜坡函数单位斜坡函数数学表达式为数学表达式为 其拉氏变换为其拉氏变换为 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型3.等加速函数等加速函数数学表达式为数学表达

10、式为 其拉氏变换为其拉氏变换为 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型4.指数函数指数函数e-at数学表达式为数学表达式为 其拉氏变换为其拉氏变换为 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型5. .正弦函数正弦函数sin t 正弦函数定义为正弦函数定义为其拉氏变换为其拉氏变换为 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型6. 单位脉冲函数单位脉冲函数( 函数函数) 函数函数的表达式为的表达式为其拉氏变换为其拉氏变换为 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数

11、学模型三、拉氏变换的基本法则三、拉氏变换的基本法则1.1.线性法则线性法则 设设F1=L L f1(t)，F2=L L f2(t)，a和和b为为常数，则有常数，则有自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.2.微分法则微分法则 设设F=L L f (t)，则有则有式式中中：f(0), f (0), , ,f (n-1)(0)为为f(t)及及其其各各阶阶导数在导数在t=0处的值。处的值。自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型3.积分法则积分法则 设设F(s)=L L f(t) ，f(0)=0 ，则有则有自动控制原理自动控

12、制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型4. 终值定理终值定理若若F(s)=L L f(t)，且且当当t时时，f(t)存存在在一一个个确定的值，则其终值确定的值，则其终值 该式为求系统的稳态误差（即该式为求系统的稳态误差（即t ）提供了提供了方便。方便。 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型5. 位移定理位移定理设设F(s)= L L f(t)，则有则有及及分分别别称称为为时时域域中中的的位位移移定定理理和和复复域域中中的的位移定理。位移定理。自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型四、拉氏反变换四、

13、拉氏反变换 拉氏反变换的定义如下拉氏反变换的定义如下 一一般般由由F(s)求求f(t)，常常用用部部分分分分式式法法。首首先先将将F(s)分分解解成成一一些些简简单单的的有有理理分分式式函函数数之之和和，然然后后由由拉拉氏氏变变换换表表一一一一查查出出对对应应的反变换函数，即得所求的原函数的反变换函数，即得所求的原函数f(t)。 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型F(s)通通常常是是s的的有有理理分分式式函函数数，即即分分母母多多项项式式的的阶阶次次高高于于分分子子多多项项式式的的阶阶次次，F(s)的的一一般式为般式为式中式中a1、a2、an及及b1、

14、b2、bm为实为实数，数，m、n为正数，且为正数，且mn。如果如果F(s)可分解成下列分量可分解成下列分量自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型并且并且F1(s)、F2(s)、Fn(s)的拉氏反变换的拉氏反变换可以很容易地求出，则可以很容易地求出，则自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型例例2.1 求求 的拉氏反变换的拉氏反变换。解：解：进行反变换得进行反变换得自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型五、用拉氏变换求解微分方程五、用拉氏变换求解微分方程用拉普拉斯方法求在给定初始条件下

15、微分用拉普拉斯方法求在给定初始条件下微分方程的步骤如下：方程的步骤如下：对微分方程两端进行拉氏变换，将微分对微分方程两端进行拉氏变换，将微分方程变为以象函数为变量的代数方程，方方程变为以象函数为变量的代数方程，方程中初始条件是程中初始条件是t=0-时的值。时的值。解代数方程，求出象函数的表达式。解代数方程，求出象函数的表达式。用用部部分分分分式式法法进进行行反反变变换换，求求得得微微分分方程的解。方程的解。自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型例例 用拉氏变换求解微分方程用拉氏变换求解微分方程。解：解：对微分方程两端进行拉氏变换对微分方程两端进行拉氏变换代

16、入初始条件，求出象函数代入初始条件，求出象函数X(s)的表达式的表达式自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型将将X(s)展成部分分式，利用拉氏变换对照展成部分分式，利用拉氏变换对照表，求出表，求出x(t)。自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.2 传递函数传递函数 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型一、传递函数的概念及定义一、传递函数的概念及定义无源无源RC网络的微分网络的微分方程为方程为设初始值设初始值uc(0)=0，对上式取拉氏变换对上式取拉氏变换,得得 自动控制原理自

