《数学 第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 5.2 平面向量基本定理及向量的坐标表示 文 新人教A版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学 第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 5.2 平面向量基本定理及向量的坐标表示 文 新人教A版（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、5.2平面向量基本定理 及向量的坐标表示-2-3-知识梳理考点自测1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1,2,使a=.其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组.把一个向量分解为两个的向量,叫做把向量正交分解.2.平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,a为坐标平面内的任意向量,以坐标原点O为起点 =a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得 =xi+yj,因此a=xi+yj,我们把实数对叫做向量a的坐标,记作a=.不共线 1e1+2e2
2、基底 互相垂直 (x,y) (x,y) -4-知识梳理考点自测3.平面向量的坐标运算(1)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.设A(x1,y1),B(x2,y2),则 =.(2)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=,a-b=,a=,4.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab.(x2-x1,y2-y1) (x1+x2,y1+y2) (x1-x2,y1-y2) (x1,y1) x1y2-x2y1=0 -5-知识梳理考点自测5.向量的夹角已知两个向量a和b,作 ,则AOB= (0180)叫
3、做向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角是90,我们说a与b垂直,记作.1.若a与b不共线,a+b=0,则=0.2.已知 (,为常数),则A,B,C三点共线的充要条件是+=1.非零 ab -6-知识梳理考点自测1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底. ()(2)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变. ()(3)在ABC中,向量 的夹角为ABC. ()(4)已知向量a,b是一组基底,若实数1,1,2,2满足1a+1b=2a+2b,则1=2,1=2. ()(5)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab的充要条件是 . ()
4、 -7-知识梳理考点自测2.(2017河北石家庄二模,文10)已知向量a=(1,m),b=(m,1),则“m=1”是“ab”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A解析解析:当m=1时,a=b,可以推出ab;当ab时,m2=1,解得m=1,不能推出m=1.所以“m=1”是“ab”的充分不必要条件.故选A.-8-知识梳理考点自测3.(2017山东,文11)已知向量a=(2,6),b=(-1,).若ab,则=.4.(2017山西太原一模)已知a=(1,-1),b=(t,1),若(a+b)(a-b),则实数t=.5.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a
5、+b|2=|a|2+|b|2,则实数m=.-3 解析解析:ab,2-6(-1)=0,=-3.-1 解析解析:由题意,得a=(1,-1),b=(t,1),则a+b=(1+t,0),a-b=(1-t,-2).因为(a+b)(a-b),所以(1+t)(-2)=(1-t)0=0,解得t=-1.-2 解析解析:|a+b|2=|a|2+|b|2,(m+1)2+32=m2+1+5,解得m=-2.-9-考点一考点二考点三考点四平面向量基本定理的应用平面向量基本定理的应用 C2-10-考点一考点二考点三考点四-11-考点一考点二考点三考点四-12-考点一考点二考点三考点四思考用平面向量基本定理解决问题的一般思路
6、是什么?解题心得1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,再通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量用这一组基底表示出来.-13-考点一考点二考点三考点四-14-考点一考点二考点三考点四-15-考点一考点二考点三考点四结论结论“若若a与与b不共线不共线,a+b=0,则则=0”在解题中的应用在解题中的应用例2在梯形ABCD中,ABCD,AB=2CD,M,N分别为CD,BC的中点,若 ,则+=.-16-考点一考点二考点三考点四C-17-考点一考点二考点三考点四平面向量
7、的坐标运算平面向量的坐标运算 DC-18-考点一考点二考点三考点四思考利用向量的坐标运算解决问题的一般思路是什么?解题心得向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的.解题过程中,常利用“向量相等,则其坐标相同”这一原则,通过列方程(组)来进行求解.-19-考点一考点二考点三考点四B B -20-考点一考点二考点三考点四平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示例4平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).(1)求满足a=mb+nc的实数m,n;(2)若(a+kc)(2b-a),求实数k.-21-考点一考点二考点三考点四思考向量共线有哪几种表示形式?两个向量共
8、线的充要条件有哪些作用?解题心得1.向量共线的两种表示形式设a=(x1,y1),b=(x2,y2),aba=b(b0);abx1y2-x2y1=0.至于使用哪种形式,应视题目的具体条件而定,一般情况涉及坐标的应用.2.两个向量共线的充要条件的作用判断两个向量是否共线(或平行),可解决三点共线的问题;另外,利用两个向量共线的充要条件可以列出方程(组),求出未知数的值.-22-考点一考点二考点三考点四对点训练对点训练4(1)(2017安徽马鞍山一模,文13)已知向量a=(1,2), b=(x,6),且ab,则|a-b|=.(2)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b), q=(b-a,c-a),若pq,则角C的大小为.60 -23-考点一考点二考点三考点四1.只要两个向量不共线,就可以作为平面的一组基底,对基底的选取不唯一,平面内任意向量a都可以用这个平面的一组基底e1,e2线性表示,且在基底确定后,这样的表示是唯一的.2.平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则,将向量进行分解.3.向量的坐标表示的本质是向量的代数表示,其中坐标运算法则是运算的关键,通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理,从而用向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题.-24-考点一考点二考点三考点四
