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1、版权所有, 2000,2002 (c) 华中理工大学力学系华中科技大学华中科技大学 力学系力学系李 国 清材材 料料 力力 学学copyright, 2000,2002 (c) Dept. Mech., HUST , China面向面向21世纪课程教材世纪课程教材第四章第四章 梁的弯曲梁的弯曲4.1 4.1 梁的内力梁的内力4.2 4.2 平面弯曲梁的正应力平面弯曲梁的正应力4.3 4.3 梁的弯曲剪应力梁的弯曲剪应力4.4 4.4 梁的强度计算梁的强度计算4.5 4.5 梁的合理强度设计梁的合理强度设计4.6 4.6 梁的弹塑性弯曲梁的弹塑性弯曲4.7 4.7 梁的变形梁的变形纯弯曲时梁的应
2、力纯弯曲时梁的应力纯弯曲时梁的应力纯弯曲时梁的应力PPPaaaPPABCD纯弯曲：纯弯曲：纯弯曲：纯弯曲：横截面上弯矩为常量，而切力为零。横截面上弯矩为常量，而切力为零。横截面上弯矩为常量，而切力为零。横截面上弯矩为常量，而切力为零。横力弯曲：横力弯曲：横力弯曲：横力弯曲：横截面上既有弯矩，又有切力。横截面上既有弯矩，又有切力。横截面上既有弯矩，又有切力。横截面上既有弯矩，又有切力。研究对象研究对象研究对象研究对象平面弯曲、纯弯曲平面弯曲、纯弯曲平面弯曲、纯弯曲平面弯曲、纯弯曲横力弯曲、剪力弯曲横力弯曲、剪力弯曲横力弯曲、剪力弯曲横力弯曲、剪力弯曲AABBaabb矩形截面简支梁矩形截面简支梁矩
3、形截面简支梁矩形截面简支梁1.1.变形几何关系变形几何关系变形几何关系变形几何关系（1 1）弯曲变形现象）弯曲变形现象）弯曲变形现象）弯曲变形现象 AAAA、BBBB仍保持直线，仍与仍保持直线，仍与仍保持直线，仍与仍保持直线，仍与变形后的纵向线正交，但相对变形后的纵向线正交，但相对变形后的纵向线正交，但相对变形后的纵向线正交，但相对地转过一角度地转过一角度地转过一角度地转过一角度aa缩短，缩短，bb伸长，且变伸长，且变为弧形为弧形。（2）弯曲的基本假设）弯曲的基本假设平面假设平面假设梁弯曲变形后，其横截面仍保持梁弯曲变形后，其横截面仍保持梁弯曲变形后，其横截面仍保持梁弯曲变形后，其横截面仍保持
4、为一平面，并仍与变形后梁的轴为一平面，并仍与变形后梁的轴为一平面，并仍与变形后梁的轴为一平面，并仍与变形后梁的轴线垂直，只是转了一个角度。线垂直，只是转了一个角度。线垂直，只是转了一个角度。线垂直，只是转了一个角度。 单向受拉、压假设单向受拉、压假设单向受拉、压假设单向受拉、压假设 设各纵向纤维之间设各纵向纤维之间设各纵向纤维之间设各纵向纤维之间互不挤压，每一根纵向互不挤压，每一根纵向互不挤压，每一根纵向互不挤压，每一根纵向纤维均处于单向拉伸、纤维均处于单向拉伸、纤维均处于单向拉伸、纤维均处于单向拉伸、或压缩。或压缩。或压缩。或压缩。（3）中性层、中性轴）中性层、中性轴由连续性假设，由连续性假
5、设，由连续性假设，由连续性假设，存在着一层既不伸长，也存在着一层既不伸长，也存在着一层既不伸长，也存在着一层既不伸长，也不缩短的纵向纤维层，称为中性层。不缩短的纵向纤维层，称为中性层。不缩短的纵向纤维层，称为中性层。不缩短的纵向纤维层，称为中性层。 中性层与横截面的交线称为中性轴。梁弯曲中性层与横截面的交线称为中性轴。梁弯曲中性层与横截面的交线称为中性轴。梁弯曲中性层与横截面的交线称为中性轴。梁弯曲时，梁横截面绕各自中性轴旋转。时，梁横截面绕各自中性轴旋转。时，梁横截面绕各自中性轴旋转。时，梁横截面绕各自中性轴旋转。（4 4）应变变化规律）应变变化规律）应变变化规律）应变变化规律微段微段微段微
