《同济大学高等数学第七版函数极限》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同济大学高等数学第七版函数极限（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三第三节 函数的极限函数的极限 同济大学高等数学第七版函数极限同济大学高等数学第七版函数极限自自变量量变化化过程的六种形式程的六种形式: 根据自根据自变量的量的这种种变化化过程，本程，本节主要研究以下主要研究以下两种情况：两种情况：二、当自二、当自变量量x的的绝对值无限增大无限增大时，f(x)的的变化化趋势， 一、当自一、当自变量量x无限地接近于无限地接近于x0时，f(x)的的变化化趋势同济大学高等数学第七版函数极限同济大学高等数学第七版函数极限一、自一、自变量量趋向有限向有限值时函数的极限函数的极限 这个函数个函数虽在在x=1处无定无定义，但从它的，但从它的图形上可形上可见，当点从，当点从
2、1的的左左侧或右或右侧无限地接无限地接近于近于1时， f(x)的的值无无限地接近于限地接近于4，我，我们称称常数常数4为f(x)当当x1 时 f(x) 的极限。的极限。1xyo4同济大学高等数学第七版函数极限同济大学高等数学第七版函数极限怎怎样用数学用数学语言刻划言刻划无限接近无限接近于确定于确定值A？同济大学高等数学第七版函数极限同济大学高等数学第七版函数极限1.1.定定义定定义1 1设函数函数有定有定义.记作作或或恒有恒有在点在点x0某去心某去心邻域内域内同济大学高等数学第七版函数极限同济大学高等数学第七版函数极限注：注：(1) 定定义习惯上称上称为极限的极限的定定义其三个要素：其三个要素
3、：正数正数， 正数正数， 不等式不等式(3) 与任意与任意给定的正数定的正数有关。有关。(2) 有没有极限，与有没有极限，与 在点在点 是否有定是否有定义无关无关 同济大学高等数学第七版函数极限同济大学高等数学第七版函数极限必存在必存在x0的去心的去心邻域域对于此于此邻域内的域内的 x,对应的函数的函数图形位于形位于这一一带形区域内形区域内.作出作出带形区域形区域同济大学高等数学第七版函数极限同济大学高等数学第七版函数极限一般一般说来来,应从不等式从不等式出出发, 推推导出出 应小于怎小于怎这个正数就是要找的与个正数就是要找的与 相相对应的的这个推个推导常常是困常常是困难的的. 但是但是, 注
4、意到我注意到我们不需要找最大的不需要找最大的所以所以适当放大些适当放大些,的式子的式子,变成易于解出成易于解出找到一个需要的找到一个需要的找到找到就就证明完明完毕.可把可把样的正数的正数,同济大学高等数学第七版函数极限同济大学高等数学第七版函数极限证证 这这是是证证明明吗吗？非非常常非非常常严严格格！例例1 1同济大学高等数学第七版函数极限同济大学高等数学第七版函数极限例例2 证明明证于是于是恒有恒有同济大学高等数学第七版函数极限同济大学高等数学第七版函数极限例例3分析：分析： 函数在点函数在点x=1处没有定没有定义.但但这与函数在与函数在该点点是否有极限并无关系是否有极限并无关系证同济大学高
5、等数学第七版函数极限同济大学高等数学第七版函数极限例例4证min可用可用保保证同济大学高等数学第七版函数极限同济大学高等数学第七版函数极限 证明明证由于由于要使要使解出解出只要只要可取可取有有解不等式解不等式,同济大学高等数学第七版函数极限同济大学高等数学第七版函数极限3. 左、右极限左、右极限(单侧极限极限)例如例如,两种情况分两种情况分别讨论!记作作记作作同济大学高等数学第七版函数极限同济大学高等数学第七版函数极限左极限左极限右极限右极限使得使得时,或或使得使得时,或或记作作记作作同济大学高等数学第七版函数极限同济大学高等数学第七版函数极限注注且且此性此性质常用于判断分段函数当常用于判断分
