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1、“ “小学数学疑难问题小学数学疑难问题小学数学疑难问题小学数学疑难问题” ”研讨会研讨会研讨会研讨会东阳教育局教研室东阳教育局教研室东阳教育局教研室东阳教育局教研室 麻彩虹麻彩虹麻彩虹麻彩虹在教学奇偶数时，在教学奇偶数时，0是偶数吗？是偶数吗？最小的偶数是几最小的偶数是几？在非零自然数中，最小的偶数是2；在自然数中，最小的偶数是0；在整数中，最小的偶数是没有的。五上教材：我们只在自然数（零除外） 范围内研究倍数和因数。一个四位数，个位上的数是最小的偶数，个位应填几？答案是2。低段方位低段方位“左右左右”，如何确定？，如何确定？以观察者为标准，还是以图中人物为标准？以观察者为标准，还是以图中人物
2、为标准？教参82页：由于教学的对象是一年级的学生，因此在确定情境图中物品或者人物左右的位置时，本书都以观察者为标准来确定左右（除情境图中有特殊的说明）。爷爷的（ ）手拿着烟斗。10以内包含以内包含10吗？吗？大于大于010以内以内小于等于小于等于10010“120”，1和和20包括吗？包括吗？“50到到100”之间，包括之间，包括50和和100吗吗？1.256 的积有几位小数？的积有几位小数？根据小数乘法的法则，积的小数部分应该是两位小数。这是直接结果。根据小数的性质，小数末尾的零可以省略。这是间接的结果。 判断：等式两边同乘一个数（或同除以一个不判断：等式两边同乘一个数（或同除以一个不 为零
3、的数），等式仍然成立。（为零的数），等式仍然成立。（ ）教参：等式两边都乘一个数（或除以一个不为教参：等式两边都乘一个数（或除以一个不为0的数），等式仍然成立。的数），等式仍然成立。商不边性质：被除数和除数同时乘或除以相同商不边性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（零除外），商不变。的数（零除外），商不变。分数基本性质：分数的分子和分母都乘或除以分数基本性质：分数的分子和分母都乘或除以相同的数（相同的数（0除外），分数的大小不变。除外），分数的大小不变。等式的性质（等式的性质（1）：等式两边都加上（或减去）：等式两边都加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。同一个数，等式仍然成立。小明、小刚和
4、小华常去图书馆看书，小明每隔小明、小刚和小华常去图书馆看书，小明每隔3天去一次，小刚每隔天去一次，小刚每隔2天去一次，小华每隔天去一次，小华每隔4天天去一次。去一次。6月月30日，他们三人都到图书馆看书日，他们三人都到图书馆看书了，几月几日他们三人又到图书馆看书呢？了，几月几日他们三人又到图书馆看书呢？每隔每隔3天去一次怎么理解？要不要天去一次怎么理解？要不要+1？每每3天去一次天去一次每工作每工作3天后休息天后休息1天天（每（每4天去一次）天去一次）5扩大扩大1倍算式是倍算式是51还是还是52？小数点向右移动一位，这个数将扩大到原来的小数点向右移动一位，这个数将扩大到原来的10倍；倍； 小数
5、点向左移动一位，这个数就缩小到原来的小数点向左移动一位，这个数就缩小到原来的1/10 。（数学表达不严谨）（数学表达不严谨）5增加增加1倍，算式：倍，算式： 5218名学生如果排成长方形队形进行体操训练，名学生如果排成长方形队形进行体操训练，可以有几种不同的排法？可以有几种不同的排法？181是线还是形？29和92算一种还是两种？答案是：6种。把18个小正方形拼成长方形，可以有几种不同的拼法？（3种）把18个苹果放在盒子里，每个盒子放的得同样多，有几种方法？（5种）“倍倍”与与“倍数倍数”怎么区别？怎么区别？倍数是两个数之间的关系：对于整数整数a和正整数b，如果存在一个整数q，使得a = bq成