6、段dxdxdxdx为研究对象，为研究对象，为研究对象，为研究对象，取坐标系如图。取坐标系如图。取坐标系如图。取坐标系如图。dxyzOO为曲率中心，为曲率中心，为曲率中心，为曲率中心，为中心层为中心层为中心层为中心层的曲率半径，夹角为的曲率半径，夹角为的曲率半径，夹角为的曲率半径，夹角为，考察，考察，考察，考察任一纵向线任一纵向线任一纵向线任一纵向线的应变。的应变。的应变。的应变。 变形前：变形前：变形前：变形前：变形后：变形后：变形后：变形后：应变：应变：应变：应变：横截面上任一点处的线应变横截面上任一点处的线应变与该点到中心层的距离与该点到中心层的距离y成正比成正比。oyo1o22.2.应力
7、、应变关系应力、应变关系应力、应变关系应力、应变关系基于：基于：基于：基于： 单向拉压假设；单向拉压假设；单向拉压假设；单向拉压假设； 拉压材料弹性常数相等。则有拉压材料弹性常数相等。则有拉压材料弹性常数相等。则有拉压材料弹性常数相等。则有问题：问题：问题：问题：中心轴位置中心轴位置中心轴位置中心轴位置 ？横截面上各点的正应力横截面上各点的正应力横截面上各点的正应力横截面上各点的正应力与该点到中心轴的距离与该点到中心轴的距离与该点到中心轴的距离与该点到中心轴的距离 yy正比。正比。正比。正比。Z ZY YOOyMMMMyzxyzyxzMM3.3.静力学关系静力学关系静力学关系静力学关系自然满足
8、自然满足自然满足自然满足ozydAyzc平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质2.2.惯性矩惯性矩惯性矩惯性矩2.2.惯性积惯性积惯性积惯性积讨论讨论讨论讨论1. 1.惯性积是对坐标轴而言的，因此惯性积的数值可正、惯性积是对坐标轴而言的，因此惯性积的数值可正、惯性积是对坐标轴而言的，因此惯性积的数值可正、惯性积是对坐标轴而言的，因此惯性积的数值可正、可负、或为零。可负、或为零。可负、或为零。可负、或为零。2.2.2.2.若坐标轴若坐标轴若坐标轴若坐标轴y y y y 或或或或z z z z 轴中有一个是轴中有一个是轴中有一个是轴中有一个是图形的对称轴，则平面图
9、形对图形的对称轴，则平面图形对图形的对称轴，则平面图形对图形的对称轴，则平面图形对这对轴的惯性积为零。这对轴的惯性积为零。这对轴的惯性积为零。这对轴的惯性积为零。oyzdA dAZZyy如图：如图：如图：如图：z z z z坐标是图形的对称轴，故图坐标是图形的对称轴，故图坐标是图形的对称轴，故图坐标是图形的对称轴，故图形的形的形的形的z z z z 坐标相同，而坐标相同，而坐标相同，而坐标相同，而y y y y 坐标数值相同坐标数值相同坐标数值相同坐标数值相同而符号相反，故惯性积而符号相反，故惯性积而符号相反，故惯性积而符号相反，故惯性积I I I IYZYZYZYZ为零。为零。为零。为零。y
10、zyxzMM即横截面对中性轴即横截面对中性轴即横截面对中性轴即横截面对中性轴Z Z Z Z 的静矩为零。由平面图形的几何性质的静矩为零。由平面图形的几何性质的静矩为零。由平面图形的几何性质的静矩为零。由平面图形的几何性质可知，只有可知，只有可知，只有可知，只有Z Z Z Z轴通过截面形心时，才有轴通过截面形心时，才有轴通过截面形心时，才有轴通过截面形心时，才有S S S SZ Z Z Z0 0 0 0，因此，因此，因此，因此中性轴必通过横截面形心。中性轴必通过横截面形心。中性轴必通过横截面形心。中性轴必通过横截面形心。分析讨论分析讨论1. 1. 中性轴位置中性轴位置中性轴位置中性轴位置即要求横