6、段函数当x趋近于近于分段点分段点时的极限的极限.同济大学高等数学第七版函数极限同济大学高等数学第七版函数极限(1) 左、右极限均存在, 且相等；(2) 左、右极限均存在, 但不相等；(3) 左、右极限中至少有一个不存在.找找例题！ 函数在点 x0 处的左、右极限可能出现以下三种情况之一：同济大学高等数学第七版函数极限同济大学高等数学第七版函数极限例例5. 设函数讨论 时的极限是否存在的极限是否存在 . 解解: 利用定理利用定理 3 . 因因为显然然所以所以不存在不存在 .同济大学高等数学第七版函数极限同济大学高等数学第七版函数极限y = f (x)xOy11在 x = 1 处的左、右极限.解同
7、济大学高等数学第七版函数极限同济大学高等数学第七版函数极限二、自二、自变量量趋向无向无穷大大时函数的极限函数的极限同济大学高等数学第七版函数极限同济大学高等数学第七版函数极限同济大学高等数学第七版函数极限同济大学高等数学第七版函数极限同济大学高等数学第七版函数极限同济大学高等数学第七版函数极限同济大学高等数学第七版函数极限同济大学高等数学第七版函数极限同济大学高等数学第七版函数极限同济大学高等数学第七版函数极限同济大学高等数学第七版函数极限同济大学高等数学第七版函数极限同济大学高等数学第七版函数极限同济大学高等数学第七版函数极限返回返回同济大学高等数学第七版函数极限同济大学高等数学第七版函数极
8、限通通过上面演示上面演示实验的的观察察:如何用精确的数学数学如何用精确的数学数学语言刻划函数言刻划函数“无无限接近限接近”.同济大学高等数学第七版函数极限同济大学高等数学第七版函数极限同济大学高等数学第七版函数极限同济大学高等数学第七版函数极限2. 另两种情形另两种情形Axfx= =-)(lim同济大学高等数学第七版函数极限同济大学高等数学第七版函数极限解解显然有然有可可见和和虽然都存在然都存在, 但它但它们不相等不相等.故故不存在不存在.例例5 讨论极限极限 是否存在是否存在?同济大学高等数学第七版函数极限同济大学高等数学第七版函数极限图形形完全落在完全落在:的的图形的形的水平水平渐近近线(
9、horizontal asymptote).则直直线同济大学高等数学第七版函数极限同济大学高等数学第七版函数极限例例6 证证成立. 由极限的定义可知:同济大学高等数学第七版函数极限同济大学高等数学第七版函数极限例例7证要使要使成立成立.只要只要有有 解不等式解不等式同济大学高等数学第七版函数极限同济大学高等数学第七版函数极限试证证注意注意有有为了使了使只要使只要使有有同济大学高等数学第七版函数极限同济大学高等数学第七版函数极限三、函数极限的性三、函数极限的性质 函数极限与数列极限相比函数极限与数列极限相比,有有类似的性似的性质,定理定理1(1(极限的唯一性极限的唯一性) )有极限有极限,若在自
10、若在自变量的某种量的某种变化化趋势下下,则极限极限值必唯一必唯一.定理定理2(2(局部有界性局部有界性) )f(x)有极限有极限,则f(x)在在 上有界上有界;f(x)有有极限极限,且且证明方法也明方法也类似似.同济大学高等数学第七版函数极限同济大学高等数学第七版函数极限定理定理3(3(局部保号性局部保号性) )证 (1) 设A0,取正数取正数即即有有自己自己证同济大学高等数学第七版函数极限同济大学高等数学第七版函数极限只要取只要取便可得更便可得更强的的结论:证 (1)也即也即(2)自己自己证.定理定理3 (1)的的证明中明中, 不不论定理定理 同济大学高等数学第七版函数极限同济大学高等数学第七版函数极限证 假假设上述上述论断不成立断不成立,那么由那么由(1)就有就有在在该邻域内域内这与与所以所以类似可似可证 的情形的情形.假假设矛盾矛盾,若定理若定理3(2)3(2)中的条件改中的条件改为必有必有不能不能! ! 如如 是否是否定理定理3 3定理定理3 3同济大学高等数学第七版函数极限同济大学高等数学第七版函数极限