6、立，我们就说b整除a或a被b整除。此时a 叫做b的倍数，b叫做a的因数。倍：一个数除以另一数（零除外）所得的商，如abc，就说a是b的c倍。如6是3的2倍，2的1.2倍是2.4。因数因数=积，此因数与以上因数的区别？教材在五上以前只出术语乘数，不出因数。分数怎么分类？分数怎么分类？真分数真分数假分数假分数整数整数带分数带分数化成化成分数分数0/3是真分数吗？是真分数吗？“去尾法去尾法”“进一法进一法”与与“四舍五入四舍五入法法”的区别是什么？的区别是什么？（1）3米彩带可以包扎一个礼盒，照这样计算，米彩带可以包扎一个礼盒，照这样计算，14米彩带可以包扎几个礼盒？米彩带可以包扎几个礼盒？（去尾法
7、）（去尾法）（2）每辆车限坐）每辆车限坐24人，那么人，那么80人需要几辆车？人需要几辆车？ （进一法）（进一法）（3）猎豹是动物中的短跑冠军，速度可以达到）猎豹是动物中的短跑冠军，速度可以达到100千米千米/时，找这样的速度它平均每分能奔跑多少千米时，找这样的速度它平均每分能奔跑多少千米？（四舍五入法）（四舍五入法）自然数的意义自然数的意义2008年在北京举行第年在北京举行第29届奥运会。届奥运会。（序（序数或排序）数或排序）长江流经长江流经11个省、市、自治区，全长约个省、市、自治区，全长约6300千米。千米。（基数，包括计数和测量）（基数，包括计数和测量）拉萨的区号是拉萨的区号是0891
8、，北京西站至拉萨的，北京西站至拉萨的火车是火车是T27次。次。（编码或标号）（编码或标号）数与数字的区别和联系是什么？数与数字的区别和联系是什么？数和数字是两个不同的概念，它们既有联系又数和数字是两个不同的概念，它们既有联系又有区别。现在世界通用的数字一共有十个：有区别。现在世界通用的数字一共有十个：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，但用数字表，但用数字表示的数有：整数、分数、有理数、无理数示的数有：整数、分数、有理数、无理数。数字仅仅是一种符号，不能用来四则运算，只数字仅仅是一种符号，不能用来四则运算，只有用它来表示数时才具有特定的含义和大小。有用它来表示数时才具有特定的含义和大小。因
9、此：十位上的数相加，不能说成十位上的数因此：十位上的数相加，不能说成十位上的数字相加，各个数位上的数的和不能说成各个数字相加，各个数位上的数的和不能说成各个数位上数字的和。位上数字的和。运算、计算和演算有什么不同？运算、计算和演算有什么不同？运算运算是一种对应法则，是一种对应法则，如如在在自自然然数数集集合合中中，（3，2）这这对对数数依照某种法则与依照某种法则与5对应，这种法则对应，这种法则就是自然数的加法运算：就是自然数的加法运算：3+2=5；与；与6对应，这对应，这种法则就是自然数的乘法运算：种法则就是自然数的乘法运算：32=6。已知。已知5、2求另一个数求另一个数3的运算就是加法的逆运
10、算的运算就是加法的逆运算减减法。法。加法、减法、乘法、除法、乘方、开方这六种加法、减法、乘法、除法、乘方、开方这六种运算，统称为代数运算，其中加、减、乘、除运算，统称为代数运算，其中加、减、乘、除四种又称为算术运算或四则运算。四种又称为算术运算或四则运算。计算计算：同运算，依照运算法则求得结果的过程。：同运算，依照运算法则求得结果的过程。演算演算：同运算，并有列式书写计算过程的含义。：同运算，并有列式书写计算过程的含义。分数的定义分数的定义定义定义1(份数定义份数定义)：分数是把单位：分数是把单位“1”平均分平均分成若干份，表示这样的一份或几份。成若干份，表示这样的一份或几份。这一定义的好处是