17、动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型令令则则传递函数传递函数自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型传递函数的定义：传递函数的定义： 线线性性定定常常系系统统在在零零初初始始条条件件下下，输输出出信信号号的的拉拉氏氏变变换换与与输输入入信信号号的的拉拉氏氏变变换换之之比称为系统比称为系统(或元部件或元部件)的传递函数。的传递函数。 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型设线性定常系统的微分方程一般式为设线性定常系统的微分方程一般式为 式中式中c(t)为系统的输出量，为系统的输出量，r(t)为系统

18、的输为系统的输入量，入量，a0, a1,an 及及b0 , b1, , bm 均为系均为系统结构参数决定的常数。统结构参数决定的常数。自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型设所有初始条件均为零的条件下，对上式设所有初始条件均为零的条件下，对上式两端进行拉氏变换，得两端进行拉氏变换，得 按照定义得系统的传递函数按照定义得系统的传递函数 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型二、对传递函数的说明二、对传递函数的说明 1. 传传递递函函数数是是复复域域(s域域)中中的的一一个个表表达达式式，它它通通过过系系统统结结构构参参数

19、数使使线线性性定定常常系系统统的的输输出出和和输输入入建建立立联联系系，而而与与输输入入形形式式无无关关。只适用于线性定常系统。只适用于线性定常系统。 2. 传递函数分母多项式阶次总是大于或等于传递函数分母多项式阶次总是大于或等于分子多项式的阶次，即分子多项式的阶次，即nm，这是由于系统这是由于系统中含有较多的储能元件及受能源的限制所造中含有较多的储能元件及受能源的限制所造成的。分母多项式的最高阶次为成的。分母多项式的最高阶次为n，称该系称该系统为统为n阶系统。如阶系统。如n1、2，称为一、二阶系称为一、二阶系统。统。自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型

20、3. 传传通通函函数数只只描描述述系系统统输输入入- -输输出出之之间间的的关关系系，但但不不反反映映系系统统内内部部结结构构的的任任何何信信息息。因因此此，不不同同的的物物理理系系统统完完全全可可能能有有相相同同形形式式的的传传递递函函数数，这这就就给给数数学学模模拟拟创创造造了了条条件。件。 4. 同同一一系系统统不不同同观观测测点点的的输输出出信信号号对对不不同同作作用用点点的的输输入入信信号号之之间间的的传传递递函函数数的的形形式式具具有有相相同同的的分分母母，所所不不同同的的只只是是分分子子。把把分母多项式称为分母多项式称为特征式特征式，记为，记为D(s) 。自动控制原理自动控制原理

21、 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型5. 传递函数与微分方程具有相通性。传递函数与微分方程具有相通性。6. 传传递递函函数数G(s)的的拉拉氏氏反反变变换换为为该该系系统统的的脉脉冲冲响响应应函函数数g(t)，脉脉冲冲响响应应是是系系统统在在单单位位脉脉冲冲 (t)输输入入时时的的输输出出响响应应，此此时时R(s)=L L (t)=1，所以有所以有自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型7. 传传递递函函数数的的描描述述有有一一定定的的局局限限性性：只只能能研研究究单单入入、单单出出系系统统，对对于于多多入入、多多出出系系统统要要用用传传递递

22、矩矩阵阵表表示示；只只能能表表示示输输入入、输输出出的的关关系系，对对系系统统内内部部其其他他各各变变量量无无法法得得知知(经经典典控控制制理理论论的的不不足足)；只只能能研研究究零零初初始始状状态态的的系系统统特特性性，对对非非零零初始状态的系统运动特性不能反映。初始状态的系统运动特性不能反映。自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型三、求取系统传递函数的方法三、求取系统传递函数的方法 求取物理系统的传递函数时，一般假设求取物理系统的传递函数时，一般假设: :1. 系统不带负载，即在系统的输出端不吸系统不带负载，即在系统的输出端不吸收能量。收能量。2. 假

