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1、第十四章第十四章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一个数学工具，它可以将时域里的高阶微分方程变换为复频域里的代数方程，从而大大简化求解过程。由于这个变换是独一的，因此复频域里的解也独一地对应着原时域里微分方程的解，经过反变换即可得到微分方程的解。这样就为分析处理高阶电路提供了一个简便和适用的方法运算法。因此，拉普拉斯变换涉及到正变换和反变换两方面。14-1拉普拉斯变换的定义14-2拉普拉斯变换的性质14-3拉普拉斯反变换的部分分式展开法14-4运算电路14-5运用拉普拉斯变换法分析线性电路14-1拉普拉斯变换的定义一、拉普拉斯变换的由来一傅立叶级数1、付氏三角级数 如右图fT(t)是一个
2、周期函数，非正弦，假设加在鼓励端分析其呼应是很困难的，可以用第十三章将非正弦信号分解为傅立叶三角级数。将其分解为f1(t) + f2(t) 。f1(t) 和f2(t) 均为正弦信号可以分别求其呼应，而后叠加得到 fT(t) 的呼应。 通常，一个周期为T的周期函数fT(t)，在-T/2，T/2上满足狄里赫利条件，总可以分解为如下的正弦函数的和：其中：T为周期函数fT(t)的周期；为基波角频率；2、傅氏级数的指数方式2、傅氏级数的指数方式利用欧拉公式：或：式1.1可写为： 式中 ：上式可合成为: 故1.1可写为: 付氏级数的物理意义：用正弦函数的叠加来等效恣意的非正弦周期函数。3、傅氏变换、傅氏变
3、换 当周期函数fT(t)在所讨论的区间上满足狄里克利条件, fT(t)可展开为付氏级数： 其中：定定义：令：令n0 =n0 =， 那么定那么定义周期函数周期函数fT(t)fT(t)的傅里叶的傅里叶变换为： 那么那么FT()FT()傅立叶反傅立叶反变换为： 问题：我们遇到的大量的非周期函数怎样进展傅里叶变换呢？ 对对于一个非周期函数于一个非周期函数f(t)f(t)，可以以，可以以为为是周期函数是周期函数fT(t) fT(t) 在在TT时时演化而来。演化而来。 当当n n 无无穷穷小小时时, ,频谱频谱就成就成为为延延续续的的, ,但但CnCn仍可以是有仍可以是有限限值值 由于当由于当TT时时，C
4、nCn无无穷穷小小 ，因此仍可定，因此仍可定义义TCnTCn为为非周期非周期函数的付氏函数的付氏变换变换, ,因此因此对对于非周期函数于非周期函数f(t)f(t) 相当于相当于TT 有：有： 记为：1 f(t)1 f(t)满满足狄里克利条件足狄里克利条件2 2 f(t)f(t)在在( ( -,+)-,+)上上绝绝对对可可积积 成立条件：成立条件：4、付氏、付氏变换变换的物理意的物理意义义： 1 1把把 f(t) f(t)看成无看成无穷多个多个00频率、振幅率、振幅为无无穷小的正弦波小的正弦波的合成。的合成。F()F()是是频谱密度，也是密度，也是单位位频率所奉献的振幅。率所奉献的振幅。 2非周
5、期函数非周期函数 f(t)可表示成可表示成 -+ 频率的指数函数的延率的指数函数的延续和。和。 二二 拉普拉斯变换拉普拉斯变换LaplaceLaplace变换变换 1 1、问题的提出：、问题的提出： 付氏级数可以将一个非正弦的周期信号分解为假设干个不同频率的正弦信号的叠加。付氏变换那么可将时域里的信号f(t)表达式转换为频率的表达式频域，从而方便了频谱分析。而我们在分析动态电路，尤其是高阶动态电路时，最困难的是解时域里的高阶微分方程。能否自创付氏变换的思绪，利用数学工具将时域函数也进展一番变换，最后将时域里的高阶微分方程，变换成另一域里的代数方程以便于求解呢？付氏变换说： 存在付氏变换的条件：
6、一是满足狄里克利条件延续或有限个第一延续点，区间内收敛；二是在(-,+)上可积，就一定存在古典意义下的付氏变换。但绝对可积的条件是很强的，许多函数，即使是很简单的函数单位阶跃函数，正弦函数，余弦，以及线性函数等都不满足这个条件。 其次，可以进展付氏变换的函数必需在整个自变量轴时间轴上有意义。但在物理、电子技术等实践运用中，许多以时间为自变量的函数往往在t00。1(t)可以使在t0时的无意义变为有意义均等于0。因此可以使(-,+)区间变为0,+)区间。由于在(-,0)上值为0，不需思索。 2e-t可以使能够不可积的函数(t)变得绝对可积，最后改造好的函数为g(t)=(t)(t)e-t。只需选得适