11、直观、明白易懂，强调了这一定义的好处是直观、明白易懂，强调了“平均分平均分”的过程，对理解以后的分数运算也有的过程，对理解以后的分数运算也有很重要的价值。很重要的价值。 缺点是：一份或几份的表达接近自然数，没有缺点是：一份或几份的表达接近自然数，没有表达出新的数；常常会误解为分数总是真分数；表达出新的数；常常会误解为分数总是真分数；对分数的理解过于直观影响抽象性。对分数的理解过于直观影响抽象性。 分数的定义分数的定义定义定义2(商定义商定义)：分数是两个整数相除：分数是两个整数相除(除数不为除数不为0)的商。的商。分数的真正来源，在于自然数除法的推广。分数的真正来源，在于自然数除法的推广。1个
12、大饼，由个大饼，由4个人平个人平均分，算式是均分，算式是14，可是，这种除数大、被除数小的除法，以前，可是，这种除数大、被除数小的除法，以前是不能除的。于是，产生了分数四分之一。认识了这样的是不能除的。于是，产生了分数四分之一。认识了这样的“新朋新朋友友”，任何两个自然数之间的除法就可以进行了。，任何两个自然数之间的除法就可以进行了。于是有这样的定义：分数是两个自然数于是有这样的定义：分数是两个自然数a、b(b0)相除的商。相除的商。ab的商是新数的商是新数a/b，读作，读作b分之分之a。从数学的观点来看，这一定。从数学的观点来看，这一定义体现了分数的本质，符合数系扩张的数学思想。义体现了分数
13、的本质，符合数系扩张的数学思想。目前的小学数学教材用目前的小学数学教材用“分数和除法的关系分数和除法的关系”来体现这一定义过来体现这一定义过程。程。在过渡到分数的商定义时，在数直线上对分数作几何解释是非常在过渡到分数的商定义时，在数直线上对分数作几何解释是非常重要的。重要的。分数的定义分数的定义定义定义3(比定义比定义)：分数是整数：分数是整数q与整数与整数P(P0)之比。之比。从份数定义看来，分数表示的是部分和整体的比。从份数定义看来，分数表示的是部分和整体的比。“比比”的定义是将它扩展，分数乃是的定义是将它扩展，分数乃是“一部分和另一部一部分和另一部分之比分之比”，另一部分可以是整体，也可
14、以是部分。所，另一部分可以是整体，也可以是部分。所以，在小学数学教学中，在讲比和比例的时候，应该以，在小学数学教学中，在讲比和比例的时候，应该补充补充“分数的再认识分数的再认识”。 在平均分中，份数是在平均分中，份数是1的分法可以吗？的分法可以吗？在小学里，一般把乘法说成是“求相同加数的和的简便运算”。a+a+a+a=c ，记做ab=c上面的定义并不包括乘数是1和0的情况，因此补充定义：a1=a，a0=0分数：把单位“1”平均分成n份，表示这样的m份的数记做：m/n。其中n0，n1，m0。对于n=1，m=0作如下补充定义：当n=1时， m/n= m/1= m；当m=0时， m/n= 0/n=0
15、由此可见，份数是1的分法不在狭义的平均分范围内。b个a0的含义的含义0是整数，是最小自然数；也是一个数码；0既不是正数也不是负数；0不能作除数，不能作分子，不能作比的后项；0既可以表示“没有”，也可以作为某些数量的界限、原点等，如温度、数轴（三要素）；0有占位的作用；代表精确度；用于编号。25794=25479到底运用了什么运算定律？乘法结合律是否包含了乘法交换律？这里运用的是乘法交换律，交换了79和4的位置；乘法结合律改变的是运算顺序，而交换律改变的是乘数乘数的位置。比是怎样产生的？比的用处？比是怎样产生的？比的用处？比的概念是从两个同类量之间比较倍数关系而产生的，在比的概念是从两个同类量之