23、设系统的参数为线性集中常数。假设系统的参数为线性集中常数。自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型求取求取传递函数传递函数的方法与步骤：的方法与步骤： 1. 首先确定出系统的输出信号首先确定出系统的输出信号(被控量等被控量等)和输入信号（如给定值、干扰等）。和输入信号（如给定值、干扰等）。2. 把把系系统统分分成成若若干干个个典典型型环环节节，求求出出各各环环节节的的传传递递函函数数，填填写写在在方方框框内内。用用信信号号线线把把这这些些方方框框连连接接起起来来，得得到到系系统统的的动动态态结结构图。构图。3. 对对动动态态结结构构图图进进行行变变换换，得得

24、到到所所要要求求的的传递函数。传递函数。 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型四、传递函数的零点和极点四、传递函数的零点和极点pi: 极点，用极点，用“ ”表示表示零极点零极点分布图分布图zj: 零点，用零点，用“ ”表表示示自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型若传递函数若传递函数该传递函数的该传递函数的 极点为极点为p1 =1， p2=2; 零点为零点为z1=0.5零极点分布图零极点分布图自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.3 动态结构图及其等效变换动态结构图及其等效变

25、换 一、动态结构图一、动态结构图(或称方块图、方框图或称方块图、方框图) 动态结构图是表示组成控制系统的各个元动态结构图是表示组成控制系统的各个元件之间信号传递动态关系的图形。件之间信号传递动态关系的图形。1. 定义定义2. 组成组成信信号号线线：带带有有箭箭头头的的直直线线，箭箭头头表表示示信信号号传传递递方方向向，信信号号线线上上标标信信号号的的原原函函数数或或象象函数。函数。自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型方框：表示输入、输出信号之间的传递方框：表示输入、输出信号之间的传递关系。关系。引引出出点点(测测量量点点)：表表示示信信号号引引出出或或测

26、测量量位位置置，从从同同一一点引出的信号完全相同。点引出的信号完全相同。自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型比比较较点点(综综合合点点)：表表示示两两个个或或两两个个以以上上的的信信号号，在在该该点点相相加加、减减。注注意意，比比较较点点处处信信号号的的运运算算符符号号必必须须标标明明正正(+ +)、负负(- -)，一一般般不不标标者者取取正正号号。同同时时进进行行运运算算的的信信号号必须具有相同的量纲。必须具有相同的量纲。自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型3.3.系统动态结构图的建立系统动态结构图的建立 (1)

27、 建建立立系系统统各各元元部部件件（或或典典型型环环节节）的的微分方程。微分方程。 ( (2) ) 对对各各微微分分方方程程在在零零初初始始条条件件下下进进行行拉拉氏变换，并做出各元部件的方框图。氏变换，并做出各元部件的方框图。 (3) 按按照照系系统统中中各各变变量量的的传传递递顺顺序序，依依次次用用信信号号线线将将各各元元件件的的方方框框图图连连接接起起来来。系系统统的的输输入入变变量量在在左左端端，输输出出变变量量（即即被被控控量）在右端，便得到系统的动态结构图。量）在右端，便得到系统的动态结构图。 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型如如RC网路

28、的微分方程网路的微分方程 对上式进行拉氏变换，得对上式进行拉氏变换，得 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型绘制上式各子方程的方框图绘制上式各子方程的方框图 将方框图连接起来将方框图连接起来, ,得出系统的动态结构图。得出系统的动态结构图。 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型三、结构图的等效变换三、结构图的等效变换 进行结构变换首先应明确以下四点：进行结构变换首先应明确以下四点：1. 结结构构变变换换的的等等效效性性。即即变变换换前前、后后输输入入输出总的数学关系应保持不变。输出总的数学关系应保持不变。2. 所所

