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1、4.4 控制系统根轨迹绘制示例规则180o等相角根轨迹0o等相角根轨迹连续性、对称性和分支数根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。其分支数等于开环有限零点和极点数目中的大者。同左起点和终点起始于开环极点，终止于开环零点同左渐进线条数：n-m同左与实轴交点：同左与实轴夹角：实轴上根轨迹 若实轴上某点右边的开环有限零点和有限极点数目之和为奇数，则该点是根轨迹上的点若实轴上某点右边的开环有限零点和有限极点数目之和为偶数（包括0），则该点是根轨迹上的点 4.4 控制系统根轨迹绘制示例分离(会合)点分离（会合）点为方程: 的根同左分离（回合）点处的根轨迹增益：同左出射、入射角出射角：出射角：入射角：入射角：与
2、虚轴的交点令s=jw，带入闭环特征方程求w和kg。或用劳斯判据求临界稳定时的闭环特征根。同左闭环特征根之和与之积同左 根据上述根轨迹绘制规则，可以画出控制系统完整的根轨迹图。应当指出的是，并不是每一个系统的根轨迹绘制都要全部使用上述基本规则。根据系统的不同，有时只使用部分规则就可以绘制出完整的根轨迹。手工绘制控制系统根轨迹的步骤: 标注开环极点“ ”和零点 “ ”； 确定根轨迹的分支数； 确定实轴上的根迹区间； 确定n-m条渐进线； 计算分离(会合)点； 计算极点处的出射角和零点处的入射角； 计算根轨迹与虚轴的交点； 利用前几步得到的信息绘制根轨迹。 4.4 控制系统根轨迹绘制示例例4.3.1
3、 已知反馈控制系统的特征方程是试绘制当kg从0变化时的根轨迹。 解： 根据要求，采用180o等相角根轨迹绘制规则进行绘制。 系统的根轨迹方程为： 系统的开环极点和零点为： 根轨迹的分支数：根轨迹有两条分支，分别起始于开环极点-p1，-p2处，终止于开环零点-z1，-z2处。 实轴上的根轨迹区间为： -4，0 根轨迹的渐近线：开环极点与开环零点的数目相同，该根轨迹没有渐进线。 分离（会合）点：令 代入方程 有： s1=-1.24是根轨迹的会合点，s2=3.24不是根轨迹上的点，应该舍去，即根轨迹没有分离点。会合点对应的根轨迹增益为： 出射角： 先求开环极点-p1处的出射角。画出各个开环零点和极点
4、（除了-p1）到-p1的向量，并标出每个向量的相角，分别为a1,a2,b1。 出射角为： 根轨迹与虚轴的交点： 系统的闭环特征方程为： 劳斯阵列如下： 由于kg0，劳斯阵列中没有全为零的行。所以，根轨迹与虚轴没有交点。根轨迹如下： n 实轴上根轨迹区间是：-2，0。n 渐进线倾角： 与实轴的交点为：例4.3.2系统的开环传递函数为：试绘制系统的根轨迹。n 标出四个开环极点：0，-2，-3j4。有四条根轨迹。解： 对于本例系统的根轨迹，题目中没有指明kg的取值范围。通常，没有特别指明kg的范围时，按180o根轨迹绘制规则进行绘制。 n -3+4j处的出射角q1 ：根据对称性，可知-3-j4处的出
5、射角 为：n 与虚轴的交点：闭环特征方程为：劳斯阵为：当劳斯阵某一行全为零时，有共轭虚根。这时， 。辅助方程为： ，解得共轭虚根为：即为根轨迹与虚轴的交点。n 会合点与分离点（重根点）：分离角为由 得： 由上式可求出分离点。但高阶方程求解困难，可采用下述近似方法：我们知道，分离点在负实轴-2，0区间上，所以当s在实数范围内变化时， 最大时为分离点。6.2811.4915.5918.4720.020.0118.2814.578.58-2.0-1.8-1.6-1.4-1.2-1.0-0.8-0.6-0.4-0.2 s可见分离点约为-0.8。n 绘制根轨迹，如下图所示。-4-3-2-1012-5-4
6、-3-2-1012345Real AxisImag Axis例4.3.3已知负反馈控制系统的开环传递函数为：试画出当-kg+时的根轨迹。 解： 1当0kg+时，绘制180o等相角根轨迹。 n 系统的开环极点和零点分别为： n 根轨迹的分支数：根轨迹有三条分支，分别起始于开环极点 ，终止于开环零点 和无穷远处。 n 实轴上的根轨迹区间为(-，-3，-1，0 n 渐近线：由于开环极点数-开环零点数=1，所以根轨迹有一条渐进线。 渐进线的倾角为： 与实轴的交点为： n 分离（会合）点：由式 可求得： 在根轨迹上，是会合点。 不在根轨迹上，应该舍去。 n 根轨迹与虚轴的交点：闭环系统的特征方程为： 将
7、s=jw代入其中并整理得： 解得： 2当kg0时，绘制0o等相角根轨迹。 n 实轴上的根轨迹区间为：-3，-1和0，+) n 渐近线：开环极点数-开环零点数=1，则该根轨迹有一条渐进线。渐进线的倾角为： n 分离（会合）点：计算方法如1。s=-6.65不在根轨迹上，应该舍去。 s=-1.35是会合点。 n 根轨迹与虚轴的交点：闭环系统的特征方程: 劳斯阵列中没有全为零的行。故根轨迹与虚轴没有交点。 例4.3.4：系统结构如图所示，绘制以为参变量的根轨迹，并讨论速度反馈对系统阶跃响应的影响。-解：先求等效开环传递函数。此时系统特征方程为令 ，等效开环传函为画参量根轨迹 开环极点为5.4、0.3j
8、1.292，开环零点为。 渐近线： 出射角：讨论n *=0，此时闭环极点为等效开环极点，即5.4、0.3j1.292，此时=5.4/0.3=18，可看作二阶系统。=0.226，%=48.2%，ts=10sn *=5.375，此时闭环极点为4、1j1.17，此时=4/1=4，若看作二阶系统则：=0.65，%=6.8%，ts=3sn *=7.75，此时闭环极点为2、2j0.866，此时=2/2=1，已不能看作二阶系统。n *=9.5，此时闭环极点为-0.5604 、 -2.7198 + j3.0910 ， -2.7198 - j3.0910,此时可看作一阶系统。例4.3.5 设控制系统的方块图如图
9、所示，试绘制系统的根轨迹。解将系统的方块图作等效变换，如下图所示。 其开环传递函数为：上式具有公因子s+1，可以互相抵消。抵消后的开环传递函数为： 按照公因子抵消前后绘制的根轨迹是不同的，抵消后的系统特征方程的阶次下降一次。这时的根轨迹图不能表示闭环特征方程的全部根，只能表示抵消化减后的特征方程的根。 为了得到全部的闭环极点，必须将开环传递函数Gk1(s)中抵消掉的极点，加到从开环传递函数Gk2(s)根轨迹图中得到的闭环极点中去。特别地，从Gk1(s)中抵消掉的极点是系统的闭环极点，这可以从下图中看出。 因此，在遇到系统开环传递函数有零、极点相抵消的情况时，可先根据相抵消后的开环传递函数绘制出根轨迹，然后在根轨迹图中补充相抵消的零、极点。例6 设控制系统开环传递函数为试作闭环根轨迹。例例7 单位正反馈系统的开环传递函数为 试绘制根轨迹。 小结v 手工绘制180度根轨迹的步骤；v 手工绘制0度根轨迹的步骤；v 参量跟轨迹的绘制步骤；v 180度根轨迹和0度根轨迹的关系。