7、宜，这个函数gt的付氏变换总是存在的。 于是对(t)乘以(t)和e-t，再求付氏变换的运算，就产生了拉普拉斯变换 。2 2、拉普拉氏变换、拉普拉氏变换 式中S=+j称为复频率算子；f(t)=(t)(t)实践上还是(t)。 上式运算实践上相当于对恣意函数f(t)乘以e-st后在0,+上取积分。这个运算就是拉氏变换。此时G()的变量由转为s，可记为Fs。假设将ft的拉氏变换记为F(s)，那么：定定义：一个定：一个定义在在0,+)0,+)区区间上的函数上的函数f(t)f(t)，它的拉氏，它的拉氏变换式式为：记作：F(s)=Lf(t) 数学上可记为0,+ ，电工中由于需求思索(t)函数, 而(t)又仅
8、在0- 0+上有效，为了也能将(t)思索在内, 因此区间定为 0- +) 。拉氏反变换定义为：阐明明: (1) f(t): (1) f(t)是是时域里的函数；域里的函数；F(s)F(s)是复是复频域域(s(s域域) )里的里的函数函数, ,与与t t无关；拉氏无关；拉氏变换是从是从时域到复域到复频域的域的变换, ,是独一的。是独一的。 2式中s=+j是复变量，称为复频率。为虚变量，是振荡频率；为实变量，是衰减系数。3变换条件：(拉氏变换存在定理) a .在t0时的恣意区间上f(t)分段延续。 b当t时，f(t)的增长速度不超越某一指数函数，即总存在常数M0及C0,使下式成立：|ft|M ect
9、 。0t+ 满足条件a、b的ft的拉氏变换Fs总存在：习惯上称F(s)为f(t)的象函数；而称f(t)为F(s)的原函数。三例题三例题1 1、求、求(t)(t)的拉氏的拉氏变换变换L(t) L(t) 。解：解： 2 2、求、求LL t t 解：解：3、 求求L(t-T) 解：解：由此可推出如下结论：假设ftFs，那么那么 f(t-T)(t- f(t-T)(t-T)F(s)e-sT T)F(s)e-sT 。4、求et(t)的拉氏变换。5、求、求Lsint、Lcost 同理可得： 求拉氏变换式，都是利用定义式经过求积分得到，别无它法。工程上，经常将常用函数的拉氏变换事先求出来，制成一个对照表。见书
10、上Page294的表格，运用时查表或背会了运用。但表格中能列出的总是有限的，这时可以利用拉氏变换的根本性质，由一个拉氏变换式推出另一个函数的拉氏变换。 14-2 14-2 拉氏拉氏变换变换的根本性的根本性质质 一、一、 独一性：独一性： 定义在0，)区间上的时域函数ft与其在复频域上的象函数Fs存在一一对应的关系。二、二、 线性性性性质 假设Lf1t=F1(s)，Lf2t=F2(s)，那么LA1f1(t)+A2f2(t)=A1F1(s)+A2F2(s)例 1、 f(t)=A(t)A(t-T) 求F(s)。 解：解：例 2、f(t)=A(1-e-t)(t) 求Lf(t) 例3、 f1t=sint
11、， f2t=cost ，求F1s和F2s。 解：解：三、微分性三、微分性质： 假设某函数的象函数为： Lf(t) = F(s)，那么： 例例4 4、求、求 的象函数。的象函数。 解：解：例例5、知、知 ： ，求，求 Lcost 。解：解：四、四、积分性分性质： 假设Lf(t)=F(s) 那么： 例例6 6 求求LtLt。 解：解：进一步可求得： 其中m为正整数 五延五延迟性性质： 假设Lf(t)=F(s)那么： 例例7 7 求求图示函数的象函数。示函数的象函数。 解：解：回想：六位移性质：六位移性质： 假设Lf(t)=F(s)那么：Letft=F(s+)。 例8 求Le-tsint 解：同理可
12、得：七周期性七周期性质： 假设Lft=Fs，其中：0tT时ft=fTt；假设T为其它值时，ft=0，那么以ft为一个周期的周期函数fTt的象函数为：，其中 T为周期。 例例9 9、求图示半波整流电压、求图示半波整流电压u ut t拉氏变换象函数。拉氏变换象函数。 解解：先先利利用用延延迟性性质求求出出每每个个波波形形的的象象函函数数，然然后后把把无无穷多多个个这种种象象函函数数相相加加利利用用线性性性性质。1第第一一号号波波 f1t的的象象函数函数 F1s。 (2)求第二号波f2t的象函数F2s。前(n+1)项的和为： 假设利用拉氏变换的周期性质会更简便一些：(1)第一个波形f1t的象函数为：