29、得得结结果果(传传递递函函数数)的的惟惟一一性性；结结构构图图的多样性的多样性(不惟一性不惟一性)。3. 信号传递的单向性。信号传递的单向性。4. 多输入系统的叠加性。多输入系统的叠加性。 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型动态结构图的等效变换法则：动态结构图的等效变换法则： l. .串联变换法则串联变换法则 n个个传传递递函函数数依依次次串串联联的的等等效效传传递递函函数数，等于等于n个传递函数的乘积个传递函数的乘积 。自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.并联变换法则并联变换法则 n个传递函数并联，其等效传

30、递函数为该个传递函数并联，其等效传递函数为该n个传递函数的代数和。个传递函数的代数和。 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型称为闭环传递函数称为闭环传递函数3.反馈变换法则反馈变换法则 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型4. .比较点移动法则比较点移动法则 比较点前移比较点前移“加倒数加倒数”；比较点后移；比较点后移“加本身加本身”。 前移前移后移后移自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型5. 引出点移动法则引出点移动法则 引出点前移引出点前移“加本身加本身”；引出点后移；引

31、出点后移“加倒数加倒数”。 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型6. 相相邻邻的的比比较较点点之之间间可可以以随随意意调调换换位位置置，亦亦可可综综合合为为一一个个比比较较点点。相相邻邻的的引引出出点点之之间间亦亦可互相调换位置。可互相调换位置。 7. 相邻的比较点和引出点之间可以调换位置。相邻的比较点和引出点之间可以调换位置。 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型动态结构图等效变换需注意的问题动态结构图等效变换需注意的问题:(1)串联、并联、反馈三种典型结构可直接串联、并联、反馈三种典型结构可直接用公式用公式;不

32、是典型结构不可直接用公式。不是典型结构不可直接用公式。(2)向同类移动：比较点和引出点。向同类移动：比较点和引出点。(3)由里向外变换：由里向外变换：对多回路结构，由内对多回路结构，由内回路向外回路进行变换，逐个减少内回路，回路向外回路进行变换，逐个减少内回路，直到变换成一个等效的方块。直到变换成一个等效的方块。 (4)多输入变换多次：多输入变换多次：系统有多个输入量，系统有多个输入量，则必须分别对每个输入量逐个进行结构变则必须分别对每个输入量逐个进行结构变换，求得各自的传递函数。换，求得各自的传递函数。 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型例：例：求下

33、图所示系统被控量求下图所示系统被控量C(s)对各输入信号的对各输入信号的传递函数传递函数C(s)/R(s),C(s)/N1(s),C(s)/N2(s)。G1G2G3R(s)C(s)N1(s)N2(s)+-+-解：解：(1)求求C(s)/R(s)。N1(s)设设N1=0，N2=0设设N1=0，N2=0把比较点前移把比较点前移G1G1G1C(s)N1N2+-+-N1R(s)+N2-+把比较点前移把比较点前移再进行并联和内回路反馈变换再进行并联和内回路反馈变换自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型G1G3R(s)C(s)-串联后再作反馈变换串联后再作反馈变换R(

34、s)C(s)进行串联变换进行串联变换R(s)C(s)自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型( (2) )求求C(s)/N1(s) ，设设R(s)=0，N2(s)=0，得得 因此，因此，自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型(3) 求求 ，设，设R(s)=0，N1(s)=0N2(s)信号只能单向传递信号只能单向传递 所以，所以，自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型例例 已知一控制系统的微分方程组为已知一控制系统的微分方程组为 试画出其动态结构图，并求系统的传递函试画出其动态结构图，