11、截面对即要求横截面对即要求横截面对即要求横截面对y y y y、z z z z 轴的惯性积为零。轴的惯性积为零。轴的惯性积为零。轴的惯性积为零。显然在平面弯曲的条件下此条件自然满足。显然在平面弯曲的条件下此条件自然满足。显然在平面弯曲的条件下此条件自然满足。显然在平面弯曲的条件下此条件自然满足。注意到注意到注意到注意到 y y轴是横截面的对称轴，且轴是横截面的对称轴，且轴是横截面的对称轴，且轴是横截面的对称轴，且z z轴通过形心，轴通过形心，轴通过形心，轴通过形心，这一对轴称之为这一对轴称之为这一对轴称之为这一对轴称之为 形心主轴形心主轴形心主轴形心主轴 。2.2.平面弯曲条件平面弯曲条件平面
12、弯曲条件平面弯曲条件此即保证梁为平面弯曲的条件。此即保证梁为平面弯曲的条件。称为平面图形对称为平面图形对称为平面图形对称为平面图形对z z轴的惯性矩轴的惯性矩轴的惯性矩轴的惯性矩. .。中性层曲率，也即梁中性层曲率，也即梁中性层曲率，也即梁中性层曲率，也即梁弯曲变形的基本公式。弯曲变形的基本公式。弯曲变形的基本公式。弯曲变形的基本公式。4.4.弯曲正应力弯曲正应力弯曲正应力弯曲正应力梁横截面上任一点处的梁横截面上任一点处的梁横截面上任一点处的梁横截面上任一点处的弯曲正应力计算公式。弯曲正应力计算公式。弯曲正应力计算公式。弯曲正应力计算公式。式中：式中：M M：横截面上弯矩；：横截面上弯矩； y
13、 y：横截面上所求一点至中性轴的距离；：横截面上所求一点至中性轴的距离；I IZ Z：横截面对中性轴：横截面对中性轴Z Z 的惯性矩。的惯性矩。符号判断：符号判断：符号判断：符号判断：以中性轴为界，以中性轴为界，以中性轴为界，以中性轴为界，靠凸边一侧受拉，靠凸边一侧受拉，靠凸边一侧受拉，靠凸边一侧受拉，靠凹边一侧受压。靠凹边一侧受压。靠凹边一侧受压。靠凹边一侧受压。Z ZY YOOyMMMM5.5.梁截面上最大正应力梁截面上最大正应力梁截面上最大正应力梁截面上最大正应力梁截面上最大正应力发生于离中性轴最远处，即梁截面上最大正应力发生于离中性轴最远处，即梁截面上最大正应力发生于离中性轴最远处，即
14、梁截面上最大正应力发生于离中性轴最远处，即称为抗弯截面模量称为抗弯截面模量称为抗弯截面模量称为抗弯截面模量6. 6. 6. 6. 弯曲正应力公式的适用范围弯曲正应力公式的适用范围弯曲正应力公式的适用范围弯曲正应力公式的适用范围1.1. 公式适用于横截面具有对称轴的任何截面形公式适用于横截面具有对称轴的任何截面形状的梁（载荷作用于该对称面内）。状的梁（载荷作用于该对称面内）。纵向对称面纵向对称面纵向对称面纵向对称面2.2.2.2. 在横力弯曲时，梁横截面上既有正应力，不有切应力作用。在横力弯曲时，梁横截面上既有正应力，不有切应力作用。在横力弯曲时，梁横截面上既有正应力，不有切应力作用。在横力弯曲
15、时，梁横截面上既有正应力，不有切应力作用。此时梁的平面假设和单向拉压假设均不再成立，但当梁跨长此时梁的平面假设和单向拉压假设均不再成立，但当梁跨长此时梁的平面假设和单向拉压假设均不再成立，但当梁跨长此时梁的平面假设和单向拉压假设均不再成立，但当梁跨长与截面高度之比与截面高度之比与截面高度之比与截面高度之比 l l l lh h h h5 5 5 5时（工程实际中的梁远大于时（工程实际中的梁远大于时（工程实际中的梁远大于时（工程实际中的梁远大于5 5 5 5），），），），切应力的存在对梁的正应力的分布影响极微，可忽略，因此切应力的存在对梁的正应力的分布影响极微，可忽略，因此切应力的存在对梁的正