13、(2)以f1t为一个周期波形，周期为T的周期函数ut的象函数为： 14-3 14-3 拉氏反拉氏反变换变换 部分分式法部分分式法 学习拉氏变换的主要目的之一就是经过拉氏变换将时域里难以处理的高阶微分方程转换为复频域S域里的代数方程，便于求解。当求出待求量的象函数后，还必需经过拉氏反变换才干得到时域里待求量的原函数。因此，拉氏反变换也是解题的极为关键的一步。 拉氏反变换的定义为： 但普通情况求拉氏反变换都不用此定义式，由于这样的积分太费事了。前边已引见了拉氏变换的独一性及常见函数的拉氏变换对照表。对于比较简单的拉氏反变换可以经过查P350表得到，但对于较复杂的象函数，那么可经过下边的部分分式法分
14、解为简单的象函数之和，然后分别查表并利用线性性质得到。 部分分式法： 就是将恣意一个有理函数分解为许多简单项之和，而这些简单项都可以在拉氏变换表中找到。从而得到完好的拉氏反变换式称为部分分式法，或称为分解定理。 部分分式法是进展拉氏反变换的主要方法。 比如： 分解为假设干个简单分式之和，从而分别查表得到原函数。 例如： 由于这里Fs比较简单，从分式到部分分式和，可以用察看法或拼凑法得到，但假设给定的象函数比较复杂，用察看法和拼凑法就不能揍效了。下边就系统地引见部分分式法的规范步骤和方法。 一、一、FS为真分式情况。为真分式情况。1 1、假、假设设分母分母D D s s =0=0具有具有n n个
15、个单实单实根：根：即：即： 为真分式情况mnmn的情况的情况先用长除法变成真分式，再用部分分式法求反变换。 例例9 9、 ，求拉氏反变换求原函数。，求拉氏反变换求原函数。 解：解： 在电工技术中遇到的FS在是假分式时，普通情况下为分子分母次数一样，这时原函数中出现冲激函数，假设分子的次数比分母高，原函数中必然出现冲激函数的微分。 例如：14-4 14-4 运算运算电电路路 先回想一下前几次课的内容：1、拉普拉斯变换，即由原函数象函数；用定义积分和性质2、拉普拉斯反变换，由象函数原函数；部分分式法存在的问题：对于一个较复杂的高阶动态电路来说，写出高阶微分方程本身就是一件非常困难的事，怎样办？有没
16、有一个简单的方法可以避开写微分方程，而可以直接方便地写出对应的S域的代数方程呢？解解题思思绪是：是：时域n阶微分方程S域的代数方程待求量的象函数对应的待求量原函数有！先将有！先将时域域电路路转换为S域的运算域的运算电路模型，在运算路模型，在运算电路模型路模型中直接写出中直接写出S域的代数方程。域的代数方程。先看电路元件的运算模型：一、电路元件的运算模型一、电路元件的运算模型1、电阻元件R：时域：ut=Rit电阻为R，量纲为；复频域：Us=RIs复阻抗：Zs=R2、电电感元件感元件 L ：时域：电流初始值为：iL(0) 可看作附加电压源。方向和ULs相反。复阻抗Zs=Ls 3、电容元件、电容元件
17、C：时域：电容初值为uc04、电源ust，ist的运算模型：思索题：1 思索题2 ：思索题3： 有互感问题如何画运算电路。 假好像名端或一个电流方向改动呢？请本人做一下！二、二、KCL、KVL方程运算方式：方程运算方式： 对任一结点，KCL：i=0 对任一回路，KVL：u=0 Is=0Us=014-5 14-5 运用拉普拉斯运用拉普拉斯变换变换法分析法分析线线性性电电路路步骤：1、求出储能元件的初始值：uC0-，iL0-，目的是：求储能元件的附加电压源。2、画对应的运算电路图。留意：直流电源的运算模型和附加电压源方向。3、在运算模型上直接运用KCL、KVL，以及适用于直流电路的一切分析方法和定
18、理，写出电路方程，求解待求量在S域里的象函数。4、用部分分式法进展拉氏反变换，得到对应时域电路里的解。一、例题1、图示电路，知is=1A，us(t)=e -3t，求ic(t)=？t0。 解：解： 1求初始值指uc0-、iL0-：iL0-=is=1ALiL0-=1uc0-=3Vuc0-/s=3/s2画运算电路图： 3建立方程，求出待求量iCt的象函数ICs，可用4种方法。 支路电流法：回路法IC回路方程： 节点电压法：如图取参考节点和Un1 Un1戴维南定理： 4拉氏反变换部分分式法： 小结：运算法小结：运算法1、 求独立初始条件：求独立初始条件：uc 0- ，iL 0- 2 2、画运算、画运算