35、并求系统的传递函数数C(s)/R(s) )。 解：解：r(t)为输入信号，为输入信号，c(t)为输出信号为输出信号自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型对系统微分方程进行拉氏变换对系统微分方程进行拉氏变换, ,得到相应得到相应的代数方程的代数方程根根据据各各个个代代数数方方程程组组画画出出相相应应的的方方块块图图，然后连接起来就得到系统的动态结构图。然后连接起来就得到系统的动态结构图。 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型引出点前移，进行内回路变换，然后再进引出点前移，进行内回路变换，然后再进行外回路反馈变换得系统的

36、传递函数行外回路反馈变换得系统的传递函数 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型四、用梅森（四、用梅森（S. J. Mason）公式求传递函数公式求传递函数 方块图方块图系统的传递函数系统的传递函数等效变换等效变换方块图的复杂程度方块图的复杂程度变换过程的复杂和困难变换过程的复杂和困难梅森公式梅森公式式中：式中： (s) 系统的闭环传递函数系统的闭环传递函数 特征式特征式 ，且，且 =1- La+ LbLc- LdLeLf+自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型Pk第第k条前向通道的传递函数。条前向通道的传递函数。 k

37、余余子子式式，即即在在特特征征式式中中把把与与Pk前前向向通通道道接接触触的的回回路路所所在在项项除除去去(置置为为零零)后后余余下的式子。下的式子。n前向通道数。前向通道数。自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型明确几个概念：明确几个概念：回回路路闭闭的的通通道道，即即在在结结构构图图中中信信号号可可以以沿沿箭箭头头方方向向闭闭合合流流动动且且经经过过的的任任一一元件不多于一次的闭合回路。元件不多于一次的闭合回路。互不接触回路互不接触回路 相互间没有共同接点的回相互间没有共同接点的回路。路。前前向向通通道道由由输输入入端端单单向向( (沿沿箭箭头头) )

38、传传递递至至输输出出端端的的信信号号通通道道被被称称为为前前向向通道。通道。自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型例例 求图示系统的传递函数求图示系统的传递函数C(s)/R(s)。 解解：(1)前向通道有前向通道有1 1条条: :自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型(2)(2)单独回路有单独回路有4个：个：有有2个回路互不接触，所以有个回路互不接触，所以有 特征式：特征式：自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型余子式：余子式：( (不存在与不存在与P P1 1不接触的回路不接触的

39、回路) )(3)闭环传递函数闭环传递函数C(s)/R(s)为为 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型利用梅森公式求传递函数的注意事项：利用梅森公式求传递函数的注意事项：(1) k条条前前向向通通道道，是是指指从从输输入入信信号号到到输输出出信信号号前前向向通通道道的的总总数数，不不要要漏漏掉掉，也也不不要要错划。通过节点只有一次，不得重复。错划。通过节点只有一次，不得重复。(2) 单独回路数，互不接触回路数，不要单独回路数，互不接触回路数，不要漏掉，也不要重复。漏掉，也不要重复。 与与 k 应计算无误。应计算无误。(3) 反馈的极性应体现在回路传递函数的

40、反馈的极性应体现在回路传递函数的正负上，一定要注意符号。正负上，一定要注意符号。自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.4 典型环节的典型环节的传递函数传递函数 一、比例一、比例( (放大放大) )环节环节 比例环节方块图比例环节方块图 其微分方程为其微分方程为 K为常数，称比例系数或增益。为常数，称比例系数或增益。 传递函数为传递函数为 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型运算放大器：运算放大器： 电位器：电位器： 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型二、积分环节二、积分环

41、节 微分方程为微分方程为 传递函数为传递函数为 积分器积分器 电压的传递函数电压的传递函数自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型空载油缸空载油缸 流量流量 小惯性电动机小惯性电动机 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型三、理想微分环节三、理想微分环节 微分方程微分方程 传递函数传递函数 测速发电机测速发电机 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型四、惯性环节四、惯性环节 微分方程微分方程 传递函数传递函数 运算放大器运算放大器 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数