16、应力的分布影响极微，可忽略，因此切应力的存在对梁的正应力的分布影响极微，可忽略，因此可以足够精确地推广应用到横力弯曲（剪切弯曲）情况。可以足够精确地推广应用到横力弯曲（剪切弯曲）情况。可以足够精确地推广应用到横力弯曲（剪切弯曲）情况。可以足够精确地推广应用到横力弯曲（剪切弯曲）情况。3.3.公式适合于直梁，但可近似地用于小曲率（公式适合于直梁，但可近似地用于小曲率（公式适合于直梁，但可近似地用于小曲率（公式适合于直梁，但可近似地用于小曲率（）梁。）梁。）梁。）梁。4.4.非对称截面梁非对称截面梁非对称截面梁非对称截面梁弯曲中心弯曲中心弯曲中心弯曲中心开口薄壁杆件。开口薄壁杆件。开口薄壁杆件。开
17、口薄壁杆件。5.5.，即公式仅适用于弹性范围。，即公式仅适用于弹性范围。，即公式仅适用于弹性范围。，即公式仅适用于弹性范围。惯性矩的计算惯性矩的计算惯性矩的计算惯性矩的计算简单截面的惯性矩简单截面的惯性矩简单截面的惯性矩简单截面的惯性矩hozybydy矩形截面矩形截面矩形截面矩形截面同理：同理：同理：同理：oyzdAyzd圆形截面圆形截面圆形截面圆形截面极惯性矩极惯性矩极惯性矩极惯性矩oydDZ圆环截面圆环截面圆环截面圆环截面oyzdAyzcyczcbycazc平行移轴公式平行移轴公式平行移轴公式平行移轴公式 同一截面图形对于平行的同一截面图形对于平行的同一截面图形对于平行的同一截面图形对于平
18、行的两对坐标轴的惯性矩或惯性积两对坐标轴的惯性矩或惯性积两对坐标轴的惯性矩或惯性积两对坐标轴的惯性矩或惯性积并不相同。当其中一对轴是图并不相同。当其中一对轴是图并不相同。当其中一对轴是图并不相同。当其中一对轴是图形的形心轴时，它们之间有比形的形心轴时，它们之间有比形的形心轴时，它们之间有比形的形心轴时，它们之间有比较简单的关系。较简单的关系。较简单的关系。较简单的关系。同理：同理：平行移轴公式平行移轴公式平行移轴公式平行移轴公式 任意形状的截面对任一轴的惯性矩或惯性积等于该截面任意形状的截面对任一轴的惯性矩或惯性积等于该截面任意形状的截面对任一轴的惯性矩或惯性积等于该截面任意形状的截面对任一轴
19、的惯性矩或惯性积等于该截面对与该轴平行的形心轴之惯性矩加上该截面面积与二轴间距对与该轴平行的形心轴之惯性矩加上该截面面积与二轴间距对与该轴平行的形心轴之惯性矩加上该截面面积与二轴间距对与该轴平行的形心轴之惯性矩加上该截面面积与二轴间距离平方成正比。离平方成正比。离平方成正比。离平方成正比。Zz2zcz1yc1cc26cm2cm6 cm2 cmy1y2a2a1yc1 12 2例：求对例：求对例：求对例：求对T T T T字型形心轴字型形心轴字型形心轴字型形心轴 Y Y Y YC C C C和和和和Z Z Z ZC C C C的的惯性矩的的惯性矩的的惯性矩的的惯性矩解：解：解：解：1.1.取参考轴
20、取参考轴取参考轴取参考轴Z Z2.2.求形心求形心求形心求形心则则a12cm，a22cm。3.3.求对形心轴的惯性矩求对形心轴的惯性矩求对形心轴的惯性矩求对形心轴的惯性矩例例3.7图所示机器支架受到载荷图所示机器支架受到载荷P=35kN作用，试求截面作用，试求截面AA处的最大正应力。处的最大正应力。解：解：1)内力分析内力分析M=350.4=14kNm2 2：横截面的几何特性：横截面的几何特性a)形心的位置形心的位置b) b) 对中性轴的惯性矩对中性轴的惯性矩c) c) 两个抗弯截面模量两个抗弯截面模量3)应力计算应力计算(右侧边缘右侧边缘)(左侧边缘左侧边缘) 由塑料制成的直梁，在横截面上只有Mz作用，如图所示。已知塑料受拉和受压时的弹性模量分别为Et和Ec，且已知Ec = 2Et；Mz = 600Nm。试求:1梁内最大拉、压正应力；2中性轴的位置。 根据平面假设，应变沿截面高度作直线变化 Ec = 2Et， 沿截面高度直线的斜率不同中性轴不过截面形心。1确定中性轴位置。设拉压区高度分别为ht、hc1确定中性轴位置。设拉压区高度分别为ht、hc 习题 4-8 4-11 4-12再再 见见