19、电电路路图图 * 独立独立电电源以象函数表示。源以象函数表示。* 各支路各支路电压电电压电流也以象函数表示。流也以象函数表示。* 开关画开关画动动作后的形状。作后的形状。 3 3、用直流、用直流稳态电稳态电路的一切方法、定理和定律来建立方程路的一切方法、定理和定律来建立方程 运算运算电电路的路的电电路方程路方程 求待求量的象函数。求待求量的象函数。 4 4、用部分分式法、用部分分式法进进展拉氏反展拉氏反变换变换，得到，得到时时域里待求量表达式。域里待求量表达式。 例例2、具有互感的问题、具有互感的问题 图示电路，知L1=1H，L2=4H，M=2H，R1=R2=1，is=1A。 求i1t，i2t
20、 t0。 解：解：求初始值：i1(0)=1Ai2(0-)=0AL1iL(0-)=1，L2iL(0-)=0画运算电路图或者：列方程： 拉氏反变换 二、输入阻抗二、输入阻抗例3、 在零形状下，将电路转化成运算电路后电路的端口复阻抗Zs。(是s的函数) 求以下图零形状电路的输入阻抗。 解：1画运算电路图。 2用串并联关系求 Zin(s)。 比较两个复阻抗Z(s)和Z(j)可知：这两种计算方法是可以类比的，只是算子不同，一个为s，一个为j。都是为了方便分析计算，将电路从时域转换到其它复频域中。思索一下：假设这个电路加上正弦鼓励信号，就可以采用相量法，要画出相量模型。例例4、求输入阻抗Zin(s)。 解
21、：解：画运算画运算电路路 *零形状下，一切附加电压源为0。*保管受控源不变，控制量用相应象函数表示。*含受控源时求Zins用外加鼓励法。用外加鼓励法计算： 三、分析带强迫跃变的问题三、分析带强迫跃变的问题由于电路换路后电路构造的改动，使得电路的电压或电流被强迫发生突变。比如书上P306例13-13：例例题5、图示示电路，路，K在在t=0时翻开，求：翻开，求：t0时 i1(t)，u1 (t) ， u2 (t) 。 假设在时域里分析非常费事，要用到磁通链守恒来分析，如今用运算法来分析： 定性分析：集定性分析：集总电路在任何路在任何时辰辰都必需都必需满足足KCL、KVL。在。在K翻翻开的瞬开的瞬间t
22、=0+时，也要，也要满足足KCL、KVL。因此会使。因此会使i10+和和i20+强迫达成一致。迫达成一致。解：解：(1) i10=10/2=5A i20=0A 。2画运算电路图： 3列方程计算象函数4拉氏反变换 5画出波形：阐明：明：* 运用拉氏运用拉氏变换分析分析电路路问题时，从，从0时辰思索起。辰思索起。* 拉氏拉氏变换后的后的电路运算路运算电路也必然路也必然满足足KCL、KVL。 i1(t)从5A3.75A,必然存在一个反向冲激电压加在L1上即-0.375(t)，使i1(t)瞬间从5A降到3.75A。 i2(t)从0A3.75A，也必然存在一个正向冲激电压加在L2上即+0.375(t)，
23、使i2(t)瞬间从0A上升到3.75A。 而环路总电压并无冲激： i1(t)(R1+R2)+ u1 (t)+u2 (t)=10V。练习练习1、求图示函数的拉氏变换象函数：解：解：2、画运算电路图。解：解：求初始条件求初始条件0时辰辰值 画运算电路：3、 图图示示电电路中：路中： 1 us=(t)V 时时，求冲激呼，求冲激呼应应h(t)= uC(t)； 2 us(t)为图为图示波形示波形电压时电压时，求，求电电容的零形状呼容的零形状呼应应uC(t)。 解：解：1us=(t)时：uC(0)=0iL(0)=0运算电路如以下图： 2先写先写ust表达示：表达示： us(t)=5(t)5(t2)V方法一：常规方法 uC0=0 、 iL0=0 故：均无附加电压源。运算电路如图： 引出方法二：将电路看作如下的电路网络：由表达式：假设定义：输出和输入象函数的比值Hs为网络在该输入到输出的传送函数： ，那么对恣意鼓励 有： 当输入鼓励为：e(t)=(t)时单位冲激鼓励是E(s)=1，其呼应为： 实践上网络函数就是电路的单位冲激呼应的象函数。 当输入 时， 呼应即为： 实践上，这个方法就是下一章我们要研讨的网络函数。