42、学模型控制系统的数学模型五、一阶微分环节五、一阶微分环节 微分方程微分方程 传递函数传递函数 在在放放大大器器上上加加以以RC网网络络反反馈馈, ,当当增增益益K足够大时足够大时 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型六、振荡环节六、振荡环节 微分方程微分方程 传递函数传递函数 式中式中: : 相对阻尼比相对阻尼比( (无量纲无量纲) ) n无阻尼自然频率（无阻尼自然频率（s-1-1） 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型RLC网络网络自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型质量质

43、量- -弹簧弹簧- -阻尼动力系统阻尼动力系统 牛顿第二定律牛顿第二定律 F=ma 取拉氏变换取拉氏变换, ,整理后得整理后得 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型七、二阶微分环节七、二阶微分环节 微分方程微分方程 传递函数传递函数 二阶微分环节的方框图二阶微分环节的方框图自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.5 控制系统的传递函数控制系统的传递函数 闭环控制系统的典型结构图闭环控制系统的典型结构图 R(s)指令信号，输入信号，作用于系统输入端。指令信号，输入信号，作用于系统输入端。N(s)干扰信号，一般是作用在

44、被控对象上。干扰信号，一般是作用在被控对象上。C(s)被控量被控量,输出信号输出信号B(s)反馈信号反馈信号E(s)误差信号误差信号自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型一、系统开环传递函数一、系统开环传递函数 断断开开系系统统的的主主反反馈馈通通路路。把把G1(s)G2(s)H(s)之积称为该系统的开环传递函数。之积称为该系统的开环传递函数。定义定义自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型二、二、R(s)作用下的闭环传递函数作用下的闭环传递函数 令令N(s) =0，此时此时C(s)对对R(s)的闭环传递函的闭环传递函数

45、为数为 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型三、三、N(s)作用下系统的闭环传递函数作用下系统的闭环传递函数 令令R(s) =0，并把并把N(s)前移到输入端前移到输入端 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型四、系统的总输出四、系统的总输出 根据线性叠加原理，系统的总输出等于各根据线性叠加原理，系统的总输出等于各外作用引起的输出的总和外作用引起的输出的总和 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型如如果果系系统统中中控控制制装装置置的的参参数数设设置置，能能满满足足| |G1(s

46、)G2(s)H(s)| |1及及| |G1(s)H(s)| |1 ，则则系系统的总输出表达式可近似为统的总输出表达式可近似为 因此因此自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型五、闭环系统的误差传递函数五、闭环系统的误差传递函数 闭闭环环系系统统在在输输入入信信号号和和扰扰动动信信号号的的作作用用下下，以以误误差差信信号号作作为为输输出出量量时时的的传传递递函函数数为为系系统统误差传递函数误差传递函数。 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型根据叠

47、加原理，系统总误差为根据叠加原理，系统总误差为 如果满足条件如果满足条件| |G1(s)G2(s)H(s)| |1，而且而且| |G1(s) | |1 ，则系统总误差，则系统总误差上式表明，适当选择系统的元件参数，可上式表明，适当选择系统的元件参数，可以获得较高的工作精度。以获得较高的工作精度。自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 2对对典典型型环环节节传传递递函函数数的的标标准准型型要要牢牢固固掌掌握。求传递函数时要注意反馈符号的正负。握。求传递函数时要注意反馈符号的正负。反馈与并联不要混淆。要分清传递函数的具反馈与并联不要混淆。要分清传递函数的具体定义。体定义。 1本章所讨论的问题是研究系统性能的基本章所讨论的问题是研究系统性能的基础础，要要求求掌掌握握住住由由微微分分方方程程 s域域的的代代数数方方程程画画出出系系统统动动态态结结构构图图进进行行结结构构变变换换得得到到系系统统的的传传递递函函数数，或或用用梅梅森森公公式式求求系系统的传递函数的方法。统的传递函数的方法。拉氏变换拉氏变换本章小结本章小结自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 3.系统有总的输出系统有总的输出C(s)=C1(s)+C2(s)+，但不，但不能说有总的传递函数，能说有总的传递函数， (s) 1(s)+ 2(s)+。