16、间比较倍数关系而产生的，在实际应用中，也需要把两个不同类量作比较。实际应用中，也需要把两个不同类量作比较。同类量的比是倍数关系，不同类量的比产生的是一个新的同类量的比是倍数关系，不同类量的比产生的是一个新的量；量；比例的教学让学生感受量与量的变化关系（函数思想）比例的教学让学生感受量与量的变化关系（函数思想）我们知道比的后项不能为我们知道比的后项不能为0。有这样一道题：收入。有这样一道题：收入2000元，元，支出支出1500元，收入与支出的比是元，收入与支出的比是2000：1500。假如当收。假如当收入入2000元，支出元，支出0元的时候，收入与支出的比不就是元的时候，收入与支出的比不就是20
17、00：0 吗？这样的比到底存不存在呢？吗？这样的比到底存不存在呢？体育比赛双方比分为体育比赛双方比分为3 0，这是比吗？为什么？，这是比吗？为什么？体育中的比只是记录双方的成绩而已，不具有两数相除的体育中的比只是记录双方的成绩而已，不具有两数相除的关系。关系。分数计算如果最后结果是假分数用化成分数计算如果最后结果是假分数用化成带分数吗？带分数吗？现教材对分数计算结果是假分数的要化现教材对分数计算结果是假分数的要化成带分数不做要求。成带分数不做要求。计算器问题：六年级圆柱和圆锥相关计计算器问题：六年级圆柱和圆锥相关计算，可以用吗？算，可以用吗？分数与百分数的关系是什么？分数与百分数的关系是什么？
18、百分数表示一个数是另一个数的百分之几。有时也定义为分母是100的分数，但这样的定义不能突出它是用来表示两个数（量）的倍比关系。分数既可以表示具体的量，又可以表示两个数量间的倍比关系；百分数只能表示两个数量间的倍比关系，所以也叫做百分比或百分率。 关于解决问题，我们的教学需要帮助学生建构数学模型，借助模型理解结构特征，分析解题思路，并能正确解答。 如：一辆汽车如：一辆汽车3小时行驶小时行驶120千米，照这样计算，行驶千米，照这样计算，行驶200千米需要多少小时？千米需要多少小时？ 数学模型可以是线段图、对应式、数量关系，数学模型可以是线段图、对应式、数量关系，还可以是几何图等等。还可以是几何图等
19、等。统计与概率中，我们会让学生用统计与概率中，我们会让学生用“经常经常”和和“偶尔偶尔”举例。生活中哪些事件可以用这两个词举例。生活中哪些事件可以用这两个词说？说？概率事件：在一定的条件实现时，有多种可能的结果发生，事前人们不能预言将出现哪种结果；对一次或少数几次观察或试验而言，其结果呈现偶然性、不确定性；但在相同条件下进行大量重复试验时，其试验结果却呈现出某种固有的特定的规律性。如：投掷一枚硬币，正面朝上的可能性是1/2。概率事件是客观事件，诸如“我”的主观事件，不在概率研究范围。确定事件确定事件不可能事件不可能事件概率事件概率事件必然事件必然事件随机事件随机事件正方形是特殊的长方形，正方体
20、是特殊的长方体，但在一、二年级的教学中，长方形、长方体的计数都不包括正方形和正方体。数以上两个图形以及数“机器人”，到底是只要数单个图形就行，还是组合的图形也要数，该怎样去界定？估算的意义现教材比较重视估算，但估算的误差可以是多大呢？如果同样是18220，看成18020，或看成20020都可以吗？估算的价值不在于和准确值的接近程度，而在于估算的价值不在于和准确值的接近程度，而在于策略的应用；策略的应用；估算的目的是培养数感，强调估算意识；估算的目的是培养数感，强调估算意识；估算不强求方法的固定和统一，可以多样化；估算不强求方法的固定和统一，可以多样化；估算以准确熟练的口算为基础。估算以准确熟练的口算为基础。作业本中的练习与教材脱节，怎么办？试卷量太多、太难怎么办？
