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1、.-级数敛散性判别方法的归纳级数敛散性判别方法的归纳（西北师大）（西北师大）摘要摘要：无穷级数是数学分析中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具， 目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域， 因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要， 然而判定级数敛散性的方法太多， 学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。关键词关键词：级数；收敛；判别 ；发散一一. . 级数收敛的概念和基本性质级数收敛的概念和基本性质给定一个数列un ，形如u1u2un称为无穷级数(常简称级数),用un表示。无穷级数的前 n 项之和，记为n1s
2、nun=u u u12nn1n称它为无穷级数的第 n 个部分和，也简称部分和。若无穷级数的部分和数列s收敛于s.则称无穷级数un收敛，若级数的部分和发散则称级数vn发nn1散。研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理：定理 1 若级数un和vn都收敛，则对任意的常数c 和 d，级数(cundvn)亦收敛，且(cundun)=cun+dvn定理 2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性定理 3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。.-可修编.-定理 4 级数收敛的充要条件是：任给0，总存在自然数N，使得当mN 和任意的自然数p，
3、都有um1um2ump以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。二二 正项级数的收敛判别正项级数的收敛判别各项都是由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列sn有界，即存在某正整数 M，对一切正整数 n 有snM。从基本定理出发，我们可以由此建立一系列基本的判别法1 1 比较判别法比较判别法设un和vn是两个正项级数 ,如果存在某正数 N，对一切 nN 都有un vn，则（i）级数vn收敛，则级数un也收敛；（ii
4、）若级数un发散，则级数vn也发散。例例 1 1 . 设an收敛，证明：2n1n2an收敛（an0）.nlnn1212)证明：因为0an0）.nlnn.-可修编.-x例例 2 2 . 证明：级数(1)sin(x 0)都是条件收敛的。nn1证：不妨设 x0,则Nx0， 当 nNx时， 0为单调递减数列，且limsinnxxxNx时， (1)nsinxx=sin0，limnxnnnsinxn=1xx又发散，由比较判别法知sin也发散。nn1nn1x所以x 0，级数(1)sin(x 0)都是条件收敛的。nn1111例例 3 3. 证明级数e(1)收敛1!2!n!n11111证： 0an=e(1)1l
5、imlimnnun(n1)n1n1e3 n!nn(1)n3nn!所以由比式判别法知级数n发散。n4 4 积分判别法积分判别法积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质， 并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性。.-可修编.-设 f 为1， +)上非负减函数， 那么正项级数f (n)与反常积分f (x)dx同1时收敛或同时发散。例例 1 1 .判别级数解：设 f(x)=1的敛散性。pqn(lnn) (lnlnn)n31,则 f(x)在3，+上非负递减。pqn(lnn) (lnlnn)若若p 1，这时有31 1(q 1)dudxq1=q1(lnln3)x(lnx)p(lnlnx)qlnln3
6、uq(q 1)当小 q1 时级数收敛；当小 q1 时级数发散；若若p 1, ,这时有时，取 t1,有limutu3dudx=对任意的 q，当p1 0x(lnx)p(lnlnx)qlnln3e( p1)uuq1e( p1)uuq=0即该积分收敛。当p1 0时，有limutu1e( p1)uuq=即该积分发散。5 5 拉贝判别法拉贝判别法设un为正项级数，且存在某正整数N0及常数 r， （i）若对一切 nN0，成立不等式n(1un1（ii）若对一切nN0，成立不) r1，则级数un收敛。un等式n(1un1)1则级数un发散。unn!（x0）的敛散性。(x1)(x2)(xn)例例 1 1 .判别级
7、数解limn(1n：因为(x1)(x2)(xn)(n1)!un1)=limn1-nn!(x1)(x2)(xn1)un.-可修编.-=limnxxnxn1所以由拉贝判别法知，当小 x1 时级数收敛；当小 x1 时级数发散；6 6 对数判别法对数判别法1)un q，对于正项级数un， 如果存在lim则当 q1 时， 级数un收敛；nlnnln(当 q1nlnnlnnlnn(1)n1因此有对数判别法可知级数an=5n2n2收敛。7 7 双比值判别法双比值判别法对于正项级数un，如果存在 lim121u2nu=lim2n1=，则当时，级数un发散。例例 1 判别级数lnn的敛散性。2n1nu2nln(
8、2n)n211证明：因为lim=limnun(2n)2lnn42n由此知级数lnn收敛。2n1nnn例例 2 判别级数n的敛散性。n1n!enn(n1)n1证明：这里an an1，即nn1n!e(n1)!e.-可修编.-a2n21(2n)2nn!en(2n)2nen2nnnen有lim=lim=limnn2n2n2nnan(2n)!e2nn22nn e2(2n)(2n) ennn所以级数n发散。n1n!e8 8 高斯判别法高斯判别法设an是严格正项级数，并设v1an)，则关于级数=+(nlnnnnlnnan1an的敛散性，有以下结论：（i）如果1，那么级数an收敛；如果1， 那么级数an收敛；
9、 如果=1，1，那么级数an收敛；如果=1，1，那么级数an发散。例例 1 Gauss 超几何级数 1+(1)(n1)(1)(n1)nx的n!(1)(2)(n1)n1n敛散性，其中均,为非负常数。1(1)(1)a(n1)(n) 1nn1解：因为n=an1(n)(n) x(1)(1)nn11又因为(1)1=1-+(2)，(1)1=1-+(2)，nnnnnn所以111an=（1+(2)） 。nnan1x根据高斯判别法可以判别：如果 x1;或者 x=1,那么级数发散。.-可修编.-参考文献1华东师 X 大学数学系.数学分析（第三版）.下册M.：高等教育，2001.2李春江.级数收敛的判别方法J.3邓东皋，尹小玲.数学分析简明教程下册.：高等教育，1999.64杨钟玄.双比值判别法与对数判别法的比较J.XX 师 X 大学学报，2004， （1） ：57-60.5X 芜健.一类特殊正项级数的敛散性判定技巧.XX 邮电大学学报.-可修编.
